【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8.3 抛物线课件 文 大纲人教版

2011届高三数学文大纲版创新设计一轮复习课件 8 3抛物线 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 考纲下载 第3讲抛物线 平面内与一个定点F和一条定直线l F l 的距离的点的轨迹叫做抛物线 点F叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 提示 在抛物线的定义中 定点F不能在定直线l上 若定点F在定直线l上 则可得动点的轨迹为过点F且垂直于l的直线 焦点 准线 1 抛物线的定义 相等 2 抛物线的标准方程与几何性质 提示 1 抛物线标准方程中只含有一个参数p 故只需一个条件就可以确定方程 但必须注意抛物线的开口方向 若方程为非标准方程 还需有一个确定位置的条件 2 二次函数的图象就是抛物线 因而对于方程如y ax2的抛物线 有时也用函数的知识来求解 1 抛物线y 8x2的准线方程是 A x B y C y D x 解析 准线与x轴平行且在x轴上方 答案 C 2 已知抛物线的焦点坐标是 0 3 则抛物线的标准方程是 A x2 12yB x2 12yC y2 12xD y2 12x解析 3 p 6 x2 12y 答案 A 3 抛物线x2 4y上一点A的纵坐标为4 则点A与抛物线焦点的距离为 A 2B 3C 4D 5解析 点A在抛物线上 其纵坐标为4 而抛物线x2 4y的准线方程为y 1 由抛物线的定义有 A到其焦点的距离等于A到其准线的距离 所以A到其焦点的距离d 4 1 5 答案 D 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线关于x轴对称 顶点在原点O 且过点P 2 4 则该抛物线的方程是 解析 设抛物线的方程为y2 2ax 由于过点P 2 4 则42 2a 2 a 4 于是抛物线的方程是y2 8x 答案 y2 8x 4 利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化 例如若点P0 x0 y0 是抛物线y2 2px p 0 上的任一点 则该点到抛物线的焦点F的距离 P0F x0 焦半径公式 这一公式的直接应用会为我们求解有关到焦点或准线的距离问题带来方便 例1 若点A的坐标为 3 2 F为抛物线y2 2x的焦点 点P在抛物线上移动 当 PA PF 取最小值时 求点P的坐标 并求这个最小值 思维点拨 由抛物线定义知 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d 求 PA PF 的问题可转化为 PA d的问题 再利用 两点之间线段最短 求解 解 如图所示 显然点A 3 2 在抛物线y2 2x的内部 过点P作准线l的垂线 垂足为P 过点A作AP PP 交l于点P 则 PA PF PA PP 由平面几何知识可知 当AP l时 即P 与P 重合时 PA PF 有最小值 准线方程为 最小值为此时点P的纵坐标为2 代入方程y2 2x 得x 2 因此 所求P点的坐标为 2 2 最小值为 变式1 已知抛物线y2 2px p 0 一条长为4p的弦 其两个端点在抛物线上滑动 求此弦中点到y轴的最小距离 解 如图所示 设动弦两个端点为A B 中点为C 作AA BB CC 垂直于准线 垂足分别为A B C 连结AF BF 由抛物线定义可知 AF AA BF BB CC 是梯形ABB A 的中位线 CC 当AB经过点F时取等号 所以C点到y轴的距离最小值为 求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法 标准方程有四种形式 在设方程形式之前 首先要确定抛物线的开口方向 为避免开口不一定而分成y2 2px p 0 或y2 2px p 0 两种情况求解的麻烦 可以设成y2 mx或x2 ny m 0 n 0 若m 0 开口向右 m0 开口向上 n 0 开口向下 因此抛物线的标准方程有四个 例2 已知抛物线的顶点在原点 对称轴是x轴 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离为5 求抛物线的方程和m的值 思维点拨 抛物线的对称轴为x轴说明焦点在x轴上 又因为点M 3 m 在抛物线上 而点M为第二或第三象限的点 故抛物线开口向左 解 解法一 根据已知条件 抛物线方程可设为y2 2px p 0 则焦点 点M 3 m 在抛物线上 且 MF 5故解得 抛物线方程为y2 8x m 解法二 设抛物线方程为y2 2px p 0 则准线方程为x 由抛物线定义 M点到焦点的距离等于M点到准线的距离 所以有 3 5 p 4 所求抛物线方程为y2 8x 又 点M 3 m 在抛物线上 故m2 8 3 m 拓展2 已知抛物线顶点在原点 焦点在坐标轴上 又知抛物线上的一点A m 3 到焦点F的距离为5 求m的值 并写出此抛物线的方程 解 若抛物线开口方向向下 设抛物线方程为x2 2py p 0 这时线方程为y 从抛物线定义知 3 5 解得p 4 所以 抛物线方程为x2 8y 这时将点A m 3 代入方程 得m 若抛物线开口方向向左或向右 可设抛物线方程为y2 2ax a 0 从p a 知准线方程可统一成x 的形式 于是由题设有解此方程组可得四组解 抛物线的性质和椭圆 双曲线的性质差别较大 它的离心率等于1 它只有一个焦点 一个顶点 一条对称轴 一条准线 它没有中心 能正确地应用抛物线的几何性质解决一些简单的问题 结合抛物线的定义 解决与之有关的基本运算 以提高应用知识解决问题的能力 例3 已知如图 抛物线y2 2px p 0 的焦点为F A在抛物线上 其横坐标为4 且位于x轴上方 A到抛物线准线的距离等于5 过A作AB垂直于y轴 垂足为B OB的中点为M 1 求抛物线方程 2 过M作MN FA 垂足为N 求点N的坐标 思维点拨 1 由抛物线的定义可求p 2 求直线FA与MN的方程 联立可求N点坐标 解 1 抛物线y2 2px p 0 的准线为x 于是 p 2 抛物线的标准方程为y2 4x 2 由 1 得点A的坐标是 4 4 由题意得B 0 4 M 0 2 又 F 1 0 MN FA 则FA所在直线的方程为 MN所在直线的方程为解方程组 在建立抛物线的标准方程时 以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标轴建立坐标系 这样使标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 抛物线的标准方程有四种不同的形式 这四种标准方程的联系与区别在于 1 p的几何意义 焦参数p是焦点到准线的距离 所以p恒为正数 2 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向 3 焦点的非零坐标是一次项系数的 方法规律 高考真题 2009 全国 卷 已知直线y x 2 k 0 与抛物线C y2 8x相交于A B两点 F为C的焦点 若 FA 2 FB 则 A B C D 解析 设直线方程与抛物线方程联立消掉y 得根据韦达定理得x1x2 4 根据焦点半径公式 得x1 2x2 2 由 解得x2 1 故点B的坐标为 1 将其代得答案 D 规范解答 抛物线y2 2px p 0 的焦点弦两端点的横坐标之积等于是一个我们很熟悉的结论 其证明方法之一就是在斜率不存在时直接验证 斜率存在时设直线方程为y 与抛物线方程联立消掉y后根据韦达定理中的两根之积进行证明 根据抛物线方程的特点 把直线方程与抛物线方程联立消掉y所得到的方程与上面的方程只有一次项系数不同 二次项系数与常数项完全一样 这样两个方程的两个根的积是相同的 也就是说直线与抛物线两个交点的横坐标之积也等于 命题者把这个性质用到题目中设计了一道考查考生的计算能力及分析问题 解决问题能力的经典试题 命题探究 解本题易犯的一个错误就是误以为直线过抛物线焦点 从而根据焦点弦的性质解答 而本题即使是根据焦点弦的性质 仍然可以得出k 的结果 这是一个十分隐蔽的错误 作为选择题只要答案正确就算是做对了 但这种解法显然是错误的 在解答题中是行不通的 误区警示 方法探究 在解决直线与曲线的位置关系时 韦达定理是一个必不可少的工具 但韦达定理只能解决两根之