2017_18版高中数学第二章解析几何初步疑难规律方法学案北师大必修.docx

第二章 解析几何初步1要点解读1.直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.解读(1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.(2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角.(3)不同的直线可以有相同的倾斜角.(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率我们把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即ktan .经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.解读(1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒.(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x轴.(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便.(4)当x1x2，y1y2时直线没有斜率.3.两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.解读(1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.(2)当两条直线的斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，此时也有l1l2.4.两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.解读(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD的ADC120，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率.分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式ktan .解在菱形ABCD中，ADC120，BAD60，ABC120.又菱形的对角线互相平分，BAC30，DBA60.DBx180DBA120.kACtan 30，kBDtan 120.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率.解设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x4，y3).Q点也在直线l上，k.评注本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿x轴正方向平移a个单位，再沿y轴正方向移动b个单位，坐标由(x，y)变为(xa，yb).直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2，y1y2，则倾斜角等于90，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用待定系数法例3如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.分析本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解设直线l的方程为ykxb.把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y1k(x3)b，即ykx3kb1.由条件，知ykx3kb1与ykxb为同一条直线的方程.比较系数，得b3kb1，解得k.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.3直线方程形式的相互转化直线方程的五种形式之间密切相关，可以进行相互转化.一、一般式方程转化为斜截式方程例1已知直线方程为3x4y60，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，根据直线的斜截式方程可以直接判断出对应直线的斜率与在y轴上的截距.解由3x4y60，可得4y3x6，即yx.根据直线的斜截式方程，可以得出此直线的斜率为，此直线在y轴上的截距为.评注在直线的斜截式方程ykxb中，非常直观地表示了该直线对应的斜率为k，该直线在y轴上的截距为b.二、一般式方程转化为截距式方程例2求直线axby10(a0，b0)与两坐标轴所围成的三角形的面积.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的截距式方程，根据直线的截距式方程可以直接判断出对应直线在相应坐标轴上的截距，再求解对应的三角形面积.解由直线axby10(a0，b0)，可得1.根据直线的截距式方程，可以得出此直线在x轴，y轴上的截距分别为，.所以对应的三角形面积为S|.评注在直线的截距式方程1(a0，b0)中，方程的左侧为两个分式的和，右侧为常数1，其中的a，b分别为直线在x轴，y轴上的截距.要正确理解截距的定义，但要注意在x轴，y轴上的截距分别表示的是直线与x轴，y轴交点的横、纵坐标.三、斜截式方程转化为点斜式方程例3直线ymx3m2(mR)必过的定点为_.分析只需把已知直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，根据直线的点斜式方程可以直接判断出对应直线所过的定点.解析由ymx3m2，可得ym(x3)2，即y2m(x3)，根据直线的点斜式方程，可以得出此直线必过的定点为(3,2).答案(3,2)评注在直线的点斜式方程yy0k(xx0)中，表示恒过定点(x0，y0)的一系列直线.在解答此类问题时，也可以通过参数的两个不同取值，通过求解两特殊直线的交点来达到确定定点的目的.四、一般式方程转化为点斜式方程例4已知直线l的方程为(k1)x(k1)y2k0，求证：无论k取何实数时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.分析只需把已知直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程，即可判断出对应的定点.证明由直线l的方程(k1)x(k1)y2k0，可得(k1)x(k1)y2k，则(k1)xk(k1)yk，亦即(k1)x(k1)(k1)y(k1).当k1时，y1(x1)，根据直线的点斜式方程可得直线l必过定点(1，1)；当k1时，直线l的方程为x1，亦必过定点(1，1).综上所述，无论k取何实数时，直线l必过定点(1，1).评注在解答有关直线过定点的问题中，经常利用直线的点斜式方程来解决.直线方程的五种表达式都有着各自的长处和不足，在求解有关的直线方程时，一定要注意各自方程形式的局限之处.4直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1已知直线方程为3xmy60，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.错解由3xmy60，得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.剖析忘记讨论当m0时，直线的斜率并不存在.正解当m0时，直线可化为x2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；当m0时，可得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.评注在直线的斜截式方程ykxb中，非常直观地表示了该直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.研究直线的斜率与在y轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理.但要注意当y的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论.二、两点式中分式“缺陷”例2已知直线l过点A(1,2)，B(a,3)，求直线l的方程.错解由两点式，得直线l的方程为.剖析忽视了a1，即直线与x轴垂直的情况，若a1，则不成立.正解当a1时，直线l的方程为x1；当a1时，直线l的方程为.综上所述，知直线l的方程为x(a1)(y2)10.评注一般地，过P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点的直线方程，不能写成，而应写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0.三、截距式中截距“缺陷”例3求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程.错解设直线的方程为1.因为直线过点(2,4)，所以1，解得a2.故所求的直线方程为1，即xy20.剖析直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解.正解当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k2，直线的方程为y2x，即2xy0.故所求的直线方程为2xy0或xy20.评注事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m(m0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况.四、一般式中系数“缺陷”例4如果直线(m1)x(m24m3)y(m1)0的斜率不存在，求m的值.错解因为直线的斜率不存在，所以m24m30.解得m3或m1.所以当m3或m1时，直线的斜率不存在.剖析由于方程AxByC0表示直线，本身隐含着(A，B不同时为0)这一条件.当m1时，方程(m1)x(m24m3)y(m1)0即为0x0y00，它不表示直线，应舍去.正解因为直线的斜率不存在，所以m24m30，且m10，解得m3.所以当m3时，直线的斜率不存在.评注方程AxByC0(A，B不同时为0)才叫作直线的一般式方程，才表示一条直线.5突破两条直线的位置关系在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型.下面举例说明.题型一根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值.例1已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.试求m为何值时，l1与l2：(1)平行？(2)垂直？分析(1)由“两直线axbyc0与mxnyd0平行且”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m的值；(2)由“两直线axbyc0与mxnyd0垂直()()1”即可求解.解(1)若l1l2，则且.解得m1.所以当m1时，l1l2.(2)若l1l2，则()()1.解得m.所以当m时，l1l2.评注如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点.利用此法只需把直线方程化为一般式即可.题型二有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交.例2若直线5x4y2m10与直线2x3ym0的交点在第四象限，求实数m的取值范围.分析可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标.由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m的取值范围.解根据题意，由可得这两条直线的交点坐标为(，).因为交点在第四象限，所以解得m0时，表示圆心为，半径r的圆，叫作圆的一般方程.二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程.掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的.(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值.标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点：一、二者确定圆的条件不同例1圆心P在直线yx上，且与直线x2y10相切的圆，截y轴所得的弦长|AB|2，求此圆的方程.解圆心P在直线yx上，可设P的坐标为(k，k)，设圆的方程为(xk)2(yk)2r2(r0).作PQAB于Q，连接AP，在RtAPQ中，AQ1，APr，PQk，r.又r，整理得2k23k20，解得k2或k.当k2时，圆的半径为r，故圆的方程为(x2)2(y2)25.当k时，圆的半径为r，故圆的方程为22.因此所求圆的方程为(x2)2(y2)25或22.例2已知ABC的各顶点坐标为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆的方程.分析可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程.解设过A、B、C三点的圆的方程是x2y2DxEyF0，将A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)代入可得解得D4，E2，F20，其外接圆的方程为x2y24x2y200.评注圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算.另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单.二、二者的应用方面不同例3若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线yx(x0)相切，求这个圆的方程.分析利用“半径为1的圆与y轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口.解由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b，则圆的方程为(x1)2(yb)21，圆与射线yx(x0)相切，1，解得b，圆的方程为(x1)2(y)21.评注圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.9探究圆的切线探究1已知点M(x0，y0)是圆x2y2r2上一点，l是过点M的圆的切线，求直线l的方程.解设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则OMMP.kOMkMP1，即1.整理，得x0xy0yxy.xyr2，切线l的方程为x0xy0yr2.当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用.结论1过圆x2y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.探究2求过圆C：(xa)2(yb)2r2上一点M(x0，y0)的切线l的方程.解设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则CMMP.kCMkMP1，即1.整理，得(x0a)(xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y0b)2.(x0a)2(y0b)2r2，切线l的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.当点M在直线xa和yb上时，可以验证上述方程同样适用.结论2过圆(xa)2(yb)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.探究3求过圆C：x2y2DxEyF0上一点M(x0，y0)的切线l的方程.解把圆C：x2y2DxEyF0化为标准方程，得22(D2E24F).由结论2可知切线l的方程为(x)(y)(D2E24F).整理，得x0xy0yDEF0.切线l的方程为x0xy0yDEF0.结论3过圆x2y2DxEyF0上一点M(x0，y0)的切线l的方程为x0xy0yDEF0.10圆弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|.例1求过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长.解设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为yx.解方程组得或|AB| 2.评注解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解.这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法.二、利用勾股定理若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|2.例2求直线x2y0被圆x2y26x2y150所截得的弦长|AB|.解把圆x2y26x2y150化为标准方程为(x3)2(y1)225，所以其圆心为(3,1)，半径r5.因为圆心(3,1)到直线x2y0的距离d，所以弦长|AB|24.三、利用弦长公式若直线l的斜率为k，与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|x1x2|.例3求直线2xy20被圆(x3)2y29所截得的弦长|AB|.解设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，整理得5x214x40.则x1x2，x1x2.|AB| .评注通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.11圆与圆相交的三巧用圆与圆的位置关系主要有五种，即相离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数.一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_.分析求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求.解析两圆方程作差，得x3y0.答案x3y0评注求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可.二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是_.分析关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题.解析由平面几何知识，知AB的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，3)与(3,0)两点的直线的方程.可求得直线的方程为3xy90.答案3xy90评注通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系.三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3已知圆A：(x1)2(y1)24，圆B：(x2)2(y2)29，则圆A和圆B的公切线有_条.分析判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数.解析因为圆心距|AB|，R3，r2，且Rr325，Rr321，所以有Rr|AB|Rr，即两圆相交.所以两圆的公切线有两条.答案2评注判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距.12与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题.例1圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差为_.分析利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差.解析由x2y24x4y100配方得(x2)2(y2)218，即圆心为C(2,2)，半径r3，则圆心到直线的距离d5，所以圆上的点到直线的最大距离为dr8，最小距离为dr2，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为826.答案6评注一般地，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r(r0).因为圆过点A(5,2)，B(3，2)，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易得线段AB的垂直平分线方程为y(x4).又因为圆心在直线2xy30上，所以由解得即圆心为(2,1).又圆的半径r.所以圆的方程为(x2)2(y1)210.二、数形结合，充分运用圆的几何性质求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解.比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等.例2已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.方法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.方法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同方法一.方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|0，否则，易造成增解或漏解.例1若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C：(x3m)2(y4m)225(m4)2相切，则点A在圆C的_(填“外部”、“内部”、“上面”)，m的取值范围是_.错解因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部，则有(43m)2(24m)225(m4)2，因此有240m380，解得m.故填外部，m0.正解因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部，则有(43m)2(24m)225(m4)2，因此有240m380，解得m0，所以m4，因此m的取值范围是m且m4.答案外部m1，所以点M在圆O外.连接MO并延长，顺次交圆O于D，E两点，则|MD|PM|ME|，即|MO|r|PM|MO|r.所以|PM|的最小值为|MO|r1，即(x2)2(y3)2的最小值为(1)2142.评注本例从运动变化的角度出发(让点P在圆上运动)，在运动中寻觅最值取得的条件，从而使问题获解.二、方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的.例2已知过点(3,0)的直线l与圆x2y2x6y30相交于P，Q两点，且OPOQ(其中O为原点)，求直线l的方程.分析由条件OPOQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1.由P，Q在圆及直线上，可借助方程求解.解设直线l的方程为xay30(a0)，则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的坐标满足方程组消去y，得x22x630，即x2x30.所以x1x2.由方程组消去x，得(3ay)2y2(3ay)6y30，即(a21)y2(7a6)y150.所以y1y2.因为OPOQ，所以1，即x1x2y1y20.由，得0.整理，得a26a80.解得a2或a4.故直线l的方程为x2y30或x4y30.评注本题巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决.三、转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问