第2章 第12节 定积分与微积分基本定理.doc

20092013年高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第12节 定积分与微积分基本定理考点 定积分与微积分基本定理1（2013北京，5分）直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2C. D. 解析：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l的方程为y1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2dx2.答案：C2（2013江西，5分）若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1解析：本题考查定积分的计算及实数大小的比较，意在考查考生的运算能力S1x3，S2ln xln 2ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2S1S3.答案：B3（2013福建，4分）当xR，|x|0，T3.答案：35（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C. D.解析：阴影部分的面积为(x)dx(xx2)，故所求的概率P.答案：C6（2012湖北，5分）已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A. B.C. D.解析：由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为2(x21)dx2(x).答案：B7（2011新课标全国，5分）由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4C. D6解析：由y及yx2可得，x4，所以由y及yx2及y轴所围成的封闭图形面积为(x2)dx(xx22x)|.答案：C8（2011湖南，5分）由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1C. D.解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cosxdxsinx|().答案：D9（2010山东，5分）由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B.C. D.解析：由题可知yx2，yx3围成的封闭图形的面积为 (x2x3)dx(x3x4) .答案：A10.（2010湖南，5分） dx等于()A2ln2 B2ln2Cln2 Dln2解析：dxlnxln4ln2ln2.答案：D11(2009福建，5分)(1cosx)dx等于()A B2C2 D2解析：(1cosx)dx20(1cosx)dx2(xsinx)|02(1)2.答案：D12（2011陕西，5分）设f(x)若f(f(1)1，则a_.解析：显然f(1)lg10，f(0)03t2dtt3|1，得a1.答案：113(2010福建，14分)(1)已知函数f(x)x3x，其图象记为曲线C.()求函数f(x)的单调区间；()证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1)处的切线交于另一点P2(x2，f(x2)，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3)，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；(2)对于一般的三次函数g(x)ax3bx2cxd(a0)，请给出类似于(1)()的正确命题，并予以证明解：法一：(1)()由f(x)x3x得f(x)3x213(x)(x)当x(，)和(，)时，f(x)0；当x(，)时，f(x)0.因此，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)()曲线C在点P1处的切线方程为y(3x1)(xx1)xx1，即y(3x1)x2x.由得x3x(3x1)x2x，即(xx1)2(x2x1)0，解得xx1或x2x1，故x22x1.进而有S1| 2x1x1(x33xx2x)dx|(x4xx22xx)2x1x1|x.用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x32x2和S2x.又x22x10，所以S2x0，因此有.(2)记函数g(x)ax3bx2cxd(a0)的图象为曲线C，类似于(1)()的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C与其在点P1(x1，g(x1)处的切线交于另一点P2(x2，g(x2)，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3)，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线yg(x)的对称中心(，g()平移至坐标原点，因而不妨设g(x)ax3hx，且x10.类似(1)()的计算可得S1ax，S2ax0.故.法二：(1)同法一(2)记函数g(x)ax3bx2cxd(a0)的图象为曲线C，类似于(1)()的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C与其在点P1(x1，g(x1)处的切线交于另一点P2(x2，g(x2)，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3)，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值证明如下：由g(x)ax3bx2cxd(a0)得g(x)3ax22bxc，所以曲线C在点(x1，g(x1)处的切线方程为y(3ax2bx1c)x2axbxd.