几何学的发展.doc

几何学的发展一、近代射影几何综合几何的发展自从笛卡儿等人创立解析几何以后，代数的和分析的方法统治着几何学，综合的方法受到了排斥但是，优美而直观、清晰的几何方法，一直吸引着不少几何学家19世纪初，不少著名的数学家指出，综合几何用综合的方法对几何进行的研究被不公平、不明智地忽略了，因此应该积极努力地来复兴和扩展综合几何以庞斯列(JVPoncelet，17881867)为代表的几何学家放弃分析的方法，采用纯粹几何的方法进行探讨他们取得了丰硕的成果，这些成果在19世纪早期是几何学的主流为了和笛卡儿的解析几何以及欧几里得几何有所区别，人们称之为近代综合几何实际上，这种近代综合几何是17世纪帕斯卡、德扎格等人开创的射影几何的复兴，因而又被人称为近代射影几何综合的欧几里得几何学在19世纪初取得了一些新成果，产生了数以百计的新定理19世纪综合几何的主要成就是射影几何学的复兴射影几何学在17世纪曾有过突出的成就，但却被解析几何、微积分淹没了数学家们经过论战，终于在19世纪为综合几何赢得了较高的地位综合几何尤其是射影几何在19世纪的兴起主要应归功于以蒙日(GMonge，17461818)为首的法国数学家他是法国拿破仑时代数学界的导师，也是一位优秀的教师，大批的优秀几何学家都是在他的直接教导和影响下成长起来的，其中就有庞斯列和卡诺射影几何学的复兴始于卡诺(LNMCarnot，17531823)，他是蒙日的学生，物理学家S卡诺的父亲他是受蒙日的影响研究几何学1803年，出版了位置几何学(Gom-trie de Position)，1806年版了横截线论(Essai SurLa thorie des transversales)，在这些书中，他导出了完全四边形和完全四角形的性质，并且引入了种种有价值的射影几何理论，他试图证明射影几何方法并不比解析几何方法逊色庞斯列在俄罗斯的监狱中给纯粹的几何方法注入了新的生命力1822年，他的研究成果图形的射影性质(Trait desproprits projectives des figures)在巴黎出版这本书内容极为丰富，它所研究的是那些在射影时保持不变的性质平面图形的某些度量性质(如距离、角度)在投影时有所变化，但有些却不变，如四条相交于一点的直线被一截线所割，截点分别是A，B，C，D，则(ABBC)(ADDC)不变他称(ABBC)(ADDC)为点列的反调和比或交比他详细讨论了交比、射影对应、对合变换、圆上虚渺点等基本概念庞斯列在射影几何方面的工作以三个观念为中心：(1)透射的图形；(2)连续性原理；(3)圆锥曲线的极点与极线以这些观念为中心，他奠定了射影几何的基础19世纪射影几何的一个重要成就是建立了对偶(duality)原理庞斯列等人认识到，涉及平面图形的定理，如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”，重述一遍，不但话谈得通，而且竟是正确的这是为什么呢？为此数学家们展开了争论，庞斯列队为配极关系是其原因热尔岗(JosephDiez Gergonne，17711859)则坚决主张对偶原理是一个普遍性原理，适用于除了涉及度量性质之外的一切陈述和定理，配极关系是不必要的中介他首先引入“对偶性”这个术语来表示原定理与新的对偶定理之间的关系他还注意到在三维的情形中点与面是对偶的元素，线的对偶元素是自身热尔岗发明了把对偶的定理写成两栏的格式，把对偶的定理并排写在原来命题的旁边下面我们看看德扎格定理及其对偶：德扎格定理 德扎格定理的对偶如果有两个三角形，联接对应顶点的线过同一个点O，那么对应边相交的三个点在同一条 线上 如果有二个三角形，联接对应边的点在同一条线O上， 那么 对应顶点相连的三条线过同一个点 我们看到德扎格定理的对偶也是正确的，实际上它是原来定理的道定理瑞士数学家施泰纳(JSteiner，17961863)建立了射影几何学的严密系统，他把卡诺在完全四边形方面的工作推广到空间多边形，完成了点列、线束、二项曲线及曲面的理论，讨论了圆锥曲线的种种性质其主要著作是1832年出版的几何形的相互依赖性的系统发展(Systematische Entwicklungder Abh ngigkeit geometrischen Gestalten Voneinaader)，这本书的主要原理是运用射影的概念从简单的结构(如点、线、线束、面、面束)建造出更复杂的结构1867年他又对射影几何的原理作了详细说明施泰纳从开始研究几何时就使用对偶原理，他把圆锥曲线的对偶化称为线曲线，把作为点的轨迹的通常的曲线称为点曲线，点曲线的诸切线是一条线曲线在圆锥曲线的情形就构成对偶曲线利用圆锥曲线的对偶概念，可以把许多圆锥曲线定理如帕斯卡定理换成其对偶命题沙勒(MChasles，17931880)指出，从对偶原理来看，在射影几何中线可以同点一样基本他引进了一些新的术语，如把“交比”称为“非调和比”，称将点变成线、线变成点的变换为对射，等等长期以来，人们对射影几何与欧氏几何的关系一直不清楚1847年，德国数学家斯陶特(KGCVStaudt，17981867)出版的位置几何学(Geometrie der Lage)澄清了这方面的关系，他指出，射影几何完全可以摆脱长度的概念例如：“交比”是一个基本概念，他地不依靠长度和迭合的概念就得到了建立射影几何的基本工具因此，他指出射影几何学实际上比欧氏几何还基本，射影几何学是与距离和角的大小无关的学科，欧氏几何实际上可以看作射影几何的特例这样，斯陶特完全摆脱了代数和度量的关系，建立了“纯粹”的综合几何理论射影几何从古希腊起就已出现，17世纪德扎格、帕斯卡又进一步发展了，到19世纪中叶，已经发展成了一门十分成熟的学科，占据着几何学乃至数学的重要地位二、非欧几何的建立从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足人们的审美要求这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功尽管如此，19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元412485年)、沃利斯、萨凯里(GSaccheri，16671733)、克莱罗、兰伯特、勒让德、普雷菲尔(JPlayfair，17481819)等等萨凯里的工作最值得重视，在1733年发表的论文中，他从一个四边形ABCD开始，其中A和B是直角，且ACBD，(图132)易证CD，欧氏几何平行公设相当于C，D是直角这个论断，于是他在下列两种情形中选择：(1)钝角假设：C、D是钝角；(2)锐角假设：C、D是锐角他首先证明第1种情形不可能其次，他在考虑第二个假设时，没有得到任何矛盾，并且得到了许多有趣的定理，本来这种没有矛盾的系统完全可以宣称是一种新几何，但他缺乏理论勇气，以“结论不合情理”而否认了胜利的果实滑到嘴边又溜走了数学王子高斯在18世纪就知道要证明平行公设是徒劳的，并且在15岁时已经掌握了能够存在一种逻辑几何的思想，其中欧氏平行公设不成立，他在思想上是非常解放的，丝毫不会为传统观念所左右，也不为科学泰斗所吓倒从1813年他就开始发展新几何，起初他称反欧几何(anti-Euclidean Geometry)，星空几何，最后称非欧(NonEuclidean)几何，他认为非欧几何在逻辑上是相容，并且具有欧氏几何一样的可应用性但他在行动上一向谨小慎微，怕受人奚落，不为人理解，不敢发表离经叛道的、但被他认为是正确的学说1826年2月12日，俄国学者罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了论几何原理一文，宣告了非欧几何的创立18351837年，他发表具有平行的完全理论的几何新基础，较好地表达了他的思想，他称他的新几何为“虚几何”1840年用德文出版了平行理论的几何研究(GeometrischeUntersuchungenZurTheoriederparalle-llinien)，在双目失明后仍口授出一部关于他的几何的完全新的说明，于1855年以泛几何而出版几乎与此同时，匈牙利军官波尔约(JBolyai)在1825年左右已建立起非欧几何思想，并于18321833年以绝对空间的几何一文作为其父沃夫冈波尔约(WolfgangBolyai，17751856)为好学青年的数学原理论著的附录出版了他的工作与罗巴切夫斯基的工作一起分别创立了非欧几何高斯、罗巴切夫斯基、波尔约都认识到欧氏平行公设不能在其他公设基础上证明，平行公设是欧氏几何中独立的和必不可少的，非欧几何就是采取一个与平行公设相矛盾的命题，并从与此组成的一组新公理中，重新建立一种几何罗巴切夫斯基放弃了平行公设，提出了“罗氏平行公设”：过定直线外一定点有无数条定直线的平行线，并按如下方式建立新几何：“设想从一点(C)作垂线垂直于已知直线(AB)，并从该点向直线作平行线；记F()为和平行线间的角”在图133中，过点C的所有直线关于直线AB可以分成两类，一类直线与AB相交，另一类不相交直线p与q属于后一类，构成相交与不相交两类直线的边界F()是AB的垂线与过C的AB的平行线间的角，称为平行角在罗巴切夫斯基几何中，过C与AB平行的直线有无穷条这正与欧氏几何中“过定直线外一定点只有一条定直线的平行线”形成了鲜明对照角形的内角之和恒小于，且随着三角形面积的增大而减小，当面积趋于零时，它就趋于“假设三角形内角和小于，就导致出圆随半径的增长不趋于直线，而趋于一特种曲线，我们称它为极限圆球面在这种情况下也趋向于一曲面，类似地，我们称它为极限球面”对于图134中的球面三角形，他给出了公式ctgF()=ctgF(c)sinA，sinAcosB sinF(b)，sinF(c)sinF(a)sinF(b)“一般说来，在直角三角形中，a，b为直角边，-2为各角和，则有因而三角形越小，它的各角之和同两直线的区别越小”根据对无穷小三角形的研究，罗巴切夫斯基还得出了曲线yf(x)在(x，y)处的弧微分公式于是，半径为r的圆周长c=(ere-r)，圆面积A( 随后，他还建立了非欧空间的解析几何和微分几何的原理非欧几何的一种形式罗巴切夫斯基几何已经建立起来，“无论如何，新的几何学，它的基础已在此被规定，如果不存在于自然界中，那也可以存在于我们的虚想之中，它无助于实际测量，但对几何学和分析学的互相利用，却开拓了一个新的、广阔的领域”非欧几何的诞生在数学史上具有十分重大的意义它使人们认识到，平行公设不能在其它公设的基础上证明，它是独立的命题，因而可以采用一个与之矛盾的公理并进而发展成为全新的几何三、微分几何19世纪微分几何的主要成就是柯西、高斯和黎曼做出的不仅如此，高斯还提出了一个全新的概念：一张曲面本身就是一个空间，这个概念随后为黎曼所推广并且由此确立了罗巴切夫斯基几何的“合法”地位，从而在非欧几何中开辟了新的发展道路空间曲线理论在19世纪日趋完善1826年，柯西在他的名著无穷小计算在几何上的应用教程(Applications du Cal-cul infinitsimal la gemtrie)中，改进了一些新的概念并且澄清了空间曲线理论中其中cos，cos，cos是 直线的方向余弦，这在今天已成标准形式他取弧长作自变量(s)，从而得到空间曲线任一点处切线的方向余弦 柯西把切线和主法线决定的平面作为密切平面，这个平面的法线是次法线，而次法线的方向余弦cosL，cosM，cosN由下列公式给出： 和挠率确定以后，曲线就几乎被完全决定了弗朗内(FJFrnet，18161900)、塞雷(JASerret，18191885)分别于1847年，1851年发现了上述柯西的切线、次法线的方向余弦的导数公式，同时还发现了法线的方向余弦的导数公式：这三个公式就是空间曲线理论中著名的弗朗内塞雷公式用向量表示为：称为曲线论的基本公式1828年，高斯发表关于曲面的一般研究(Disquisitio-ns Generales Circa Superficies Curvas)一文(完成于1827年)，对微分几何的进展起了决定性的作用，给出了今天教科书中曲面论的大多数结果高斯利用欧拉的参数u，v表示曲面的思想，将曲面方程写成xx(u，v)，yy(u，v)，zz(u，v)他的出发点就是利用参数表示来进行曲面的系统研究E， F， G称为第一类基本量，在曲面上每一点都是常数接着，他又开始考虑另一个基本量曲面上两条曲线之间的夹角对于从(u，v)出发的曲线上的两条曲线，一个由dudv给定，一个由uv给定，高斯证明了两条曲线之间的夹角满足 L，M，N称为第二类基本量进行了这些准备工作后，高斯证明了曲面的全曲率公式K，并且证明他的K就是欧拉在18世纪提出的两个主曲率k1，k2的乘积，即K变量引进这些基本量以后，高斯又考察了曲面的许多性质他特别对曲且两张曲面对应点的距离元素相等，即E1du2+2F1dudvG1dv2=E2du2+2F2dudvG2dv2 这个公式称为高斯特征方程1860年，巴尔策尔(RBaltzer，18181887)改写为它揭示了第一、二类基本量之间的关系有了这个关系式后，高斯于1826年得到了“高斯定理”：一个曲面的全曲率被曲面的第一类基本量完全确定，等距曲面在对应点一定有相同的全曲率他称这个定理为“极妙的定理”迈因纳尔迪(GMainard，18001879)在1857年，科达齐(DCodazzi，18241875)在1868年分别得到了方程(今天称之为迈因纳尔迪科达齐方程)：这两个方程与高斯特征方程一起构成曲面论的基本方程1867年，邦内(OBonnet，18191892)证明了：如果给定了u和v的六个函数E，F，G和L，M，N，它们满足曲面论的基本方程，则它们除了在空间的位置和定向外，唯一地确定了这张曲面1861年，魏恩加滕(JWeingarten)发现了“魏恩加滕公式”：这个公式与下列高斯公式一起构成了“曲面的基本公式”，它们在曲面论里的作用相当于弗朗内塞雷公式在曲线论里的作用高斯公式是当F0时，曲面论的基本方程与曲面论的基本公式都可以大为简化在1827年的文章中，高斯还研究了另一个十分重要的课题寻找曲面上的测地线测地线这一名称是列维尔在1850年引进的，取自大地测量学测地线在今天的微分几何教材中又称短程线对于一个由测地线构成的三角形，高斯证明了一条关于曲率的著名定理设k是一个曲 表明，在一个测地三角形上曲率的积分等于三个角之和超过之盈量，或在三角形之和小于180时，等于三个角之和不足之亏量若是曲面上的测地(短程)多边形，则一般地有后来，邦内把高斯的结果推广，对曲面上的单连通域1和它的边界线，得到了高斯邦内公式：其中kg为的短程曲率，为由方向余弦到的切线矢的有向角高斯在曲面保角变换方面也进行了十分有价值的工作，并由此而获得了丹麦皇家科学会的奖金高斯证明了曲面的几何可以集中在曲面本身进行研究，曲面本身就可以看成是一个空间，因为它的全部性质都被ds2Edu2+2FdudvGdv2确定了，这样就可以抛弃以往的观念：曲面是位于一个三维空间中这样就意味着，如果把曲面本身看作是一个空间的话，至少在曲面上就有非欧几何；而且，由于一张曲面由E，F，G确定，于是曲面就有E，F，G所确定的几何，这个几何对于曲面是内蕴的，而与周围的空间毫无关系，因此随着E，F和G的不同的选取，同一张曲面可以有不同的几何这样，我们就可以轻而易举地在欧氏几何曲面上实现非欧几何了如果把球面看成三维空间中的一张曲面，球面的几何就是欧氏的；但如果把球面本身当作一个空间来研究，取纬度和经度作为点的坐标，大圆弧就是“直线”(称为测地线或“短程线”)，这样的几何就是一种非欧几何这样得到的空间是一个二维的正的常曲率空间，这样的几何在今天称为二重椭圆几何这种非欧几何模型曲面的例子是黎曼在1854年给出的1868年，意大利数学家贝尔特拉米(EBltrami，18351900)独立而成功地找到了非欧几何模型，在数学史上使罗巴切夫斯基等人开创的非欧几何得到了举世公认，在整个科学史乃至人类思想史上具有十分重大的意义贝尔特拉米是通过研究具有常数全曲率的曲面而作出这一重大发现的从高斯起人们就知道，具有相同的常数全曲率k的曲面互相等距等价，因而有相同的内蕴性质当常数k0时，曲面和平面等距等价；识到k0时的几何实质上就是欧氏几何；k0时的几何，1854年黎曼发现是一种非欧几何椭圆几何学1868年，贝尔特拉米发现，如果令yz平面上的曳物线绕z轴旋转，即得到伪球面质上就是罗巴切夫斯基几何双曲几何这样具有负常数全曲率的曲面的内在几何与双曲几何的关系就被发现了19世纪微分几何的第三个里程碑是黎曼奠定的他在几何领域中是高斯的忠实追随者和发扬光大者1854年，高斯给黎曼指定以几何基础作为他取得大学教授资格应作的演说，当时能听懂他的报告的，只有已入暮年的高斯他的1854年的演讲稿后来以关于作为几何学基础的假说(Ueber die Hypothesen，wel-che der Geometrie Zu Grunde liegen)于1868年出版了这篇文章已经成了数学史上的经典著作黎曼几何的主要工作是把通常熟悉的三维空间推广到n维空间中的m维可微流形对于同一张曲面可以有ds2=dx2dy2dz2，而ds2Edu22FdudvGdv2随着E，F，G的不同可以有不同的几何，因此选取ds2的不同表达式，就可以得到完全不同的几何一种非欧几何，这种思想本来是属于高斯的，在1854年的论文中，黎曼把这种研究曲面时的思想推广到任意n维空间，提出了这样的观念，对于n维空间点集中的每一个点用n个坐标(x1，x2，xn)表示，而空间一条曲线xixi(t)，i1，2，n的弧长微分ds，就可以用一个恒正二次齐式表示出来：ds2=gijxixj研究由黎曼所引进的这种空间的几何学在今天就称为黎曼空间几何学高斯等人所研究的曲面的内在几何学中的主要内容都可以推广到几维黎曼空间，而曲面的内在几何学可以看作是二维的黎曼空间几何如对于t和t之间的曲线可以给出长度l 这方面，黎曼给出了依赖于流形的性质而不依赖于所采用的特殊坐标系的程序黎曼几何的另一件重要的工作是改进、引进了许多新的记号如黎1900)正式引入了各种形式的“克里斯托费尔记号”：黎曼引进了现在通称的“黎曼四指标记号”“克里斯托费尔四指标记号”则是克里斯托费尔仿照黎曼引进的：引入这些记号后，从而开始了张量演算贝尔特拉米不仅详细研究了具有负常数全曲率的曲面，而且他还第一个对曲面论的不变量作了深入详细的研究，由此开创了19世纪人们对不变量的广泛研究微分不变量理论以及黎曼等人引入的记号对张量分析起了积极的推动作用张量分析由里奇(CGRicci，18531925)和列维齐维塔(TLevicivi-ta，18731941)在20世纪初，发展成一门独立的学科，1916年爱因斯坦(AEinstein，18791955)给出了“张量分析”这个名称黎曼几何倍受物理学家青睐，尤其是爱因斯坦创立相对论大量应用了它，同时爱因斯坦也对此作出了贡献翻开爱因斯坦文集，看到里面有那么多地方利用了黎曼几何，赞美了黎曼及其几何，我们就不难理解黎曼几何的重要性黎曼几何还为现代微分几何奠定了基础四、爱尔兰根纲领(Erlangen Programm)19世纪初叶射影几何重新为人们重视后，不仅有数学家从“纯粹”综合的角度进行研究，而且随着研究的进一步深入，有不少数学家开始从代数甚至从群论的角皮进行探讨，这样几何学的研究就进入了一个新的时期不仅射影几何有了进一步的发展，而且各种度量几何的内在关系也逐渐为人们揭示了cker，18011868)从代数方面发展了射影几何他们的工作之一是引进了齐次坐标普吕克还对几何观念给出了优美的代数表示，利用齐次坐标，他给出了无穷远线、圆上无穷远点等等许多概念的代数表示他积极地利用射影的概念研究高次平面曲线和高次曲面，得到了许多重要的结果在斯陶特弄清楚了射影几何与欧氏几何的关系后，数学家们开始根据射影概念进行建立欧氏几何度量性质的工作拉盖尔(ELaguerre，其中(uu，ww)是u，u及两条虚直线w，w四条直线的交比，i为虚单位凯莱引入二次型及双线性型F(x，x)0为一条二次曲线即凯莱绝对型绝对型的线坐标方子式有了这些准备工作后，他定义两点x=(x1，x2，x3)及y(y1，y2，y3)间的距离，线坐标为u(u1，u2，u3)及v=(v1，v2，v3)的两直线的夹行列式中aij的代数余子式这样，长度和角度这些度量的性质也可以用射影关系来决定了因此当时人们就说：“度量几何也仅仅只是射影几何的一部分”1859年，凯莱甚至说：“射影几何是所有的几何，反之亦然”不仅如此，19世纪中叶以后，几何学的种类如雨后春笋般不断涌现面对这种形势，人们发现，利用图形在变换下的性质，可以发现从欧氏几何到射影几何之间的关系客观形势向人们提出这样的