第二节总体分布的估计和总体特征数的估计

第二节总体分布的估计和总体特征数的估计 基础梳理1 作频率分布直方图的步骤 1 求极差 即一组数据中 与 的差 2 决定 与 3 将数据 4 列 5 画 2 频率分布折线图和总体分布的密度曲线 1 频率分布折线图 将频率分布直方图中各相邻的矩形的 顺次连接起来 2 总体分布的密度曲线 如果将样本容量取得 分组的组距取得 那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线 我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线 3 标准差和方差设一组样本数据x1 x2 xn 其平均数为 则有 1 标准差 s 2 方差 s2 4 用茎叶图刻画数据有两个优点 1 所有的信息都可以从 2 茎叶图便于 能够展示数据的分布情况 但当样本数据较多或数据位数较多时 茎叶图的效果就不是很好了 答案 1 1 最大值最小值 2 组距组数 3 分组 4 频率分布表 5 频率分布直方图2 1 上底边中点 2 足够大足够小3 1 2 4 1 图中得到 2 记录和表示 基础达标 1 对于样本频率分布折线图与总体分布的密度曲线的系 下列说法中正确的是 频率分布折线图就是总体分布的密度曲线 样本容量很大的频率分布折线图就是总体分布的密度曲线 如果样本容量无限增大 分组的组距无限减小 那么频率分布折线图就会无限接近于总体分布的密度曲线 2 必修3P60第8题改编 为了检测某产品的质量 抽取了一个容量为40的样本 检测结果是 一等品是8件 二等品是18件 三等品是12件 次品是2件 我们可以估计该产品为二等品或三等品的百分率是 3 右图是根据 山东统计年鉴2007 中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图 图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字 右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字 从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 4 一个容量为20的样本 数据的分组及各组的频数如下 10 20 2个 20 30 3个 30 40 x个 40 50 5个 50 60 4个 60 70 2个 则x等于 根据样本的频率分布估计 数据落在 10 50 的概率约为 5 若k1 k2 k8的标准差是 则2 k1 3 2 k2 3 2 k8 3 的标准差是 解析 本题考查两种曲线的关系2 75 解析 可以估计该产品为二等品或三等品的百分率是 75 3 303 6解析 291 291 295 298 302 306 310 312 314 317 10 303 6 4 40 7解析 x 20 2 3 5 4 2 4 P 0 7 5 2解析 根据标准差运算性质得 2 k1 3 2 k2 3 2 k8 3 的标准差是2 经典例题 题型一图表信息题 例1 为了解九年级学生中女生的身高 单位 cm 情况 某中学对九年级女生身高进行了一次测量 所得数据整理后 列出了频率分布表如下 1 求出表中m n M N所表示的数 2 画出频率分布直方图 3 试问 全体女生中身高在哪组范围内的人数最多 估计九年级学生中女生的身高在161 5cm以上的概率 解 解 1 M 50 m 50 1 4 20 15 8 2 N 1 n 0 04 2 作出直角坐标系 组距为4 纵轴表示 横轴表示身高 画出频率分布直方图如图 3 在153 5 157 5cm范围内最多 估计身高在161 5cm以上的概率为P 0 2 题型二用样本分布估计总体 例2 对某电灯泡进行寿命追踪调查 情况如下 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 估计电灯泡寿命在200h 500h以内的频率 4 估计电灯泡寿命在300h以上的频率 解 解 1 样本频率分布表如下 2 频率分布直方图如图 3 电灯泡寿命在200h 500h以内的频数为150 则频率为 0 75 4 电灯泡寿命在300h以上的电灯泡的频数为150 则频率为 0 75 题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3 对划艇运动员甲 乙二人在相同的条件下进行了6次测试 测得他们最大速度的数据如下 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 根据以上数据 试判断他们谁更优秀 解甲 27 38 30 37 35 31 33 乙 33 29 38 34 28 36 33 s2甲 27 33 2 38 33 2 30 33 2 37 33 2 35 33 2 31 33 2 94 15 s2乙 33 33 2 29 33 2 38 33 2 34 33 2 28 33 2 36 33 2 76 12 甲 乙 s甲2 s乙2 由此可以说明 甲 乙二人的最大速度的平均值相同 但乙比甲更稳定 故乙比甲更优秀 解甲 27 38 30 37 35 31 33 乙 33 29 38 34 28 36 33 s2甲 27 33 2 38 33 2 30 33 2 37 33 2 35 33 2 31 33 2 94 15 s2乙 33 33 2 29 33 2 38 33 2 34 33 2 28 33 2 36 33 2 76 12 甲 乙 s甲2 s乙2 由此可以说明 甲 乙二人的最大速度的平均值相同 但乙比甲更稳定 故乙比甲更优秀 变式3 1 1 已知某工厂10个工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示 以零件个数的前两位为茎 后一位为叶 那么这些工人生产零件的平均个数是 2 一个样本方差是s2 x1 3 2 x2 3 2 x20 3 2 则这组数据的总和等于 解析 1 112 7 2 答案 1 112 7 2 60 链接高考 1 2010 江苏 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量 从中随机抽取了100根棉花纤维的长度 棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标 所得数据都在区间 5 40 中 其频率分布直方图如图所示 则其抽样的100根中 有 根棉花纤维的长度小于20mm 知识准备 理解频率分布直方图中数据的含义 解解析 N 0 01 0 01 0 04 5 100 30 答案 30 2 2010 山东 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值为1 则样本方差是 知识准备 会求样本的平均数 方差 解析 由题意知 a 0 1 2 3 1 解得a 1 所以样本方差为s2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 2 答案 2 3 2010 天津 甲 乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图 中间一列的数字表示零件个数的十位数字 两边的数字表示零件个数