生物医学信号处理ppt课件

生物医学信号处理 1 医学信号处理 第四章信号检测 生物医学信号处理 2 主要解决在受噪声干扰的观测x中判断信号是否存在的问题 例如 判断观测数据x t s t n t 即假设H1 x中既有信号又有噪声 还是x t n t 假设H0 x中只有噪声没有信号 x t 观测信号n t 噪声s t 有用信号 1 1信号检测 Detections 的基本任务 第一节概述 生物医学信号处理 3 把观测x和某些关于概率密度函数的先验知识结合起来 再依据某种判决准则 对假设进行判断 信号检测的数学基础 数理统计中的统计判决理论 假设检验理论 生物医学信号处理 4 1 2信号检测的概率描述 两种假设 H1 目标存在 H0 目标不存在 先验概率 P H0 P H1 条件先验概率 某一假设 H0 H1 下观察值的概率 p x H0 p x H1 判决结果 H0假设为真 判决H0 正确 P D0 H0 H1假设为真 判决H0 漏警 PM P D0 H1 H0假设为真 判决H1 虚警 PF P D1 H0 H1假设为真 判决H1 正确 P D1 H1 x中有信号 x中无信号 生物医学信号处理 5 后验概率 P H1 x P H0 x 总失误率 PE P D1 H0 P H0 P D0 H1 P H1 检测概率 PD 1 PM 1 P D0 H1 仅仅根据检测概率PD和PM说明判断的优劣 未必客观 比如 如果不管是否有信号 都判断为 有 则必有P D0 H1 0 因而PD 1 但这时总失误率PE也不低 生物医学信号处理 6 1 3检测分类 1 就假设数目分为 二元检测和多元检测如果备择假设只有两个 有 或 无 假设 称为二元假设 如果备择假设有多个 要从多个假设中做出选择 称为多元假设 生物医学信号处理 7 2 就观察数目分为 单次观察和多次观察对一项特征做一次观察称为单次观察 实际中往往要做多次观察 或者利用多项特征构成观察矢量 来做出判断 称为多次观察 例子 医生往往需要根据病人的一系列症状 组合成一矢量 来判断他是否感染了某种疾病 这时 可能的疾病数目 即备择假设可能有多个 最简单的情况 结果不可靠 生物医学信号处理 8 3 就检测信号性质已知确定信号 已知的确定信号在噪声中 未知参数的确定信号 含有未知参数的确定信号在噪声中 随机信号 随机信号在噪声中 其概率分布可能已知也可能含有非确定因素 4 就先验知识的有关参数是否已知判断总是通过一些先验知识做出的 当描述这些先验知识的有关参数已知时 称为简单假设检验 当这些先验知识本身含有非确定因素时 称为复合假设检验 生物医学信号处理 9 似然比准则 极大后验概率准则最小错误概率准则Bayes判决准则极大极小准则Neyman Pearson准则以下假设为单次观察 二元检测 所含信号为已知 问题的提出 观察x s n 假设为H0 x中无信号 x n H1 x中有信号s x s n 已知 P H0 P H1 及噪声的概率密度函数p n 做单次观察 x x1 判断结果属于H1还是H0 第二节检测准则 生物医学信号处理 10 2 1极大后验概率准则MaximumPosterioriProbability 比较P H0 x 和P H1 x 在x x1时 选择与最大后验概率相对应的那个假设作为判决结果 即 如果条件概率P H0 x P H1 x 判为H0 如果条件概率P H1 x P H0 x 判为H1 用公式表示为 生物医学信号处理 11 于是 极大后验概率判决准则为 进一步推导 利用贝叶斯公式将式中后验概率用先验概率来表示 以便于应用 生物医学信号处理 12 这里条件先验概率p x H0 和p x H1 是在H0及H1条件下x的概率密度函数 也叫似然函数 比值p x H1 p x H0 l x 称为似然比 似然比是随机变量x的函数 所以也是随机变量 也就是 生物医学信号处理 13 例1 设所含信号s是恒定值A 噪声n是高斯型随机变量N 0 以等概率发送或者不发送信号 即建立极大后验概率准则 画出及判别区域 若令x1 0 7A 请作出判决 提示 对于H0假设 x的概率密度函数为对于H1假设 x的概率密度函数为 试讨论当的判别区域以及阈值分界点的值x0 生物医学信号处理 14 请对例1中所做的判决进行检测性能分析 并计算PF PM PE PD 设A 1 高斯噪声方差为1 生物医学信号处理 15 例2 例1中所做判决 设A 1 1 对判决性能进行检测分析 计算PF PM PE PD 生物医学信号处理 16 因为最大后验概率准则可以使平均错误概率最小 所以又称为最小错误概率准则 第一类错误概率为 第二类错误概率为 2 2最小错误概率准则 生物医学信号处理 17 总的错误率为 生物医学信号处理 18 为使总误差Pe最小 应该选择使第二项的被积函数不为正 即 或 这恰好就是最大后验概率准则 因此 最大后验概率准则又常被称为最小错误概率准则 基于这种准则的检测器在最小错误率的意义上说是最佳的 生物医学信号处理 19 最大后验概率准则只是使错误概率最小 并没有考虑两类错误判决所造成的损失大小 或者说 认为两类错误判决所花的代价或风险是相同的 在很多实际应用中 两类错误所造成的损失是很不一样的 为了区分这两类错误所造成的损失程度 我们引入代价函数Cij来表示实际是Hi假设为真而判决为Hj假设所付出的代价 代价函数也叫风险函数 所以 贝叶斯准则实际就是最小错误率准则的推广 不过通过引入代价函数把不同判断结果要付出的代价考虑在内 目标 使平均风险E C 最小 2 3贝叶斯准则 Bayes 生物医学信号处理 20 简单推导 c00 属于H0 判决也是H0要付出的代价 c01 属于H0 判决是H1要付出的代价 c10 属于H1 判决是H0要付出的代价 c11 属于H1 判决也是H1要付出的代价 假定各种代价均已知 则平均代价为 生物医学信号处理 21 p x H0 p x H1 R1 R0 生物医学信号处理 22 代入上式可得 生物医学信号处理 23 最小风险Bayes准则为 如果 则判决x H1 否则判为x H0 生物医学信号处理 24 对于二元检测问题 假定正确判决不花任何代价 即C00 C11 0 并假定两类错误判决所花代价相同 即 01 10那么 平均风险为 与最小错误概率准则之间的关系讨论 这时 贝叶斯准则变成了最小错误概率准则 因此 最小错误概率准则是贝叶斯准则的特例 后者则为前者的推广 有的文献将最小错误概率判决准则看作是0 1代价函数 C00 C11 0 01 10 则 生物医学信号处理 25 应用条件 先验概率和代价函数均未知 前面的最小错误概率准则和贝叶斯准则都是假设先验概率或代价函数已知为前提条件 在实际中 这些条件往往不具备 这时可采用纽曼 皮尔逊准则 纽曼 皮尔逊准则 在给定虚警概率PF 使检测概率PD尽可能大 漏报概率PM 1 PD尽可能小 的条件下研究判决准则 2 4Neyman Pearson准则 生物医学信号处理 26 数学推导应用Lagrange乘子 构造下列目标函数 即条件为PF为已知 保证虚警概率在一可容许值的约束条件下 求极值的问题 总结Neyman Pearson准则 时 判决H1 生物医学信号处理 27 例3 信号s为常数A 1 噪声n是高斯型变量N 0 当pF 0 1 2 建立纽曼 皮尔逊准则 并求检测概率pD 提示 令分解阈值为x0 于是有 x0 1 8 生物医学信号处理 28 然后求出PD 所以 似然比为 判据为 等效为 生物医学信号处理 29 在许多情况下 先验概率未知 便不能采用贝叶斯准则 假定P H0 q未知 则P H1 1 q 令则Bayes风险为R q min C00 1 q C10 q q C01 q C11 1 q 1 q C00q C11 1 q C10 C00 q q C01 C11 q 1 q 2 5极小极大化准则 MinimaxCriterion 生物医学信号处理 30 图中 曲线为Bayes风险曲线 过某点所做直线为先验概率变化时的R q min取值 由于当条件概率和风险已知时 R q min为先验概率的线性函数 生物医学信号处理 31 当先验概率未知时 我们选择使R q min达到最大值的先验概率q0作为估计值来设计Bayes检验 此时的风险不一定是最小的 但却是最保险的 不会超过R q min的最大值 生物医学信号处理 32 第三节多次观察 对于多次观察 判决公式与上一节单次观察的判决公式基本相同 只须用多维概率密度函数代替公式中的一维概率密度函数 或者以观察矢量X x1 x2 xn 代替观察值x 1 最小失误概率准则和极大后验概率准则 生物医学信号处理 33 2 贝叶斯准则为 3 似然比准则为 上述式子中p X H1 p1 x1 x2 xn p X H0 p0 x1 x2 xn 均为多维联合概率密度函数 由它们找到的阈值也是多维的 运算非常繁琐 应用也不方便 生物医学信号处理 34 为简化 提出如下解决方案 一 建立映射关系 把多维观察矢量映射成一维的检验统计量 但是这样的映射关系的统计量未必能找到 即使找到 其概率密度函数往往比较复杂 二 假如各次观察xi互相独立且同分布 此时 由于各观察值相互独立 因此p X H0 p0 x1 p0 x2 p0 xn p X H1 p1 x1 p0 x2 p0 xn 生物医学信号处理 35 将它们代入判决公式取对数 则有 xi的对数似然比 生物医学信号处理 36 例4 设所含信号s是恒定值A 噪声n是高斯型随机变量N 0 H1 x A n H0 x n进行N次观察得到观察值x1 x2 xN 应该如何进行判断 提示 N次观察判据公式为 也就是 即 生物医学信号处理 37 多次观察比单次观察具有的优势是 观察次数越大 错误概率越小 说明 如果各x都是高斯信号 检验统计量x均值也是高斯信号 但x均值的方差减小 x均值的似然函数图像变尖变窄 因此PF PM都将减小 故PE也减小 所以 N越大 PE越小 为了保证各次观察相互独立 采样间隔至少要等于1 2B B为带宽 所以 N越大 所需观察时间就会越长 也就是说检测性能的改进要以观察时间的加长为代价 生物医学信号处理 38 第四节多元检测 信号或者图像的模式识别 疾病的统计诊断等 常常需要从多个假设中作出选择 即多元检测问题 4 1离散型随机变量 有M个假设 N个观察值构成观察矢量X x1 x2 xN 先验知识为先验概率 P H1 P H2 P HM 条件先验概率 p X H1 p X H2 p X HM 生物医学信号处理 39 那么 后验概率是 对于不同的假设 上式分母都相同 故极大后验概率准则为 比较上式分子 即分别计算取其值最大的一个假设作为判决 当X中各元素相互独立时 下式成立 生物医学信号处理 40 举例讨论多元检测贝叶斯准则 先列出不同判决的代价函数表为 4 2连续型随机变量 生物医学信号处理 41 令为后验概率 即观察x属于Hi的概率 那么 选择Hj作为判决付出的平均代价为 由贝叶斯公式 用先验概率表示后验概率 则平均代价应为 上式中对于各个判决分母都相同 令 取最小值对应的假设Hj作为判决 这就是多元检测的贝叶斯准则 生物医学信号处理 42 例5 四个假设H1 H2 H3 H4为H1 x s1 s1是高斯变量N 1 H2 x s2 s2是高斯变量N 2 H3 x s3 s3是高斯变量N 3 H4 x s4 s4是高斯变量N 4 假如i j时 cij 0 i j时 cij 1 且P H1 P H2 P H3 P H4 分别讨论单次观察和多次观察情况下的判决准则 生物医学信号处理 43 单次观察高斯变量的概率密度曲线 多次观察高斯变量的概率密度曲线 生物医学信号处理 44 function multidetect x 1 0 1 5 px1 1 sqrt 2 pi exp x 1 x 1 2 px11 1 sqrt 2 pi 0 7 exp x 1 x 1 2 0 7 0 7 px2 1 sqrt 2 pi exp x 2 x 2 2 px22 1 sqrt 2 pi 0 7 exp x 2 x 2 2 0 7 0 7 px3 1 sqrt 2 pi exp x 3 x 3 2 px33 1 sqrt 2 pi 0 7 exp x 3 x 3 2 0 7 0 7 px4 1 sqrt 2 pi e