8[1].示范教案(2.5.1_等比数列前n项和公式的推导与应用).doc

2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得,再由分式性质，得,整理得.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用.教学难点 等比数列前n项和公式的推导.教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学过程导入新课师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言.师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生 各持己见.动笔，列式，计算.生 能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+263=?师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+2 63=?师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+2 63,2S=2+22+23+263+264,-得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.8410 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课合作探究师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+qn=？师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生 q+q2+qn+q n+1.生 每一项就成了它后面相邻的一项.师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？师 生共同探索：如果记Sn=1+q+q2+qn,那么qSn=q+q2+qn+q n+1.要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn.师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.生 如果q1，则有.师 当然，我们还要考虑一下如果q1问题是什么样的结果.生 如果q1，那么Sn=n.师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a1+a2+a3+an=？教师精讲师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+an,那么qSn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.师 再次提醒学生注意q的取值.如果q1，则有.师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q1，则有.师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q1时，我们才能用上述公式.师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流.生 如果q1，Sn=na1.师 完全正确.如果q1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？生 正确.q1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.师 对了，这就是认清了问题的本质.师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：合作探究思路一：根据等比数列的定义，我们有：,再由合比定理，则得,即,从而就有(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)思路二：由Sn=a1+a2+a3+an得Sn=a1+a1q+a2q+a n-1q=a1+q(a1+a2+a n-1)=a1+q(Sn-an),从而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)师 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？生 n1.师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n1.师 综合上面的探究过程，我们得出：或者例题剖析【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1),；(2)a1=27,a9=,q0.合作探究师生共同分析：由(1)所给条件，可得，,求n8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求n8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8= =，再由q0，可得，将所得的值代入公式就可以了.生 写出解答：(1)因为,，所以当n8时，.(2)由a1=27,，可得，又由q0，可得,于是当n8时，.【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列an，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到,整理得1.1n=1.6,两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,用计算器算得5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.练习：教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导 一般情形的推导 例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)新教师教学反思 詹文恩 发布时间： 2009-11-23 23:49:16 作为一名新的青年教师，在这一段时间的工作中，特别是这次的体育公开课上，我收获了很多。其中，有教训，也有喜悦。随着这次公开课的结束，其他老师的点评是，总体而言，这节课能够达到预期的目的，能够突出主题。教案中，能够详细的写出教学内容，通过教师、教案、课堂这三者的结合，根据学生的体能和体育基本技能的差异，确定教学目标、安排教学内容，让全体学生都有平等参与体育活动的机会，掌握体育的基本技术。但是，其中也有很多不足之处，比如说，在课堂上，各个内容的时间安排不是很合理。师生欠缺互动，没有很好的调动起学生参与活动的积极性。对教学的重点难点把握的不是很好。还有在课堂实践中，没有将教案中涉及到的活动完全的体现出来，出现理论与实践相违背的现象，其中，就像是在这次公开课上的游戏部分，在教案中，游戏的内容写的很详细，但是在课堂实践中，只是简单的让学生演示一遍，没有把这次游戏所要达到的目的传达给学生，没有使学生在这次游戏当中领悟到其中的乐趣。通过老师的点评，我深深的领悟到，教与学的区别，并知道了自己在教学中的不足，由于缺少经验，对教学的重点难点把握不住，课堂时间安排不够合理。那么，就这次公开课的具体教学情况总结出如下几点自己的感受：一、根据实际灵活运用不同的教法和学法课堂教与学的关键是效率。在课堂上要合理组织好内容，优化教学手段，发挥学生的主动性，关注全体学生，注意信息反馈，创造良好的课堂气氛，但同时要注意对学生做到收放自如。根据学生的情趣特点、身体素质、接受能力这些特征总结出在体育教学中应注重“教”与“学”的结合。在教学实践中，灵活运用各种教法与学法。在课堂中使用兴趣教学法，游戏竞赛法等等来增加课堂气氛。二、合理安排课堂时间，需对时间掌控自如在这次的公开课上，在课程当中出现的问题上，特别是在体育课的准备部分，中间基本课程的部分以及体育课的结束部分，这3个部分是体育课的基本结构，至于每个部分的具体结构，则因课程的具体任务、教材内容、学生情况和人数, 以及作业条件的差异而有所不同。那么就要根据这些实际情况，合理那排这三部分的时间，最后才不会出现捉襟见肘的现象。三、充分调动学生学习的积极性让每一个学生都在最适合自己的学习环境中求得最好的发展，使人人都有“成就感”，有利于学生进行自我评价，学生根据教师的要求及时把学练过程中的问题加以总结，反馈教学信息，教师及时修正教学目标，形成比较好的循环。在教学过程中，了解学生的爱好、学生喜欢的项目，激发学生对自己的爱好充满一种向上的心理。促使他们进行思考，采用各种办法去解决问题，提高他们学习的积极性。四、师生互动，建立新型师生关系在以往的教学当中，往往都是老师教什么，学生就学什么，师生关系是一种不平等的关系，一成不变的关系。老师总是教学过程中的控制者，体育活动的组织者，总是根据自己的思路进行教学。那么，在现代的教学当中，我们应该积极的去转化老师与学生的角色，建立起一种新型的师生关系，使学生的主动性和创造性得以充分的发挥。与此同时，教师也应真诚对待学生，公平的对待学生，不能厚此薄彼。新型师生关系，要求老师从知识技能的传授者转变成学生发展的促进者，由指挥者变成合作型的良师益友，使教学转变为是师生共同开发课程标准的过程。从中，老师就可以知道，学生需要的是什么。五、理论与实践相结合，调动学生的积极性从这次课中，我深深体会到理论与实践相结合的重要性，只是简单的教学讲解、示范到学生模仿练习接着老师纠正错误动作，这一教学方式过多的理论的东西，不能激发学生的参与积极性。我们应采用学生通过实践、思考、创造，然后去发现问题、找出正确的学习方法，在师生共同探讨、实践下掌握了动作技能。改变以往的理论教育。比如，在这次教学的游戏部分，我可以先让学生自己尝试一遍，练习一遍，让他们自己在练习当中摸索出该游戏的窍门或方法后，再组织学生进行小组比赛，这样就突出该游戏的预期目的，能取得