1.1.1平均变化率

高二 12 班的全体同学们你们好 江苏省贾汪中学郑振环 现有某市2004年3月和4月某天日最高气温记载 t d 温差14 8 温差15 1 比值反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度 2天 31天 问题1 如何从数学角度刻画气温 陡升 情境1 4月20日那天人们会惊呼 天气热得太快了 时间的改变量t2 t1 温度的改变量T2 T1 32 1 31 天 34 32 2 天 18 6 3 5 15 1 oC 33 4 18 6 14 8 oC 温度差 时间差 15 1 31 14 8 2 7 4 oC 天 0 5 oC 天 7 4 oC 天 0 5 oC 天 构建数学模型 气温随时间变化关系T T t 慢 快 气温变化快慢 气温在区间 t1 t2 上的平均变化率 党的十七大以来 我国经济在持续快速增长的同时保持了比较好的稳定性 2002年我国人均GDP首次超过1000美元 达到1100美元 在短短的4年内于2006年达到2000美元 我国已经由低收入国家步入了中等收入国家的行列 2006年到2016年这十年我国经济处于高速增长阶段 比值反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的快慢程度 情境2 问题2 如何从数学角度刻画2006年至2016年这10年我国人均GDP 猛增 2006年至2016年这10年内我国人均GDP平均每年增加多少美元 2002年至2006年这4年内我国人均GDP平均每年增加多少美元 900 6100 实例2 人均GDP在区间 x1 x2 上的平均变化率 快 慢 人均GDP随时间变化关系y y x 时间的改变量x2 x1 人均GDP的改变量y2 y1 人均GDP差 时间差 人均GDP变化快慢 11 慢 快 x年 徐州人才家园小区近十来年的房价变化如下图所示 情境3 哇 房价暴涨 比值反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度 问题3 如何从数学角度刻画房价 暴涨 实例3 房价在区间 t1 t2 上的平均变化率 11 9102016 2017 快 慢 比值称为函数在某一区间上的平均变化率 用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度 问题4 你能给出函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率的定义吗 思考1 平均变化率 averageratesofchange k 7 4 平均变化率有什么几何意义呢 思考2 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 平均变化率的几何意义就是函数f x 图象上两点 x1 f x1 x2 f x2 所在直线的斜率 你能举出生活中与平均变化率有关的例子吗 活动 例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示 分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率 问题5 本例中两个平均变化率的数值不同的实际意义是什么 例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙 t秒后容器甲中水的体积V t 10 5 0 1t 单位 cm3 求第一个10s内容器甲中水的体积V的平均变化率 乙 甲 思考 运用 问题6 容器甲中水的体积V的平均变化率是一个负数 它的实际意义是什么 例3已知函数计算在区间 3 1 0 5 上及的平均变化率 解 函数在区间 3 1 上的平均变化率为 函数在区间 0 5 上的平均变化率为 函数在区间 3 1 上的平均变化率为 函数在区间 0 5 上的平均变化率为 思考 问题7 若函数f x 2x 1 试求f x 在区间 a b 上的平均变化率 答案 2 一次函数y kx b在区间 m n 上的平均变化率为直线的斜率k 一次函数y kx b在区间 m n 上的平均变化率有什么特点 想一想 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 艾宾浩斯遗忘曲线 探究 拓展 2 本节课体现了哪些数学思想方法 1 这节课你学到了什么知识 回顾反思 3 这节课我最感兴趣的地方是什么 1 必做题 2 选做题 3 拓展题 布置作业 第7页2 3题 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 一运动质点的位移S与时间t满足S t t2 如何刻画t 1这一时刻质点运动变化的快慢程度呢 位移单位为m 时间单位为s 数缺形时少直观 形缺数时难入微 华罗庚 1 1 3