关于概率论中的分段函数问题

第 14 卷第 2 期 2011年 3 月 高 等 数 学 研 究 ST UDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol 14 No 2 Mar 2011 关于概率论中的分段函数问题 王彭德 熊 明 大理学院 数学与计算机学院 云南 大理 671003 收稿日期 2009 04 07 修改日期 2011 02 18 基金项目 云南省自然科学基金项目 2006A0089M 大理学院 精品课程建设 项目资助 08130201 大理学院教改 重点项目资助 JGIII 8 作者简介 王彭德 1966 男 云南大理人 副教授 主要从事概率 统计方法研究 Email wpd66 126 com 摘要 分段函数在概率论中有着广泛的应用 通过对几个概率问题的研究 探讨针对分段函数如何合理分 段或分区域进行积分问题 体现分段函数在概率论中的重要性 关键词 概率 期望 分段函数 概率分布 中图分类号 O211 5文献标识码 A文章编号 1008 1399 2011 02 0049 03 分段函数是高等数学教学的一个难点 在概率 论的学习中 经常遇到用分段函数的定积分求连续 型随机变量的概率 期望和概率分布 其中连续型随 机变量函数的分布 既是教学的重点 又是教学的难 点 同时也是近几年全国研究生入学考试数学试卷 有关概率内容命题的热点之一 根据多年从事概率 统计教学的实践 发现学生对分段函数的积分不够 熟练 特别是在求多维随机变量的概率分布时 如何 分段或分区域显得无从下手 导致一些不必要的错 误 希望以下的探讨对读者有一定的帮助 1 概率计算问题的求解 在概率论中 分段函数的积分是研究连续型随 机变量的一个重要工具 而一些概率函数又常常以 分段函数的形式出现 例如计算概率 P a X b Q b ap x dx 时 经常涉及分段函数的定积分 一般地 在求上述 概率时 先要找出概率密度函数p x 非零的区间与 积分区间 a b 的公共部分 再正确分段积分 例 1 设随机变量 X 的概率密度函数为 p x 3 8 x 2 0 x 2 0 其他 求概率 P X 1 解 由于密度函数 p x 是分段函数 其非零 区间是 0 2 而所求概率的积分区间是 1 1 它 们两者的公共区间为 0 1 因此 P X 1 Q 1 1 p x dx Q 0 10dx Q 1 0 3 8 x 2dx 1 8 注 1 只有熟练掌握了分段函数的积分 才可 避免出现以下错误 P X 1 Q 1 1 3 8 x 2 dx 1 4 2 数学期望问题的求解 连续型随机变量函数的数学期望 1 E f X Q f x p x dx 如果函数 f x 和 p x 都以分段函数的形式出现 那么计算随机变量函数 f X 的数学期望时要分别 找出他们公共的区间作为积分区间 例 2 1 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观 光 电梯于每个整点的第 5 分钟 25 分钟和 45 分钟 准时从底层起运行 假设一游客在早 8 点的第 X 分 钟到达底层候梯处且X 服从 0 60 上的均匀分布 求该游客等候电梯时间的数学期望 解 设游客等候电梯的时间为 Y 单位 分 钟 由题意可得 Y 是X 的分段函数 Y f X 5 X 0 X 5 25 X 5 X 25 45 X 25 X 45 65 X 45 X 60 又随机变量 X 在 0 60 上服从均匀分布 则 X 的概 率密度函数为 p x 1 60 0 x 60 0 其他 由随机变量函数的数学期望公式得 E f X Q 60 0 f x 60 dx 1 60Q 5 0 5 x dx 1 60Q 25 5 25 x dx 1 60Q 45 25 45 x dx 1 60Q 60 45 65 x dx 10 因此游客等候电梯时间的数学期望为 10 分钟 注2 该题是1997年高等数学 一 考研试题 属于典型的分段函数的积分问题 3 概率分布问题的求解 连续型随机变量的概率分布主要有分布函数和 密度函数 计算中常涉及分段函数的积分 如何正确 分段 分区域 成为概率论教学的一个难点问题 解 决这一问题的关键是正确处理分布函数和密度函数 的分段问题 一维连续型随机变量 X 的分布函数 F x P X x Q x p t dt 其定义域是 且0 F x 1 积分变 量 t 的范围是 x 在求分布函数时要考虑密 度函数的分段情况 例如 随机变量 X 的密度函数 pX x x 2 0 x 1 4 9 x 1 x 2 0 其他 当 1 x 2时 分布函数 F x 相应的表达式为 F x Q 0 0dt Q 1 0 t2dt Q x 1 4 9 tdt 2 9 x 2 1 9 同理对于二维连续型随机变量的分布函数 F x y P X x Y y Q x Q y p u v dudv 要根据联合密度函数的非零区域特点 分区域积分 计算会更复杂一些 例 3 设随机变量 X 在区间 1 2 上服从均 匀分布 求随机变量 Y X 2 的概率密度 解 由于 y x 2 在 1 2 上不是单调函数 不能直接用公式法求Y X 2 的概率密度 只能用分 布函数的定义求解 由于 X U 1 2 可知 X 的概率密度 pX x 1 3 1 x 2 0 其他 对于函数 y x 2 当 1 x 2 时 0 y 4 把 分布函数FY y 的定义域 划分为四部 分 即 0 0 1 1 4 4 当 y 0 时 FY y P Y y P X 2 y 0 当 0 y 1 时 FY y P X 2 y P y X y Q y y 1 3 dx 2 3 y 当 1 y 4 时 FY y P y X y P y X 1 P 1 X y Q 1 y 0dx Q y 1 1 3 dx y 1 3 当 y 4 时 FY y P 1 X 2 Q 2 1 1 3 dx 1 因此可得随机变量 Y X 2 的分布函数为 FY y 0 y 0 2 3 y 0 y 1 y 1 3 1 y 4 1 y 4 所求概率密度函数为 pY y 1 3y 0 y 1 1 6y 1 y 4 0 其他 注3 该题的另外一种解法也可先求出 X 的分 布函数 FX x 再用 FX x 求 FY y 值得注意的 是 在对 FY y 的定义域 分段时 若不 考虑X 的概率密度的取值范围 而由0 y 4直接 分为 0 0 4 4 进行积分 将会得 到错误的结果 例 4 2 设二维连续型随机变量 X Y 的联合 密度函数为 p x y 1 0 x 1 y x 0 其他 求关于 Y 的边缘密度 50 高 等 数 学 研 究2011年 3月 解 由于联合密度p x y 的非零区域是一个 三角形区域 图 1 即 1 y y 关于 Y 的边缘密度函数pY y 的自变量y 的取值范 围是 1 y 1 而不能为 y x 否则 Y 的边 缘密度就不是一元函数 当 1 y 0 时 pY y Q p x y dx Q 1 y 1dx 1 y 当 0 y 1 时 pY y Q p x y dx Q 1 y 1dx 1 y 当 y 1 或 y 1 时 pY y 0 因此关于 Y 的边缘密度函数为 pY y 1 y 1 y 0 1 y 0 y 1 0 其他 图 1 例 4 用图 注 4 该题在确定积分限时经常易犯扩大积分 区域的错误 因此最好画出积分区域的图形 进行正 确分段 分区域 例 5 2 连续型随机变量 X Y 的联合密度 p x y 4xy 0 x 1 0 y 1 0 其他 求二维随机变量 X Y 的联合分布函数 解 由于 p x y 是分段函数 其非零区域是 一个正方形区域 0 x 1 0 y 1 根据分布函数的定义把整个坐标平面分为以下五种 情形进行讨论 1 当 x 0 或 y 0 时 F x y P X x Y y 0 2 当 0 x 1 且 0 y 1 时 F x y Q x 0Q y 0 4uvdudv x 2y2 3 当 0 x 1 且 y 1 时 F x y Q x 0Q 1 0 4uvdudv x 2 4 当 x 1 且 0 y 1 时 F x y Q 1 0Q y 0 4uvdudv y 2 5 当 x 1 且 y 1 时 F x y Q 1 0Q 1 04uvdudv 1 因此 X Y 的联合分布函数为 F x y 0 x 0 或 y 0 x 2y2 0 x 1 且 0 y 1 x 2 0 x 1 且 y 1 y 2 x 1 且 0 y x Y y 而在分段时只考虑情形 1 2 5 势必导致错误的结果 参考文献 1 姚孟臣 研究生入学考试 概率统计 M 北京 北京大 学出版社 2003 96 97 2 茆诗松 程依明 濮晓龙 概率论与数理统计教程 M 北京 高等教育出版社 2004 147 148 3 徐传胜 离散型随机变量数学期望的求法探究 J 高等 数学研究 2005 8 1 33 35 Piecewise Defined Functions in Probability WANG Peng de XIONG ming Department of Mathematics and Computer Dali University Dali 671003 PRC Abstract Piecew ise defined functions are widely used in probability With several examples we illustrate wa