高中数学第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦余弦和正切公式第三课时示范教案.docx

第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答1化简下列各式：(1)cos()cossin()sin；(2)sinxcosx；(3).答案：(1)cos；(2)0；(3)1.2证明下列各式：(1)；(2)tan()tan()(1tan2tan2)tan2tan2；(3)2cos().答案：证明略教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课推进新课请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法教师引导学生观察，当、中有一个角为90时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例在应用公式时，还要注意角的相对性，如()，()()等让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养sin()sincoscossinS()；cos()coscossinsinC()；tan()T()讨论结果：略思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值(1)sin72cos42cos72sin42；(2)cos20cos70sin20sin70；(3).活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现(1)同公式S()的右边，(2)同公式C()右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果再看(3)式与T()右边形式相近，但需要进行一定的变形又因为tan451，原式化为，再逆用公式T()即可解得解：(1)由公式S()，得原式sin(7242)sin30.(2)由公式C()，得原式cos(2070)cos900.(3)由公式T()，得原式tan(4515)tan60.点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练1化简求值：(1)cos44sin14sin44cos14；(2)sin14cos16sin76cos74；(3)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)解：(1)原式sin(1444)sin(30)sin30.(2)原式sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin30.(3)原式sin(54x)(36x)sin901.2计算.解：原式tan(4575)tan(30)tan30.例2已知函数f(x)sin(x)cos(x)的定义域为R，设0,2，若f(x)为偶函数，求的值活动：本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题，其难度较小，只需利用偶函数的定义，加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可，但不容易得到满分教师可先让学生自己探究，独立完成，然后教师进行点评解：f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)，即sinxcoscosxsincosxcossinxsinsinxcoscosxsincosxcossinxsin.sinxcossinxsin0.sinx(sincos)0对任意x都成立sin()0，即sin()0.k(kZ)k(kZ)又0,2)，或.点评：本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解教师应提醒学生注意，如果将本例变为选择或填空，可利用特殊值快速解题，作为解答题利用特殊值是不严密的，以此训练学生逻辑思维能力.变式训练已知：，cos()，sin()，求cos2的值解：，0，.又cos()，sin()，sin()，cos().cos2cos()()cos()cos()sin()sin()().例3求证：cossin2sin()活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S()展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S()的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数证明：方法一：右边2(sincoscossin)2(cossin)cossin左边方法二：左边2(cossin)2(sincoscossin)2sin()右边点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质本例的方法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦关于形如asinxbcosx(a，b不同时为零)的式子，引入辅助角变形为Asin(x)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x)的形式一般情况下，如果aAcos，bAsin，那么asinxbcosxA(sinxcoscosxsin)Asin(x)由sin2cos21，可得A2a2b2，A，不妨取A，于是得到cos，sin，从而得到tan，因此asinxbcosxsin(x)，通过引入辅助角，可以将asinxbcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式化为这种形式可解决asinxbcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练化简下列各式：(1)sinxcosx；(2)cosxsinx.解：(1)原式2(sinxcosx)2(cossinxsincosx)2sin(x)(2)原式2(cosxsinx)2(sincosxcossinx)2sin(x).例4(1)已知45，求(1tan)(1tan)的值；(2)已知sin()，sin()，求.活动：对于(1)，教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan，tan的关系式，从而发现所求式子的解题思路在(2)中，我们欲求，若利用已知条件直接求tan，tan的值是有一定的困难，但细心观察公式S()、S()发现，它们都含有sincos和cossin，而化切为弦正是，由此找到解题思路教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答解：(1)45，tan()tan451.又tan()，tantantan()(1tantan)，即tantan1tantan.原式1tantantantan1(1tantan)tantan2.(2)sin()，sin()，sincoscossin， sincoscoscos. ，得sincos，得cossin，5.点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tantantan()(1tantan)，对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1求(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)(1tan45)的值解：原式(1tan1)(1tan44)(1tan2)(1tan43)(1tan22)(1tan23)(1tan45)2222223.2计算：tan15tan30tan15tan30.解：原式tan45(1tan15tan30)tan15tan301.课本本节练习57.解答：5解：(1)原式sin901.(2)原式cos60.(3)原式tan451.(4)原式sin60.(5)原式cos60.(6)原式sin20(cos70)(cos20)sin70(sin20cos70cos20sin70)sin901.6解：(1)原式sincosxcossinxsin(x)(2)原式2(sinxcosx)2sin(x)(3)原式2(sinxcosx)2sin(x)(4)原式2(cosxsinx)2sin(x)点评：将asinxbcosx转化为Asin(x)或Acos(x)的形式，关键在于“凑”和(或差)角公式7解：由sin()coscos()sin，可得sin()coscos()sinsin()sin，sin.又是第三象限角，cos.sin()sincoscossin.已知一元二次方程ax2bxc0(ac0)的两个根为tan、tan，求tan()的值解：由韦达定理，得tantan，tantan，tan().1先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题2教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题，灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等推导并理解公式asinxbcosxsin(x)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题1本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧因此，本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力特别是给出了形如“asinxbcosxsin(x)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法2对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法巩固一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如()，()()等；公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形；“1”的妙用：在三角函数式中，有许多关于“1”的“变形”，如1sin2cos2，也有1sin90tan45等二、备用习题1在ABC中，sinAsinBcosAcosB，则ABC是( )A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D等腰三角形答案：B2.cossin的值是( )A0 BC. D2答案：C3在ABC中，有关系式tanA成立，则ABC为( )A等腰三角形 BA60的三角形C等腰三角形或A60的三角形 D不能确定答案：C4若cos()，cos，(0，)，(0，)，则有( )A(0，) B(，)C(，0) D答案：B5求值：_.答案：6若sinsin1，则coscos_.答案：07已知cos()，cos()，则tantan_.答案：8求函数y2sin(x10)cos(x55)的最大值和最小值答案：解：y2sin(x10)cos(x10)452sin(x10)cos(x10)sin(x10)sin(x10)cos(x10)cos(x10)45cos(x55)，又1sin(x55)1，当x55k36090，即xk360145(kZ)时，ymin；当x55k36090，即xk36035(kZ)时，ymax.9求tan70tan50tan50tan70的值答案：解：原式tan(7050)(1tan70tan50)tan50tan70(1tan70tan50)tan50tan70tan70tan50tan50tan70.原式的值为.10已知sinmsin(2)求证：tan()tan.答案：证明：由sinmsin(2)sin()msin()sin()coscos()sinmsin()coscos()sin(1m)sin()cos(1m)cos()sintan()tan.点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2可化为结论式中的与的和，不妨将作为一个整体来处理此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明11化简2cos(AB)答案：解：原式.点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点12已知5sinsin(2)求证：2tan()3tan.答案：证明：()，2()，5sin()sin