二项展开式系数的求法_第1页
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二项展开式系数的求法 苏 清 军 山东省无棣二中 山东 251913 中图分类号 O122 4 44 文献标识码 A 文章编号 0488 7395 2001 12 0007 01 收稿日期 2001 01 05 作者简介 苏清军 1969 男 山东无棣人 山东无棣二中一级教师 对于 a b n 展开式中特定项的系数 常常从 通项公式入手 学生容易掌握 而对于较复杂的展开 式 如 a b m c d n a b c n 等 多有畏难 情绪 这里介绍三种行之有效的方法 供大家学习时 参考 1 有效展开 对于次数不大的二项式 可先作适当变形 然后 部分展开 便可确定系数 例1 求 1 x 2 1 2 x 5 展开式中x3的系 数 解 1 x 2 1 2 x 5 1 2x x2 1 10 x 40 x2 80 x3 所以x3的系数为80 2 40 10 170 2 利用通项公式 即从通项公式入手 先得到问题的解 再得出项 的系数 例2 在 1 2 x 5 1 3 x 4 展开式中 若按x 的升幂排列 求展开式中的第三项 解 展开式中的第三项含x2 二项式 1 2 x 5 的通项公式为 Rm 1 Cm5 2 x m 二项式 1 3 x 4 的通项公式为 Rn 1 Cn4 3 x n m 0 1 2 3 4 5 n 0 1 2 3 4 Tm 1 Rn 1 Cm5 2 x m Cn4 3 x n Cm5Cn4 2 m 3 n xm n 令m n 2 解得 m 0 n 2 或 m 1 n 1 或 m 2 n 0 所以 1 2 x 5 1 3 x 4 展开式中第三项的系 数为 C05C24 2 0 32 C15C14 2 3 C25C04 2 2 30 54 120 40 26 3 利用求组合数的方法 这种方法并不需要借助二项展开式 对于形式 各异的题目都可以实施 例3 1996年上海高考题 在 1 x 6 1 x 4 的展开式中 x3的系数是 解 利用组合知识 展开式中含x3项有x3 x0 x2 x x x2 x0 x3 四种情况 所以x3的系数是 C36 C26 C14 1 C16 C24 1 2 C06 C34 1 3 20 60 36 4 8 例4 1992年全国高考题 在 x 2 3x 2 5 的展开式中x的系数为 A 160 B 240 C 360 D 800 分析 本题是三项展开式 可以通过分解因式 配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开 若借用组合知识解决可省却很多麻烦 解 根据三项的特点 展开式中x项只能源于 3x 2 2 2 2 所以x的系数为C15 3 24 240 选 B 例5 求 2x 3y 4 z 6 的展开式中x3y2z的 系数
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