增强模型意识,口算解立体几何.doc

增强模型意识，口算解题不再是梦想新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：1、 长方体的“一角”模型在三棱锥中，且. 三棱锥的高证明：设直线AH交BC于D点，由于H点一定在ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD. 在PAD中：的平面角分别是：.例1、四棱锥中，底面是边长为的正方形，求的大小. 分析：考虑三棱锥，它就是模型1长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论解：设二面角的大小为.则：，故我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例2、直二面角中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AEBE，求B点到面ACE的距离.分析：这是一道高考中的大题.因为DABE是直二面角，BC面ABE，当然面ABCD面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE. 在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AEBE，所以ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束ABE的形状.补充图形，在正方体看问题.在这里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，考虑三棱锥BACB1，它是模型2.所以，D到面ACE的距离为.点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角BACB1，那么这个角的模型更高，这就使我们在运算过程中得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.例3底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截，AB4，BC2，CC13，BE1（见图），求C点到面AEC1F的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长C1E交CB延长线于M，延长CD，交C1F延长线于N，CC1NM是模型2.因为同理.所以，C到面C1MN的距离为：.2、公式的几何模型AB是PB在内的射影，BC是内一条直线则有.AAD大家要注意搞清楚那个是，那个是，那个是，实际上只要搞清那个是，另外两个就是.特别的，内的直线不一定过B，如上面的右图所示：在直线AB上有一点D，过D在画一直线DC，则是直线PB与DC所成的角，则那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.例4EA面ABCD，ABCD是边长为的正方形，EA1，在AC上是否存在P点，使PE、BC成角.E分析：即所以.可见AC中点即是要找的点P例5长方体中，AB2，AA11，BD与面AA1B1B成30角.AEBD于E，F为A1B1的中点，求AE，BF成角.解：所以AE，BF成角为.这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.3、双垂四面体模型如图3，四面体ABCD，AB面BCD，CD面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：；以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是与以AD为棱的二面角为，则；对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线；对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则例3如图4，ABCD是上下底长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1拆成直二面角，如图5. （1）证明：ACBO1；（2）求二面角OACO1的大小.解：（1）略（2）平面AOO1平面OO1C，又AOO1C，AO平面OO1C，同理CO1平面AOO1，四面体AOO1C是一个双垂四面体，若二面角OACO1的平面角为，则，根据条件，从图5中可知AO3，OC2，CO11，即可自得.例4如图6，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE. （1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大小；（3）求点D到平面ACE的距离.分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体AEBC是一个双垂四面体，若二面角BACE的平面角为，则，由条件可以计算出ABCB=2,AE=，.值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为利用典型立体几何模型解高考题1（本小题满分13分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点（1）求点到面的距离；（2）求异面直线与所成的角；（3）求二面角的大小 解：显然三棱锥和都是长方体一脚模型，（1）设点到面的距离为，则由结论1， （2）设与所成的角为，则由模型二，由勾股定理，所以， 故， （3）设二面角、的大小分别为，则，由结论1， ， 所以2、（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC. 已知求二面角EPCD的大小.解：过E点作，则显然三棱锥是长方体一角模型，设二面角EPCD的大小为，则由结论1可知：，下面就只剩下计算问题了因为PD底面，故PDDE，又因ECPE，且DE是PE在面ABCD内的射影，故由三垂直线定理的逆定理知：ECDE，设DE=x，因为DAECED，故（负根舍去）.从而DE=1，故有勾股定理，又因为，所以，故，二面角EPCD的大小为3、（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）异面直线AB与EB1的距离； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值.解（）显然四面体是双垂四面体模型 由结论3，BE是异面直线AB与EB1的公垂线在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，作BDCC1，交CC1于D，则BD=BC在BEB1中，由面积关系得.（负根舍去）解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去.因此x=1，即异面