物理实验中的误差与不确定度.doc

第 26 卷第 4 期Vol126 No14长春师范学院学报 (自然科学版)Journal of Changchun Normal University(Natural Science)2007 年 8 月Aug. 2007物理实验中的误差与不确定度权松 , 邓宇 , 贾福全(吉林建筑工程学院基础科学部 , 吉林长春130021) 摘要 在大学物理实验中 , 运用测量误差理论和测量不确定理论对测量结果进行质量评估十分重要 。本文从测量误差 、系统误差 、随机误差 、测量结果的不确定度 、A 类测量不确定度 、B 类测量不确定度 、间接测量结果的不确定度 、测量不确定度较测量误差在评定测量结果中的优势等方面进行了研究 。 关键词 物理实验 ; 测量 ; 误差 ; 标准差 ; 不确定度 中图分类号 O4 - 33 文献标识码 A 文章编号 1008 - 178X(2007) 04 - 0152204在大学物理实验课中得出的实验测量结果是否准确可靠 , 需要运用误差理论进行评估 。现在最常用的评估方法有两种 , 一种是运用测量误差理论进行评估 ; 一种是运用测量不确度理论进行评估 。下面我们对这 两种理论分别进行分析 。1测量误差对于直接测量量来说 , 测量误差 (也称绝对误差) 是测量结果减去被测量的真值 。即= x - x0为测量误差 , x 表示测量值 , x0 表示被测量的真值 。有时为了评价一个测量结果的优劣 , 还需要看测 量量本身的大小 , 因此还需要分析相对误差 Er , 即Er = 100 %x0相对误差没有单位 , 用百分数来表示 。在物理实验的实际测量中常常简单的以被测量的实际值或修正过 的算术平均值来代替真值 。测量结果表达式为 : x = x0 2误差的分类及其处理方法测量误差按性质可分为系统误差和随机误差两大类 。211系统误差系统误差是在同一被测量的多次测量过程中 , 保持恒定或以可预知方式变化的测量误差 。系统误差包括 已定系统误差和未定系统误差 。已定系统误差是指符号和绝对值已经确定的误差分量 。如电流表使用前未调零 , 电表中无电流流过时示值已是 01003 mA , 测量时将产生 + 01003 mA 的系统误差 。未定系统误差是指符号和绝对值未经确定的误差分量 , 如测量时温度变化 、电压波动等影响量偏离额定值 , 而产生的误差分量 。212随机误差随机误差是在同一量的多次测量中以不可预知的方式变化的测量误差分量 。随机误差等于误差减去系统 误差 。例如 , 对物理量 x 做 n 次等精度测量 (测量条件相同) , 得到 n 个测量值 x1 , x2 , x3 ,量列 , 由概率论可以证明 , 其平均值, xn 的一个测nx = 1 xin i = 1为最佳值 , 是最可以信赖的 。该测量列的标准差为 :n2 ( xi - x )i = 1x =( n - 1) 收稿日期 2007 - 04 - 22 作者简介 权 松 (1956 - ) , 男 , 吉林长春人 , 吉林建筑工程学院基础科学部副教授 , 从事大学物理教育研究 。其统计意义是指当测量次数足够多时 , 测量列中任一测量值与平均值的偏离落在 -, + 区间的概率为 6813 % , 记为 P = 01683 , 表示置信概率为 6813 % , 这个公式成为贝塞尔公式 。 当 n 趋于 时 , 物理量 X 成为连续型随机变量 , 其正态分布的概率密度函数为 :12 / 2e()=f 2其中 = x - x 为绝对误差 , 其函数曲线为一连续的正态分布曲线 。式中值 越小 , f()值越大 , 随()机变量的分布越集中 , 分散性越小 ; 值越大 , f值越小 , 随机变量的分布越分散 。由积分运算可得 :+ - f()() () ()d= 1d= 6813 % d= 9514 % d= 9917 %+ - f+ 2- 2f+ 3- 3f由上面各式的计算结果可知 , 当 n 时 , 任一次测量值与平均值之差落在区间 -, + 的概率为 1 , 称为归一化条件 ; 而落在区间 -, + 的概率为 6813 % ; 落在区间 的 - 2 , + 2 概 率 为9514 % ; 落在区间 - 3 , + 3 的概率为 9917 % 。在通常的有限次测量中 , 测量误差的绝对值大于 3的概率很小 , 可以认为是测量失误 。对于间接测量量 N = f ( A , B ,)C ,的标准差可由下面的公式进行计算 :2225 f 25 f 25 f 2=A +B +C +5 A5 B5 C 5 f 5 f 5 f式中 为间接测量值的标准差 , A , B , C分别为直接测量值 A , B ,的偏导数 , 并以 A , B ,C的标准差 ,5 A , 5 B , 5 C仍分别为函数 f ( A , B , C ,)C ,对 A , B , C ,代入求其值 。这个标准差的计算公式真实地反映了各直接测量值的误差对间接测量值的贡献 , 因此在正式的误差分析和计算中都采用这个公式 , 称为误差传递公式 。3测量结果的不确定度 U测量结果的不确定度的定义为 : 表征合理地赋予被测量之值的分散性 , 与测量结果相联系的参数 。由测 量结果的不确定度的定义可知 , 测量不确定度表示被测量之值的分散性 , 因此不确定度表示一个区间 , 即被 测量之值可能的分布区间 。为了表征这种分散性 , 测量不确定度可以用标准偏差 , 或标准偏差的倍数 , 或说明了置信水准区间的半宽度来表示 。当测量不确定度用标准偏差 表示时 , 称为标准不确定度 , 统一规定用小写字母 “ u”表示 , 这是测量 不确定度的第一种表示方式 。但由于标准偏差所对应的置信水准 (也称为置信概率) 通常还不够高 , 在正态 分布情况下仅为 6813 % , 因此还规定测量不确定度也可以用第二种方式来表示 , 即可以用标准偏差的倍数k来表示 。这种不确定度称为扩展不确定度 , 统一规定用大写字母 U 表示 。于是可得标准不确定度和扩展不确定度之间的关系 :U = k= ku扩展不确定度 U 表示具有较大置信水准区间的半宽度 , 包含因子 k 有时也写成 kp 的形式 , 它与合成标准不确定度 uc ( y) 相乘后 , 得到对应于置信水准为 p 的扩展不确定度Up = kp uc ( y)在国家计量标准 JJ F1059 - 1999 中规定 , 当置信水准 p 为 0199 和 0195 时 , Up 可分别简单地以 U99 和 U95 表示 。在实际使用中 , 往往希望知道测量结果的置信区间 , 因此还规定测量不确定度也可以用第三种表示方 式 , 即说明了置信水准的区间的半宽度 a 来表示 。实际上它也是一种扩展不确定度 , 当规定的置信水准为 p 时 , 扩展不确定度可以用符号 Up 表示 , 测量不确定度的第二种和第三种表示方式给出的实际上都是扩展不 确定度 。由于测量结果会受许多因素的影响 , 因此通常不确定度由多个分量组成 , 评定方法分为 A 类测量不确 定度 UA 和 B 类测量不确定度 UB 两类 。测量结果的不确定度 U 与 UA 和 UB 的关系为 :2U+ U2U =AB311A 类测量不确定度 UA测量不确定度的 A 类评定是指用对观测列进行统计分析的方法进行的评定 , 其标准不确定度用实验标 准差表征 ; 例如 , 被测量 x 在等精度条件下进行 n 次测量 , 得到算术平均值 x 作为最佳值 。这一测量列的标准差为 x , 如果增加测量次数 , 如 ( n + m)次 ,可得另外一个最佳值 x 和相应的标准差 x 。随着测量次数的增加 x 也会是一个随机变量 , 那么由概率论可以得到算术平均值的标准差为 :n2 ( xi -x )i = 1xx =n ( n - 1)n待测物理量落在区间 x落在区间 x - 3x , x +当时 n , 算术平均值将无限接近待测物理量的客观值 , x 的统计意义为 :- x , x +x 的概率为 6813 % ; 落在区间 x - 2x , x + 2x 的概率为 9514 % ;3x 的概率为 9917 % 。当测量次数少时 , 要保持同样的置信概率 , 就要扩大区间 , 将 x 乘以一个大于 1 的因子 t , t 与测量次数有关 。A 类不确定度的表达式为 :UA = tx在不同的置信概率下与测量次数的对应关系由下面表格给出 :表 1A 类不确定度因子表根据测量次数 n , 从表中查出 t 值代入上式 , 可得到不同置信概率的 A 类不确定度 。我们大学物理实验课中采用 P = 0195 , 也就是取置信概率为 95 %进行分析计算 。312B 类测量不确定度 UB测量不确定度的 B 类评定是指用不同于对观测列进行统计分析的方法进行的评定 , 因此可以说所有与 A 类评定不同的其他评定方法均称为 B 类评定 , 它可以由根据经验或其他信息的假定概率分布估算其不确定 度 , 也以估计的标准偏差表征 。在我们大学物理实验课程中约定 B 类不确定度主要由仪器误差引起 。仪器误差由仪器误差限 ins (即仪器允许的误差极限 , 由仪器说明书给出) 确定 。在没有仪器准确资料的情况下 , 也可以采用仪器的最小分度值作为仪器误差限 。为了从仪器误差限 ins 计算出 B 类不确定度 , 可 将仪器误差限 ins 除以与仪器误差分布特性有关的常数 K 得到 :insUB =K对于正态分布 K = 3 , 对于均匀分布 K = 3 , 对于梯形分布 K = 2 。确定仪器误差属于哪一种分布需要有丰富的实验经验 , 物理实验课中约定仪器误差限按均匀分布处理 , 即 :insUB =3例如 , 常用仪器的误差限有 : 量程为 0 : 25 mm 螺旋测微计为 01004 mm ; 游标分度值为 0102 mm 和0105 mm 的游标卡尺 , 可取其最小分度值 ; 机械秒表在较短时间测量时 , 误差限可取 012 s ; 直流电表的 仪器误差限为 ins = Am a % ( Am 为量程 , a 表示等级指数) 。313间接测量结果的不确定度对于间接测量 , 间接测量量 y 是若干个相互独立的直接测量量 x1 , x2 , x3 , xn 的函数 ,y = f ( x1 , x2 , x3 , xn )则有 y 的不确定度的传递公式为2225 y u ( x5 y u5 y uU ( y) =n1 )( 2 )( n )+x+x5 x15 x5 x2n 5 y222U ( y) = (u ( xi )5 xii = 1置信 概率测量次数34567891015200. 681. 321. 201 . 141. 111. 091. 081. 071 . 061 . 041. 0310. 954. 303. 182 . 782. 572. 462. 372. 312 . 262 . 152. 091. 960. 999. 935. 844 . 604. 033. 713. 053. 363 . 252 . 982. 862. 58其中 u ( xi ) 为各个直接测量量 xi 的合成不确定度 。当 y = f ( x1 ,化运算过程 , 即 :U ( y)x2 , x3 , xn ) 为乘除或方幂的函数形式时 , 采用相对不确定度 Urel 的传递公式可以简5 l ny5 l ny5 l ny222 22 2Urel =()u ( x1 ) + ()u ( x2 ) + ()u ( xn )5 x15 x25 xny在处理数据时 , 先 计 算 出 相 对 不 确 定 度 Urel 和 测 量 结 果 y , 然 后 再 计 算 出 物 理 量 y 的 测 量 不 确 定 度U ( y) 。测量结果表达式为 : y = y U ( y)4测量误差和测量不确定度的区别在物理实验课中我们已经知道 , 误差多数情况下是指测量误差 , 它是测量结果与被测量真值之差 。而测 量不确定度是表示被测量的真值所处量值范围的评定 。它按某一置信概率给出真值可能落入的区间 。它可以是标准差或其倍数 , 或是说明了置信水准的区间的半宽 。它不是具体的真误差 , 只是以参数形式定量表示了 无法修正的那部分误差范围 。它来源于随机效应和系统效应的不完善修正 , 是用于表征合理赋予的被测量值的分散性参数 。从以上测量误差和测量不确定度的定义不难看出两者的不同 。5测量不确定度与测量误差的联系误差分析是测量不确定度评估的理论基础 , 尽管不确定度概念的引入使误差分类的界限及其转化的问题 淡化了 , 但评定和计算不确定度 , 还有赖于必要的误差分析 。只有对各个误差源的性质 、分布进行合理的分析和处理 , 才能确定出各分量的不确定度和合成不确定度 。而不确定度的概念是误差理论的应用 、拓展和延伸 。不确定度概念的引入使不能确切知道的误差转化为 一个可以定量计算的指标附在测量结果中 , 从而使测量结果的质量有了一个统一的比较标准 。6测量不确定度较测量误差在评定测量结果中的优势测量不确定度是绝对值 , 它避免了测量误差中随机误差的表述与误差定义不相符的矛盾 。同时 , 测量不 确定度也避免了作为理想概念而不可知的真值 。测量不确定度只与测量条件有关 , 故它可通过对影响测量的诸多因素的分析得出 , 较之测量误差更便于量化评定 。用测量不确定度评价测量结果较之测量误差科学 、合理 , 他避免了由原误差表示易引起的混淆 , 是误差 理论科学发展的结果 , 必将会渗透到各种科学技术和生产的测量领域 , 成为我们对测量结果进行正确评估的 有效工具 。 参 考 文 献 123456789华中工学院 . 物理实验 M . 北京 :高等教育出版社 ,2002 ,3 - 8.丁慎训 ,张连芳 . 物理实验 M . 北京 :高等教育出版社 ,2002 ,75.国家质量技术监督局 . 测量不确定度评定及表示 S. 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