大连理工大学矩阵与数值分析.doc

大 连 理 工 大 学 课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2005 年 12 月 12 日 试卷共 7 页 一二三四 五 六七总分标准分得 分装 一、填空（共30分，每空1.5分）（1）误差的来源主要有 、 、 、 . （2）要使的近似值的相对误差限不超过，应至少取 位有效数字, 此时的近似值 = .订 （3）设, 则 , , , , 谱半径 , 2-条件数 , 奇异值为 . 线 （4）设,特征值,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan标准型 . （5）已知，则 ， .（6）求在附近的根的Newton迭代公式是： ，其收敛阶 .（7）计算, 的数值解的Euler求解公式为 . 为使计算保持绝对稳定性, 步长的取值范围 .2二、（12分）求矩阵的Doolittle分解和Cholesky分解，并求解.三、（6分）求矩阵的QR分解（Q可表示为两个矩阵的乘积）.四、（12分）根据迭代法对任意和均收敛的充要条件为, 证明若线性方程组中的为严格对角占优矩阵, 则Jacobi法和G-S法均收敛.五、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（和）, 并验证它是不是三次样条函数. , , , , ；, , , , .六、（10分）证明线性二步法, 当时为二阶方法, 时为三阶方法, 并给出时的局部截断误差主项.七、（18分）求上以为权函数的标准正交多项式系, , , 并由此求的二次最佳平方逼近多项式, 构造Gauss型求积公式, 并验证其代数精度. 大 连 理 工 大 学 课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2006 年 12 月 11 日 试卷共 8 页 一二三四 五 六七八总分标准分得 分装订 一、填空（共30分，每空2分）线 （1）误差的来源主要有 . （2）按四舍五入的原则，取 具有四位有效数字的近似值= ，则绝对误差界为 ，相对误差界为 . （3）矩阵算子范数和谱半径的关系为： ， 和 . （4）设,特征值,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan标准型 . （5）已知，则 ， .（6）求在附近的根的Newton迭代公式是： .（7）使用Aitken加速迭代格式得到的Steffensen迭代格式为： ，对幂法数列的加速公式为： .A33（8）点的Newton-Cotes求积公式的最高代数精度为 .（9）计算, 的数值解的Euler求解公式为 ，为使计算保持绝对稳定性, 步长的取值范围 .二、（10分） 设, 计算, 谱半径, 2-条件数, 和奇异值.三、（10分）求矩阵的Doolittle分解和Cholesky分解.四、（4分）求Householder变换矩阵将向量化为向量.五、（12分）写出解线性方程组的Jacobi法，G-S法和超松弛（SOR）法的矩阵表示形式，并根据迭代法对任意和均收敛的充要条件为, 证明若线性方程组中的为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR）法当松弛因子时收敛.六、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（和）, 并验证它是不是三次样条函数. , , , , ；, , , , .七、（12分）证明区间上关于权函数的Gauss型求积公式中的系数，其中为关于求积节点的次Lagrange插值基函数，. 另求上以为权函数的二次正交多项式, 并由此构造Gauss型求积公式.八、（10分）证明线性二步法, 当时为二阶方法, 时为三阶方法, 并给出时的局部截断误差主项.大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页装 订 线一二三四五六七八九十总分标准分4281515155/100得 分 一、填空（每一空2分，共42分）1为了减少运算次数，应将表达式.改写为；2给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为，用Simpson公式求得的近似值为。1 设函数，若当时，满足，则其可表示为。4已知,则 6 , 0 ，逼近的Newton插值多项式为。5用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：。6已知，则的Jordan标准型是或；7设是阶正规矩阵，则；8求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式）Euler法的显式化的格式为：。9设12为的近似值，且，则至少有 5 位有效数字；10将，化为的Householder矩阵为：；11；12用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行二步后根所在区间为。13若为Newton-Cotes 求积公式，则，若为Gauss型求积公式，则。14设，则在Schur分解中，可取为或。15设，则, 。二、（8分）已知近似值，均为有效数字，试估计算术运算的相对误差界。 解：由已知，；。令，由函数运算的误差估计式+从而，相对误差可写成三、（15分）设线性方程组：（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出（要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）故，。 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：，则，故，从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：，则，故，从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和 #四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题，的数值方法证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；要用此方法解，。为使方法绝对稳定，求出步长的取值范围并以，初值，为步长，求出的近似值。解：（1）注意，从而 故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：。（2）令，得，满足根条件；又方法阶，故此差分格式收敛。（3）又对于模型问题：(), 取而要使得 的充要条件为：而 自然成立。现在再由 得由 ，可推出，即。#五、（15分）（1） 用Schimidt正交化方法，构造上以权函数的正交多项式系：，; （2）构造计算 具有5次代数精度的数值求积公式；（3） 利用2)的结果求出的数值解。解：由，即应构造具有3个Gauss点的求积公式。首先构造3次正交多项式，令+ ；令即得，得，取，令 即得到方程组：，解之，得，从而具有5次代数精度Gauss求积公式（2），则有六、证明题（5分）任选一题1设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。（1）由题意，可知矩阵奇异。故奇异。反证法，若存在某种范数，使得，则，则可知非奇异，与条件矛盾。 （2）由于有非零解，故对，取与向量的范数相容的矩阵范数，则由得 。#2 已知，求出，证明 收敛。证明, ，由于，而级数和均收敛，有矩阵级数收敛定义可知，收敛。 大连理工大学试卷答案课 程 名 称：计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2008年1 月11 日 一、填空（每一空2分，共46分）3 设，则 2 ， 3 。2给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为:，则用复化Simpson公式求得的近似值为。4 设函数，若当时，满足，则其可表示为。4已知,则 6 , 0 ，逼近的Newton插值多项式为:。5用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：。6已知，则的Jordan标准型是：或；7取，其中，,则；8求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式）Euler法的显式化的格式为：。9设12为的近似值，且，则至少有 5 位有效数字；10将，化为的Householder矩阵为：；11；12用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行二步后根所在区间为。13写出如下二阶常微分方程两点边值问题的差分格式为（化成最简分量形式）： 。，其中，。14设，则在Schur分解中，可取为或。15设，则, 。#二、（8分）根据下列表格给出的数据，求其形如的最小二乘拟合曲线。-2 -1 0 1 2 -3.1 -0.9 1.0 3.1 4.9解：正规方程为：即为：，解之，。#三、（12分）设线性方程组：（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出（要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）故，。 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：，则，故，从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：，则，故，从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和 #四、（15分）对于如下的数值方法（1） 求出其局部截断误差主项，并指出此方法的完整名称；（2） 证明其收敛性；（3）求出其绝对稳定区间。解：（1）注意，从而 故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：。（2）令，得，满足根条件；又方法阶，故此差分格式收敛。（3）又对于模型问题：(), 取而要使得 的充要条件为：而 自然成立。现在再由 得由 ，可推出，即。#五、（14分）（1） 用Schimidt正交化方法，构造上权函数正交多项式系，;（2）设在上具有二阶连续导数，用1）中所得到的的零点,为插值节点构造的Largrange插值多项式，并给出余项估计式； （3）设要计算积分 以代替，求出相应的数值求积公式，并求出其代数精度；（3） 利用3)的结果给出的数值求积公式。解：（1），（2）令，得。则，（3），3次代数精度。（4） 令则。#六、证明题（5分）设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。证明：（1）由题意，可知矩阵奇异。故奇异。反证法，若存在某种范数，使得，则，则可知非奇异，与条件矛盾。 （2）由于有非零解，故对，取与向量的范数相容的矩阵范数，则由得 。#大连理工大学矩阵与数值分析2009年真题2006级计算方法试题B卷答案一、 填空，每题4分，共34分1）的绝对误差界为，的相对误差界为；2）法方程组为：；3）设 17 ， 1717=289；4）应改写为5）均差 0 ，；6）此数值求积公式的代数精度为： 3 ；7）求解的隐式Euler：；8）用二分法进行一步后根所在区间为: 1, 2。9) 分解为：；10) 上以权函数的正交多项式 1 ，。11)；12) 正交矩阵：二、计算题1（15分）解：已知，。，故此为二步一阶方法。局部误差主项为：。又，满足根条件，故此差分格式收敛。又考虑模型问题则，有特征多项式：，其中由判别式可知的充要条件是：，而自然成立，则由得出 。由于，故的取值范围是：。2（15分）解：，则 ，。，令即得，得Gauss点：。取，令即得到方程组：， ，解之，得，从而得到，又取故所得到的数值求积公式是具有m=3次代数精度Gauss求积公式。3（10分）解：ATA，则的特征值为, 所以。下面求对应的标准正交的特征向量(正规直交)，即 , ; , ;即 , 因rank(A)=1，故有。 计算得= u1，得约化的奇异值分解=计算u2, 使其与U1构成R2的一组标准正交基，可取=u2=,则是酉阵, 故矩阵A的奇异值分解（满的奇异值分解）为4（10