11.3 导数的概念与运算Microsoft Word 文档.doc

3.13.2导数概念与运算教学案一、明确学习目标1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.二建构知识网络1导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果x0时，y与x的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在x0处的导数，记作；2导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为f(x0).过点P的切线方程为：y- y0= f(x0) (x- x0).3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x0)，从而构成了一个新的函数f(x0), 称这个函数f(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.4可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导 函数y=f(x)在点x0处连续. 5.依定义求导数的方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 6几种常见函数的导数：(C为常数)；()；。7导数的四则运算法则：； ； 8复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或=f(u) (x).9.求导数的方法:(1)求导公式; (2)导数的四则运算法则;(3)复合函数的求导公式; (4)导数定义.三、双基题目练练手1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+x,2+y）,则为（ ）A.x+2 B.x2 C.x+2 D.2+x2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于 （ ）A.B. C. D.3设f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，则f2005(x) （ ）Asinx BsinxCcosxDcosx 4.设函数, 集合, 若, 则实数的取值范围是 ( ) A B C D 5.设函数 若是奇函数，则_6设函数若该函数在实数集R上可导，则该函数的最小值是_7.过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .8对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 简答:14.CDCC； 5. ；6. 答案: . 依题意作图易得函数的最小值是f()7. （1，e） e； 8. 2n+1-2.四、经典例题做一做【例1】求下列函数的导数：（1）y= （2）y=ln（x）;（）y=; 解: （1）y=（2）y=（x）=（1）=（）y=提炼方法：题（1）是导数的四则运算法则；題（2）（3）是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.【例2】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数解：（1），即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1（2） 解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.【例3】若f（x）在R上可导，（1）求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f（x）为奇函数.分析:（1）需求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数；（2）求f（x），然后判断其奇偶性.（1）解:设f（x）=g（x）,则g（a）= =f（a）f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数互为相反数.（2）证明:f（x）= =f（x）f（x）为奇函数.解题点注:用导数的定义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致.【例4】已知函数x3+x2，数列 xn （xn 0）的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线y在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn）两点的直线平行（如图）。求证：当n时： （I）；（II）证明：（I）曲线在处的切线斜率过和两点的直线斜率是.（II）函数当时单调递增，而，即因此又令则 因此 故考查知识：函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。五提炼总