矩阵分析课件chapt3 矩阵分析及其应用例题详解.doc

矩阵分析及其应用3.1 矩阵序列定义3.1 设矩阵序列A(k),其中A(k)=()Cnn,当k，aij时，称矩阵序列A(k)收敛，并称矩阵A=(aij)为矩阵序列A(k)的极限，或称A(k)收敛于A, 记为 或 A(k) A不收敛的矩阵序列称为发散的。由定义，矩阵序列A(k) 发散的充要条件为存在ij使得数列发散。类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义3.1 矩阵序列A(k)收敛的充要条件为对任给e0 存在N(e), 当 k, l N(e) 时有|A(k)-A(l)| e例1 如果直接按定义我们因为求不出A(n)的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。相反，由于 l 时就有这样A(l) 收敛。定理3.1 A(k) A的充要条件为|A(k) -A|0证明：利用矩阵范数的等价性定理，仅对范数可以证明。即 c1 |A(k) -A| |A(k) -A| c2 |A(k) -A|性质0 若A(k) A， 则 |A(k)| |A| 成立。性质1. 设A(k) Amn，B(k) Bmn, 则a A(k)+b B(k) a A+b B， a,bC 性质2. 设A(k) Amn，B(k) Bnl, 则A(k) B(k) AB证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的矩阵范数。|A(k) B(k)-AB| | A(k) B(k) -AB(k)|+|AB(k)- AB| | A(k) -A|B(k)|+|A|B(k)-B|注意| A(k) |A|， |B(k)|B|， 则结论可得。 特别地有性质2. A(k) A的充要条件为A(k) xAx, 对任意x成立（在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的)性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k) A，则 (A(k)-1 A-1证明： 因为A-1 (A(k) I. 所以存在K,当kK时有|I- A-1 (A(k)|K时，有 |(A(k)-1|A-1|+1/2| (A(k)-1|即 |(A(k)-1|2|A-1|因为A-1- (A(k)-1= A-1 (A(k)- A) (A(k)-1从而 | A-1- (A(k)-1|A-1|A(k)- A|(A(k)-1|(当kK时) |A-1|A(k)- A|2|A-1|(当k时) 0由定理3.1有(A(k)-1 A-1定义3.2矩阵序列A(k)称为有界的，如果存在常数 M0，使得对一切k都有 |M 或等价的 | A(k)|M定理：有界的矩阵序列A(k)一定有收敛的子列。定义3.3 设A为方阵，且当k时有Ak0，则称A为收敛矩阵。定理3.2(迭代法基本定理) Ak0的充要条件为谱半径r(A)1.证明：必要性：设Ak0，证明r(A)1. 对A的任意特征值l和相应的特征向量x有 lx=Ax.这样我们有Akx=lkx 从而有|l|k |x|=|Akx|Ak|x|从而有|l|k|Ak|0这样有|l|1， 由于l为A的任意特征向量， 所以r(A)1, 即必要性得证。充分性。已知r(A)0,由定理2.10有,存在某种相容的矩阵范数|.|M使得 |A|M r(A)+ e 1从而|Ak| M(|A|M)k(r(A)+ e)k所以当k有|Ak| M 0, 从而Ak0.定理3.3 Ak0的充分条件为存在矩阵范数|.|M使得 |A|M 13.2矩阵级数定义3.4设矩阵序列A(k),其中A(k)=()Cnn,由它们形成的无穷和 A(0)+A(1)+A(k)+称为矩阵级数，记为 ，即有= A(0)+A(1)+A(k)+定义3.5 记S(N)=,称其为矩阵级数的部分和.如果矩阵序列S(N)收敛，且有极限S, 即有S(N)S那么称矩阵级数收敛，且和为S, 记为S=不收敛的矩阵级数称为发散的。显然=S 是指， i,j即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。性质：矩阵级数收敛的充要条件为对任意向量x, 向量级数收敛。定义3.6 设矩阵级数的每个分量所构成的数项级数绝对收敛，则称矩阵级数绝对收敛。关于绝对收敛，我们有如下的定理：性质1. 绝对收敛的交换求和次序不改变其绝对收敛性和极限值。性质2. 矩阵级数绝对收敛的充要条件为正项级数收敛。性质3. 如果矩阵级数(绝对)收敛,那么也是(绝对)收敛,且有=P()Q性质4. 设Cnn的两个矩阵级数 S1: A(1)+A(2)+A(k)+ S2: B(1)+B(2)+B(k)+都绝对收敛，其和分别为A和B.则矩阵级数S3: A(1) B(1)+ A(1) B(2)+ A(2) B(1)+ + A(1) B(k)+ A(2) B(k-1) +A(2) B(1)+绝对收敛且和为AB.证明：由于S1: A(1)+A(2)+A(k)+绝对收敛的充要条件为正项级数|A(1)|+|A(2)|+|A(k)|+收敛且与排列无关。我们证明的思路是证明正项级数： |A(1) B(1)|+ |A(1) B(2)+ A(2) B(1)|+ +|A(1) B(k)+ A(2) B(k-1) +A(k) B(1)|+收敛。引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数： |A(1)|B(1)|+ |A(1) |B(2)|+ |A(2) |B(1)|+ +|A(1) |B(k)|+ |A(2) |B(k-1) |+|A(k) |B(1)|+收敛。这由题设正项级数|A(1)|+|A(2)|+|A(k)|+和正项级数 |B(1)|+|B(2)|+|B(k)|+的收敛性可得。定理3.4 幂级数 I+A+A2+Ak+收敛的充要条件为A的谱半径r(A)1, 收敛时其和为(I-A)-1且|(I-A)-1- I+A+A2+Ak|A|k+1/(1-|A|)证明： 必要性. 由于I+A+A2+Ak+收敛，从而S(k)= I+A+A2+Ak收敛。记T(k)= I+A+A2+Ak+1Ak=T(k)- S(k)收敛，且T(k)- S(k) 0，这样我们有Ak 0，从而r(A)1.充分性：设r(A)1，(I-A)-1存在，由于I+A+A2+Ak=(I-A)-1 -(I-A)-1 Ak+1因Ak0，所以I+A+A2+Ak+ (I-A)-1.又因为(I-A)-1 - (I+A+A2+Ak)= (I-A)-1 Ak+1若有矩阵范数|.|使得|A|1,则|(I-A)-1 - (I+A+A2+Ak)|=| (I-A)-1 Ak+1|设B=(I-A)-1 Ak+1,从而(I-A)B=Ak+1即B=AB+ Ak+1,从而|B| |A|B|+ |Ak+1|即 |B|A|k+1/(1-|A|)成立。定理3.6 设幂级数 的收敛半径为r,如果方阵A满足r(A) r,是发散的。证明：利用绝对收敛的性质。反之，设A的特征值l满足|l|=r(A)，x为l相应的特征向量 =,由于r(A) r ,那么发散(注意x为非零向量)从而发散，这样发散。矩阵函数定义：设一元函数f(z)能展开为z的幂级数 (|z|0表示该幂级数的收敛半径。当n阶矩阵A的谱半径r(A) r时，把收敛的矩阵幂级数的和为f (A), 即 f (A)= .性质(代入规则)： 若f (z)=g(z), 则f (A)=g(A).矩阵函数举例：sin(z)=z-z3/3!+z5/5! -则 sin(A)= I-A3/3!+A5/5! -cos(z)=1-z2/2!+z4/4! -con(A)= I-A2/2!+A4/4! -ez=1+z+z2/2!+z3/3!+eA=I+A+A2/2!+A3/3!+性质2 若AB=BA, 二元函数f (x,y)=g(x,y) 则 f (A,B)=g(A,B) (二元函数的代入规则).矩阵函数值的求法1.待定系数法 设n阶矩阵A的特征多项式j(l)=det(lI-A). 如果首1多项式y(l)=lm+b1lm-1+bm-1l+bm (1mn)满足:(1) y(A)=0;(2) y(l)整除j(l)(矩阵A的最小多项式与特征多项式均满足这些条件). 那么, y(l)的零点都是A的特征值.记 y(l)的互异零点为 l1, l2, ls,相应的重数为r1,rs(r1+r2+rs=m),则有y(l)(li)=0 (l=0,1,ri-1;i=1,2,s)这里, y(l)(l)表示y(l)的l阶导数(下同). 设f(z)= y(z)g(z)+r(z). 其中r(z)是次数低于m的多项式，于是可由f(l)(li) = r(l)( li ) 确定 r(z).利用 f(A)= y(A)g(A)+r(A)=r(A).例1 设， 求eAt.解 j(l)=det(lI-A)=(l-2) (l-5) (l+1)z f(z)=ez t2 e2 t 5 e5 t ( f (5) -f(2)/(5-2)= (e5 t -e2 t)/3-1 e- t ( f (-1) -f(5)/( -1-5)= (e5 t - e- t)/6 (e5 t -2e2 t +e- t)/18从而 f(z)=ez t =j(z)P(z)+r(z), 其中 r(z)= e2 t +(z-2) (e5 t -e2 t)/3+(z-2)(z-5) (e5 t -2e2 t +e- t)/18 = e2 t(1+(z-2)/3-(z-2)(z-5)/9)+ e5 t(z-2)/3+(z-2)(z-5)/18) + e- t(z-2)(z-5)/18f(A)=e A t =r(A)= e2 t(I+(A-2I)/3-(A-2I)(A-5I)/9)+ e5 t(A-2I)/3+(A-2I)(A-5I)/18) + e- t(A -2I)( A -5I)/18 = +例3.5 设, 求eAt解j(l)=det(lI-A)=(l-2)3z f(z)=ez t2 e2 t 2 e2 t f (2)= te2 t2 e2 t f (2)= te2 t f (2)/2!= t2 e2 t/2 从而 f(z)=ez t =j(z)P(z)+r(z), 其中 r(z)= e2 t +t e2 t(z-2)+ t2e2 t(z-2)2/2f(A)=e A t =r(A)= e2 t (I+t (A-2I)+ t2(A-2I)2/2 )=例： ， 求 f(A), 其中 f (z)= z16-z10。解：由于det(lI - A)=( l-1)3(l+1)=j(l), 求 r(z)使得f (z)=P(z) j(z)+ r(z), 其中f (z)= z16-z10z f (z)1 0 1 0 f (1)=6 1 0 f (1)=6 f (1)/2!=75 -1 0 0 (0-6)/( -1-1)=3 (3-75)/ ( -1-1)=36因此 r(z)= 0+6(z-1)+ 75(z-1)2+36(z-1)3 从而f (A)=r(A)= 6(A- I )+ 75(A - I )2+36(A -I)3即r(A)= 2. 数项级数求和法。利用Am=k0I+k1A+k2A2+km-1A m-1代入计算即可。3. 对角行法若A相似于对角行，求出它的对角矩阵和相似矩阵即 A=P-1DP， 则f(A)= P-1f(D)P4.Jordan标准行法 A= P-1J P， 则f(A)= P-1f(J)P4 矩阵的微分和积分 定义3.9 如果矩阵A(t)=(aij(t)mn的每一个元素aij(t)是变量t的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为 A(t)= (aij(t) )mn 性质1. (A(t)+B(t)= A(t)+ B(t)性质2.(A(t)B(t)=A(t)B(t)+A(t)B(t)性质3. (a(t)A(t)= a(t)A(t)+ a(t) A(t)性质4. 如果A(t)和A(t)可交换，f(z)和t无关则有f(A(t)=f(A(t) A(t) 特别注意若A(t)和A(t)不可交换, 则上式不一定成立。定义3.10 如果矩阵A(t)的每个元素aij(t)都是区间t0,t1上的连续函数，则定义A(t)在t0,t1上的积分为分量积分构成的矩阵. 即A(t) dt=aij(t)dt 性质：(积分算子仍为线性算子) (A(t)+B(t)dt=A(t)dt+B(t)dt PA(t)Qdt=P(A(t)dt) Q当aij(t)都在t0,t1上连续时，就称A(t)在t0,t1上连续. 且有 A(s)ds=A(t)当aij(t)都在a,b上连续时A(s)ds=A(b)-A(a)其它微分概念1函数对矩阵的导数(包括向量)定义:设X=(xij)mn,mn元函数f(X)=f(x11, , x1n, x21, xm1, xmn)定义f(X)对矩阵X的导数为 =例 f(x)=xTAx, 则df/dx=(A+AT)x,特别地，若A为对称矩阵，g(x)=xTAx/2,则dg/dx=Ax.若 f(t)=f(x), x=x(t), 则df/dt=dxT/dtdf/dx.关于迹函数的导数 d(tr(XTA)/dX=A. d(tr(ATX)/dX=A.行列式的自然对数关于矩阵的导数d(log|Z|)/ds=tr(ZT)-1dZ/ds) d(log|Z|)/dZ=(ZT)-1证明：det(Z)=, 其中A1i为在矩阵Z中去掉第一行第i列的代数余子式。排列A1i得如下矩阵 则根据代数余子式的定义可得Z()T=|Z| I因此= |Z| (ZT )-1由此可得结论。矩阵函数对矩阵的导数(主要考虑向量值函数对向量的导数)定义3.13 设X=(xij)mn 的mn元函数fij(X)=fij(x11, , x1n, x21, xm1, xmn)定义矩阵F(X)= 对矩阵X的导数如下： = 其中 =(i=1,2,r, j=1,2