北航 材料力学 全部课件 习题答案

1 第六章 弯曲应力 6 2 如图所示 直径为 d 弹性模量为 E 的金属丝 环绕在直径为 D 的轮缘上 试求 金属丝内的最大弯曲正应变 最大弯曲正应力与弯矩 题 6 2 图 解 金属丝的曲率半径为 2 dD 所以 金属丝的最大弯曲正应变为 dD d dD dy 2 2 max max 最大弯曲正应力为 dD Ed E maxmax 而弯矩则为 32 32 43 max dD dE dD Edd WM z 6 3 图示带传动装置 胶带的横截面为梯形 截面形心至上 下边缘的距离分别为 y1 与 y2 材料的弹性模量为 E 试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力 题 6 3 图 解 由题图可见 胶带中性层的最小曲率半径为 1min R 依据 Ey 2 可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为 1 1 maxt R Ey 1 2 maxc R Ey 6 6 图 a 所示正六边形截面 边长为 a 试计算抗弯截面系数 Wz与 Wy 题 6 6 图 解 1 Wz计算 由图 b 可以看出 2 3 2 a h a b 所以 ADB 对 z 轴的惯性矩为 64 3 2 3 212 1 123236 4 3 323 t aaabhhbhbh Iz 中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为 4 3 2 3 2 1212 2 4 3 3 r aaaha Iz 于是得整个六边形截面对 z 轴的惯性矩为 16 35 4 3 64 34 4 444 r t aaa III zzz 而对 z 轴的抗弯截面系数则为 8 5 3 2 16 35 34 max a a a y I W z z 2 Wy计算 ADB 对 y 轴的惯性矩为 192 311 23236 423 t aabbhhb Iy 中部矩形截面对 y 轴的的惯性矩为 3 12 3 12 2 43 r aha Iy 于是得整个六边形截面对 y 轴的惯性矩为 16 35 12 3 192 3114 4 444 r t aaa III yyy 而对 z 轴的抗弯截面系数则为 16 351 16 35 34 max a a a z I W y y 6 7 图示直径为 d 的圆木 现需从中切取一矩形截面梁 试问 1 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高 h 和 b 应分别为何值 2 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高 h 和 b 又应分别为何值 题 6 7 图 解 1 为使弯曲强度最高 应使 z W值最大 66 22 2 bd bbh Wz 0 3 6 1 d d 22 bd b Wz 由此得 dbdhdb 3 6 3 3 22 2 为使弯曲刚度最高 应使 z I值最大 22 33 1212 hd hbh Iz 0 12 3 d d 22 4222 hd hhdh h Iz 由此得 2 2 3 22d hdbdh 4 6 8 图 a 所示简支梁 由 18 工字钢制成 弹性模量 E 200 GPa a 1m 在均布 载荷 q 作用下 测得截面 C 底边的纵向正应变 3 0 10 4 试计算梁内的最大弯曲正应力 题 6 8 图 解 1 内力分析 梁的弯矩图如图 b 所示 横截面 C 的弯矩为 4 2 qa MC 梁内的最大弯矩则为 32 9 2 max qa M a 2 应力计算 解法一 横截面 C 底部的弯曲正应力为 C z C E W qa 4 2 max 由此得 2 4 a WE q zC 代入式 a 得 8 9 max zCW E M 于是得梁的最大弯曲正应力为 MPa5 67 8 103 0 Pa10200 9 8 9 49 max max C z E W M 3 应力计算 解法二 横截面 C 底部的弯曲正应力为 CC E max 由于应力与内力成正比 所以 梁内的最大弯曲正应力为 5 MPa5 67 8 9 4 32 9 2 2 max max max C CC C E E qa qa M M 计算结果相同 6 9 图示简支梁 承受均布载荷 q 作用 已知抗弯截面系数为 Wz 弹性模量为 E 试计算梁底边 AB 的轴向变形 题 6 9 图 解 梁的弯矩方程为 2 22 x q x ql xM 横截面 x 处底边微长 dx 的轴向变形为 x EW xM xxl z d d d 所以 梁底边 AB 的轴向变形为 z l z l z EW ql xx q x ql EW x EW xM l 12 d 22 1 d 3 0 2 0 6 10 图示截面梁 由 18 工字钢制成 截面上的弯矩 M 20kN m 材料的弹性模 量 E 200GPa 泊松比 0 29 试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量 题 6 10 图 解 1 截面几何性质 工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 6 10 6 图 6 10 由附录F表 4 查得 34 cm185 1660cm mm710 94mm mm180 zz WI tbh 并从而得 mm3 792 1 thh 2 计算顶边AB的长度改变量 顶边处有 E W M z max max 由此可得AB边的伸长量为 mm01474 0m104741 m 1018510200 1020094 029 0 5 69 3 EW bM b z AB 3 计算上半腹板CD的长度改变量 距中性轴z为 1 y的点 弯曲正应力的绝对值为 z I My y 1 1 1 y以向上为正 该处的横向应变为 1 1 z EI My y 由此可得线段CD的伸长量为 mm00549 0m10495m 101660102002 0793 01020290 2 d d 6 89 23 2 1 1 0 11 0 11 EI Mh yy EI M y z h z h CD 7 6 12 图 a 所示矩形截面悬臂梁 杆端截面承受剪切载荷 F 作用 现用纵截面 AC 与 横截面 AB 将梁的下部切出 试绘单元体 ABCD 各切开截面上的应力分布图 并说明该部分是 如何平衡的 题 6 12 图 解 1 单元体的应力分析 梁内各横截面的剪力相同 其值均为 F 在固定端处 横截面上的弯矩则为 FlM 0 与上述内力相对应 单元体各截面的应力如图 b 所示 在横截面 AB 上 弯曲切应力按抛 物线分布 最大切应力为 bh F 2 3 max 在该截面上 弯曲正应力线性分布 最大弯曲压应力则为 2 max c 6 bh Fl 在纵截面 AC 上 作用有均匀分布的切应力 其值为 bh F 2 3 在横截面 CD 上 作用有合力为 F1 F 2 的剪切分布力 2 单元体的受力分析 根据上述分析 画单元体的受力如图 c 所示 图中 F2代表横截面 AB 上由切应力构成的 剪切力 F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力 F4则代表纵截面 AC 上由切应力构 成的剪切合力 显然 2 2 F F 2 312 42 0 3 3 h Fl bh hbh Fl I SM F z z 2 3 2 3 4 h Fl bl bh F blF 3 单元体的平衡 根据上述计算结果 得 8 0 2 3 2 3 43 h Fl h Fl FFFx 0 22 12 FF FFFy 0 32 3 23 31 h h Fl l Fh FlFMA 说明单元体满足平衡条件 6 13 图示矩形截面简支梁 承受矩为 Me Fa 的集中力偶作用 截面的宽度为 b 高 度为 h 试绘单元体 ABCD 的应力分布图 注明应力大小 并说明该单元体是如何平衡的 题 6 13 图 解 1 画剪力 弯矩图 左 右支座的支反力大小均为3 F 方向是左向上 右向下 据此可画剪力 弯矩图示 如图 6 13a 与 b 图 6 13 2 求单元体两端面上的应力及其合力 单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图 c 最大弯曲正应力和剪应力值分别为 2 2 max2 22 1 max1 4 2 3 6 bh Fa W M bh Fa bh Fa W M z z bh F A F 22 3 S2 max2max1 9 由切应力互等定理可知 纵截面上的切应力 x 与 2max 数值相等 左 右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为 h Fabh F h Fabh F x x 2 2 1 2 2 2 1 2max2 1max1 左 右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等 其值为 FFF yy 6 1 21 纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为 h Fa abF xx 2 S 3 检查单元体的平衡方程是否满足 0 22 0 S12 h Fa h Fa h Fa FFFF xxxx 0 66 0 21 FF FFF yyy 0 66333 0 2121 FaFaFa aF h F h FM yxxz 由此可见 单元体的全部平衡方程均能满足 另三个平衡方程是恒等满足 无需写出 6 14 梁截面如图所示 剪力 F s 200kN 并位于 x y 平面内 试计算腹板上的最大 弯曲切应力 以及腹板与翼缘 或盖板 交界处的弯曲切应力 题 6 14 图 a 解 截面形心至其顶边的距离为 m04818 0 m 020 0120 0100 0020 0 080 02010 0120 0010 0100 0020 0 C y 惯性矩和截面静矩分别为 10 353 353 max 4642 3 2 3 m10636 7m03818 0020 0100 0 m10431 8m 2 09182 0 020 009182 0 m10292 8 m03182 0120 0010 02 12 120 0010 0 203818 0020 0100 0 12 020 0100 0 z z z S S I 于是得腹板上的最大弯曲切应力为 MPa7 101Pa10017 1 m020 010292 8 N10431 810200 8 26 53 max S max I SF z z 腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为 MPa192Pa10219 m0200102928 N10636710200 7 26 53 s I SF z z 交界 b 解 采用负面积法 得截面形心至其顶边得距离为 m081 0 m 100 0 020 0110 0 150 0110 0 070 0100 0 020 0110 0 075 0150 0110 0 C y 惯性矩 采用负面积法 和截面静矩分别为 343 343 34 32 max 4542 3 2 3 m10782 1 m015 0069 0 110 0030 0 m10562 1 m010 0081 0 110 0020 0 m10934 1 m 2 1 030 0069 0 020 0 015 0069 0 110 0030 0 m10294 2 m 070 00810 100 0090 0 12 100 0090 0 075 0081 0 150 0110 0 12 150 0110 0 下 上 z z z z S S S I 于是得腹板上的最大弯曲切应力为 MPa3 84Pa1043 8 m020 010294 2 N10934 110200 7 25 43 max S max I SF z z 腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为 MPa1 68Pa1081 6 m020 010294 2 N10562 110200 7 25 43 S I SF z z上 交界上 腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为 MPa7 77Pa1077 7 m020 010294 2 N10782 110200 7 25 43 S I SF z z下 交界下 6 17 图示铸铁梁 载荷 F 可沿梁 AC 水平移动 其活动范围为 0 3l 2 已知许用 拉应力 t 35MPa 许用压应力 c 140MPa l 1m 试确定载荷 F 的许用值 11 题 6 17 图 解 1 截面几何性质计算 由图 6 17 可得 4642 3 2 3 m10142 3 m 03222 0060 0 080 0020 0 12 080 0020 0 02222 0020 0100 0 12 020 0100 0 m03222 0 m 020 0080 0020 0100 0 060 0020 0080 0010 0020 0100 0 z C I y 图 6 17 2 确定危险面的弯矩值 分析可知 可能的危险截面及相应弯矩如下 当F作用在AB段时 4 2 max Fl M l 当作用在BC段时 2 2 3 max Fl M l 3 确定载荷的许用值 由危险面B的压应力强度要求 100 0 2 100 0 c max maxc y I Fl y I M C z C z 得 kN98 12N10298 1 03222 0100 0 000 1 N1014010142 32 1000 2 4 66 c C z y l I F 由截面B的拉应力强度要求 12 2 t max maxt y I Fl y I M C z C z 得 kN83 6N1083 6 03222 0000 1 N103510142 32 2 3 66 t C z ly I F 由 max M作用面的拉应力强度要求 100 0 4 100 0 t max maxt y I Fl y I M C z C z 得 kN49 6N1049 6 03222 0100 0 000 1 N103510142 34 100 0 4 3 66 t C z yl I F 该面上的最大压应力作用点并不危险 无需考虑 比较上述计算结果 得载荷的许用值为 kN496 F 6 18 图示矩形截面阶梯梁 承受均布载荷 q 作用 已知截面宽度为 b 许用应力为 为使梁的重量最轻 试确定 l1与截面高度 h1和 h2 题 6 18 图 解 1 求最大弯矩 左段梁最大弯矩的绝对值为 2 2 max 1 ql M 右段梁最大弯矩的绝对值为 2 2 1 max 2 ql M 2 求截面高度 1 h和 2 h 由根部截面弯曲正应力强度要求 2 6 2 1 2 1 max 1 max1 bh ql W M z 得 13 3 3 2 1 b q l b ql h a 由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求 2 6 2 2 2 1 2 max 2 max2 bh ql W M z 得 3 12 b q lh b 3 确定 1 l 梁的总体积为 3 2 11121121 llll b q blbhllbhVVV 由 02 0 d d 1 1 ll l V 得 2 1 l l 最后 将式 c 代入式 b 得 3 2 2 b ql h 为使该梁重量最轻 也就是V最小 最后取 3 2 2 211 b q lhh l l 6 19 图示简支梁 由四块尺寸相同的木板胶接而成 已知载荷 F 4kN 梁跨度 l 400mm 截面宽度 b 50mm 高度 h 80mm 木板的许用应力 7MPa 胶缝的许用切应 力 5MPa 试校核强度 题 6 19 图 解 1 画剪力 弯矩图 该梁的剪力 弯矩图如图 6 19 所示 由图可知 最大剪力 绝对值 和最大弯矩分别为 14 FlMFF 9 2 3 2 max max S 图 6 19 2 校核木板的弯曲正应力强度 MPa67 6Pa1067 6 m080 0050 03 N400 01044 9 26 6 22 3 2 max max bh Fl W M z 3 校核胶缝的切应力强度 MPa000 1Pa10000 1 m080 0050 0 N104 23 23 2 3 6 2 3 max S max bh F A F 结论 该胶合木板简支梁符合强度要求 6 21 图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁 设吊车自重 W 50kN 最 大起重量 F 10kN 许用应用 160MPa 许用切应力 80MPa 试选择工字钢型号 由于梁较长 需考虑梁自重的影响 题 6 21 图 解 1 求最大弯矩 设左 右轮对梁的压力分别为 21 FF和 不难求得 kN50 kN10 21 FF 由图 6 21a 所示梁的受力图及坐标 得支反力 15 80 106 2 1 80 650 2 1 21 21 xxxFxF l F xxxlFxlF l F By Ay 图 6 21 该梁的剪力 弯矩图示如图 b 和 c 图中 80 8 106 2 80 650 xxxxlFM xxxxFM ByD AyC 由 0 d d 0 d d x M x M DC 得极值位置依次为 m 6 19 m 6 25 xx 两个弯矩极值依次为 mkN2 104mkN 6 25 2550 max C M mkN2 140m kN 6 19 81019 max D M 比较可知 单梁的最大弯矩值为 mkN1 70 2 1 maxmax D MM 2 初选工字钢型号 先不计梁的自重 由弯曲正应力强度要求 得 334 6 33 max cm438m1038 4 10160 m101 70 M Wz 由附录F表 4 初选 28a 工字钢 有关数据为 16 cm6 24 mm5 8 kg m492 43 cm508 3 zzz SI qW 3 检查和修改 考虑梁自重的影响 检查弯曲正应力强度是否满足 由于自重 梁中点截面的弯矩增量为 mN1033 5mN 8 1081 9492 43 8 3 22 max ql M 上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右 0 167m 处 因二者相距很近 检查正应力强度时 可将二者加在一起计算 计算的 max 比真实的略大一点 偏于安全 即 MPa5 148 Pa10049 110380 1 m10508 N1033 5101 70 78 26 33 maxmax max W MM z 最后 再检查弯曲切应力强度是否满足 MPa89 14Pa10489 1 m105 8106 24 N1013 31 kN13 31 kN101081 9492 43 2 1 1086 2 1 7 232 3 maxS max 3 maxS S I F F z z 结论 检查的结果表明 进一步考虑梁自重影响后 弯曲正应力和切应力强度均能满足 要求 故无需修改设计 最后选择的工字钢型号为 28a 6 22 图 a 所示组合木梁 由 6 个等间距排列的螺栓连接而成 梁端承受载荷 F 作用 试求螺栓剪切面上的剪力 题 6 22 图 解 螺栓的间距为 6 l e 用横截面 1 1 与 2 2 从上半木梁中切取块体如图 b 所示 可以看出 螺栓剪切面上的剪力为 eF I S MM I S I SM I SM FFF z z z z z z z z S12 12 12bS a 式中 22 2 baa abSz 17 3 2 12 2 33 baab Iz FF S 将上述表达式代入式 a 于是得 a Fll F ba ba F 862 3 2 3 2 bS 6 23图示简支梁 由两根 50b 工字钢经铆钉连接而成 铆钉的直径 d 23mm 许 用切应力 90MPa 梁的许用应力 160MPa 试确定梁的许用载荷 q 及铆钉的相应间距 e 提示 按最大剪力确定间距 图 6 23 图 解 1 计算组合截面的 z I和 z S 由附录F表 4 查得 50b 工字钢的有关数据为 42 cm48600 cm304 129 mm500 1 z IAh 由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为 3332 434224 2 m102326 3m500 01029304 1 2 1 2 m105883 2 m500 01029304 1 2 1 1086 42 4 22 1 h AS Ah II z zz 2 许用载荷的确定 8 8 2 max max 2 max I hql I hM ql M zz 由此得许用载荷为 N mm150N m1001 5 m500 05 11 N10160105883 28 8 4 2 63 2 hl I q z 3 铆钉间距的确定 由铆钉的切应力强度要求来计算e 最大剪力为 18 kN1 288N10881 2N5 111001 5 2 1 2 1 54 maxs qlF 按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力 剪流q 其值为 m N10598 3 m105883 2 N102326 3101 288 5 3 33 maxs z z I SF q 间距长度内的剪力为eq 它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的 即 2 4 2 2 22 1 dd A eq 由此得梁长方向铆钉的间距为 mm208m208 0m 10598 32 10900 023 2 5 622 q d e 6 24 横截面如图 a 所示的简支梁 由两块木板经螺钉连接而成 设载荷 F 10kN 并 作用于梁跨度中点 梁跨度 l 6m 螺钉间距 e 70mm 试求螺钉剪切面上的剪力 题 6 24 图 解 用间距为 e 的横截面 1 1 与 2 2 从上部木板中切取块体如图 b 所示 可以看出 螺 钉剪切面上的剪力为 eF I S MM I S I SM I SM FFF z z z z z z z z S12 12 12nS a 式中 Iz代表整个横截面对中性轴的惯性矩 zS代表上部木板横截面对中性轴的静矩 由图 c 可以看出 m 0525 0 m 150 0020 0020 0150 0 020 0075 0 150 0020 0 010 0 020 0150 0 C y 45 42 3 42 3 m101 656 m 0525 0020 0075 0 150 0020 0 12 150 0020 0 m 010 00525 0 020 0150 0 12 020 0150 0 z I 3 43 m101 275 m 010 00525 0 020 0150 0 zS 19 还可以看出 2 S F F 将相关数据与表达式代入式 a 于是得 kN70 2 m102 1 656 m07 0 N1010 m10 1 275 2 45 33 4 nS z z I FeS F 6 25 图示截面铸铁梁 已知许用压应力为许用拉应力的四倍 即 c 4 t 试从 强度方面考虑 确定宽度 b 的最佳值 题 6 25 图 解 从强度方面考虑 形心的最佳位置应使 4 m400 0 t c C C y y 即 m 080 0 C y a 由图中可以看出 m340 0 m03 0 m06 0 m230 0 m340 0 m03 0 m03 0 m06 0 b b yC b 比较式 a 与 b 得 m080 0 m340 0 m03 0 m06 0 m230 0 m340 0 m03 0 m03 0 m06 0 b b 于是得 m 510 0 b 6 26 当载荷 F 直接作用在简支梁 AB 的跨度中点时 梁内最大弯曲正应力超过许用 应力 30 为了消除此种过载 配置一辅助梁 CD 试求辅助梁的最小长度 a 20 题 6 26 图 解 当无辅助梁时 简支梁的最大弯矩为 4 m6 max F M 当配置辅助梁后 简支梁的最大弯矩变为 2 2 m3 max a F M 根据题意 maxmax 3 1 MM 即 2 2 m3 3 1 4 m6 a F F 由此得 m 385 1 a 6 27 图示简支梁 跨度中点承受集中载荷 F 作用 已知许用应力为 许用切应 力为 若横截面的宽度 b 保持不变 试根据等强度观点确定截面高度 h x 的变化规律 题 6 27 图 解 1 求截面高度 xh 弯矩方程为 x F xM 2 由等强度观点可知 2 6 2 max xbh Fx xW xM 由此得 2 0 3 lx b Fx xh a 梁的右半段与左边对称 2 求端截面高度 21 由式 a 可知 在0 x处 0 0 h 这显然是不合理的 弯曲切应力强度要求得不到满 足 故需作局部修正 由 0 4 3 2 3 maxS max bh F A F 得梁左端的截面高度为 4 3 0 b F h b 这是满足剪切强度要求的最小截面高度 梁的右端亦同此值 3 确定h x 的变化规律 设可取截面高度为h 0 的最大长度为x1 为了同时满足正应力和切应力强度要求 应取 4 3 0 3 1 b F h b Fx 由此得 2 1 16 3 b F x 最终确定截面高度h x 的变化规律为 在区间 0 1 xx 内 4 3 b F xh 在区间 2 1 lxx 内 3 b Fx xh 梁的右半段与左边对称 6 29 图示悬臂梁 承受载荷 F1与 F2作用 已知 F1 800N F2 1 6kN l 1m 许用 应力 160MPa 试分别按下列要求确定截面尺寸 1 截面为矩形 h 2b 2 截面为圆形 题 6 29