大学物理-角动量守恒定律ppt课件

1 角动量变化定理和角动量守恒1 质点的角动量2 质点角动量变化定理3 质点系角动量变化定理和角动量守恒定律 2 1质点的角动量 质点对O点的角动量 角动量的大小 右手螺旋定则 右手四指由r经小于180 角转向p 伸直的拇指的指向就是角动量的指向 必须指明是对哪个点而言的 3 2 的大小在0 之间变化 如果把动量分解为径向分量和横向分量 则仅横向分量才对角动量有贡献 一般情形下 和都是变化的 所以没有确定的方向 但任一时刻 总垂直于和所确定的平面 在直角坐标系下 的三个分量为 注意两点 1 质点的角动量是相对某一参考点而言的 因此对不同的参考点 角动量不同 4 作圆周运动质点对O点的角动量的方向垂直于圆周平面 大小为 把过O点并垂直于圆周平面的直线当成转轴 上式表示质点绕该轴转动的角动量 5 直线运动的角动量 若质点m沿直线运动 任一时刻相对于参考点o的矢径为 动量为 如下图 在计算其角动量时 注意有两个特点 1 o点到方向的垂直距离不变 2 方向不变 假如的大小也不变 显然的大小不变 这表明 自由质点对任意参考点的角动量保持不变 6 1 5 2质点角动量定理 质点对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率 等于这个质点所受合力对该固定点的力矩 力矩 方向用右手螺旋定则判断 大小为 7 证明 牛顿定律 角动量定理 因 则有 即 8 质点角动量守恒定律 当质点不受力 或所受合力矩M 0时 常矢量 质点角动量的大小和方向都保持不变 例1 20 开普勒第二定律 行星相对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 在微观物理现象中 角动量守恒起到十分重要的作用 9 设t时刻 行星在点 时刻在点 矢径扫过的面积为dA 由于dt很小 该面积近似为一三角形面积 即 式中 就是三角形的高 ds是三角形底边长度 也就是行星在dt时间内运动的距离 这样 10 而行星的角动量大小恒定 所以 常量 如果一个力的方向始终指向某一点 这力称为有心力 这点 称为力心 有心力对力心的力矩恒为0 因此 在有心力作用下的质点对力心的角动量守恒 这就是开普勒第二定律 11 质点系角动量变化定理和角动量守恒定律 1 质点系角动量 2 质点系角动量变化定理 质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率 等于这个质点系所受对该固定点的合外力矩 合外力矩 12 证明 对第i个质点应用角动量定理 对i求和 任意一对内力的力矩之和为零 内力总成对出现 则质点系所受合内力矩等于零 对总角动量没有影响 13 3 角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 则 实验表明 对于不受外界影响的粒子系统所经历的任意过程 包括不能用牛顿力学描述的过程 都遵守角动量守恒定律 14 例1 21 光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球 开始弹簧处于自然长度 两小球静止 今同时打击两个小球 让它们沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度v0 如果在以后的运动过程中弹簧的最大长度为2l0 求初速度v0 k 解 质心C点固定不动 相对C点系统的角动量守恒 系统 弹簧和小球 初始时刻角动量 15 弹簧达到最大长度时 小球只能沿垂直于弹簧轴线方向运动 则系统的角动量 机械能守恒 16 例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内 一质量为m的小球穿在圆环上 并可在圆环上滑动 小球开始时静止于圆环上的点A 该点在通过环心O的水平面上 然后从A 点开始下滑 设小球与圆环间的摩擦力略去不计 求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 17 解小球受力 作用 的力矩为零 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 得 18 考虑到 得 19 角动量定理 合外力矩为0 角动量守恒 20 二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1刚体定轴转动的角动量 21 2刚体定轴转动的角动量定理 由于刚体转动惯量为一常量 所以 即 称刚体定轴转动的角动量定理 22 非刚体定轴转动的角动量定理 3刚体定轴转动的角动量守恒定律 对定轴转的刚体 受合外力矩M 从到内 角速度从变为 积分可得 23 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律 内力矩不改变系统的角动量 守恒条件 若不变 不变 若变 也变 但不变 24 许多现象都可以用角动量守恒来说明 花样滑冰跳水运动员跳水 点击图片播放 25 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 如人手持哑铃的转动 芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作 都利用了对转轴的角动量守恒定律 26 27 28 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律 电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等 29 其中 m 讨论 水平方向动量守恒 30 例2 在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为M 长为2l 可绕中心转动的细杆 有一质量为m的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹性碰撞 求小球的反弹速度v及杆的转动角速度 解 在水平面上 碰撞过程中系统角动量守恒 1 31 弹性碰撞动能守恒 2 其中 联立 1 2 式求解 32 例3摩擦离合器飞轮1 J1 w1摩擦轮2 J2静止 两轮沿轴向结合 结合后两轮达到的共同角速度 两轮对共同转轴的角动量守恒 解 试与下例的齿轮啮合过程比较 33 两轮绕不同轴转动 故对两轴分别用角动量定理 解 例4两圆盘形齿轮半径r1 r2 对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1 J2 开始1轮以转动 然后两轮正交啮合 求啮合后两轮的角速度 34 得 35 例5质量很小长度为l的均匀细杆 可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 当细杆静止于水平位置时 有一只小虫以速率垂直落在距点O为l 4处 并背离点O向细杆的端点A爬行 设小虫与细杆的质量均为m 问 欲使细杆以恒定的角速度转动 小虫应以多大速率向细杆端点爬行 36 解虫与杆的碰撞前后 系统角动量守恒 37 由角动量定理 考虑到 38 例6一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A 并把跷板另一端的演员N弹了起来 问演员N可弹起多高 39 设跷板是匀质的 长度为l 质量为 跷板可绕中部支撑点C在竖直平面内转动 演员的质量均为m 假定演员M落在跷板上 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 解碰撞前M落在A点的速度 碰撞后的瞬间 M N具有相同的线速度 40 M N和跷板组成的系统 角动量守恒 l l 2 C A B M N h 41 解得 演员N以u起跳 达到的高度 42 解 碰撞前的瞬间杆对点的角动量为 式中为杆的线密度 43 因碰撞前后角动量守恒 所以 44 45 解 1 设当人以速度沿相对园盘转动相反的方向走动时 园盘对地转动的角速度为 则人对与地固联的转轴的角速度为 1 2 46 2 欲使盘对地静止则 3 式必为零即 式中负号表示人的走动方向与上一问中人的走动方向相反 即与盘的转动方向一致 47 48 49 根椐角动量定理 有 解得 50 例3 2 3重力有一特点 地球上任一物体受到的重力都指向地心 同样 在点电荷产生的静电场中 其他点电荷受到的作用力都指向场源电荷 人们把物体所受的指向一固定点的力称为有心力 把对应的力场称为有心力场 证明 1 在有心力作用下运动的物体 角动量守恒 2 所有有心力都是保守力 因而有心力场中运动质点机械能守恒 3 在与距离成平方反比的有心力场中 龙格 楞次矢量守恒 4 平方反比力场中质点的运动一定满足开普勒运动 51 证明 1 在有心力场中 质点只受到有心力作用 有心力对力心的力矩始终为0 故质点角动量守恒 2 如图所示 质点受到的有心力指向坐标原点 于是有心力可表示为 质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中 有心力所做功为 1 2 52 由式 2 可知 有心力是保守力 它做功只与质点始末位置有关 因此 也可以引入相应势能 3 将产生有心力场的场源和受有心力作用的质点看作一个系统 那么 该质点只受到保守力 有心力作用 根据质点系的功能原理 系统的机械能应当守恒 3 如果有心力是平