华东理工大学高等数学第9章答案

1 第第 9 章 之章 之 1 总第 总第 44 次 次 教学内容教学内容 9 9 1 微分方程基本概念微分方程基本概念 1 微分方程微分方程 73 59 2xyyyy 的阶数是的阶数是 A 3 B 4 C 6 D 7 答案答案 A 解解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数 2 下列函数中的下列函数中的C 及及k都是任意常数 这些函数中是微分方程都是任意常数 这些函数中是微分方程 04 yy的通解的函数是的通解的函数是 A xCxCy2sin 2912 2cos3 B 2sin1 2cosxxCy C xCkxkCy2sin12cos 22 D 2cos xCy 答案答案 D 解解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数 A 中的函数只有一个任意常数 中的函数只有一个任意常数 C B 中的函数虽然有两个独立的任意常数 但经验算它不是方程的解 中的函数虽然有两个独立的任意常数 但经验算它不是方程的解 C 中的函数从表面上看来也有两个任意常数 中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及及k 但当令 但当令kCC 时 函数时 函数 就变成了就变成了xCxCy2sin12cos 2 实质上只有一个任意常数 实质上只有一个任意常数 D 中的函数确实有两个独立的任意常数 而且经验算它也确实是方 中的函数确实有两个独立的任意常数 而且经验算它也确实是方程的解 程的解 3 在曲线族在曲线族 xx ececy 21 中 求出与直线中 求出与直线xy 相切于坐标原点的曲线 相切于坐标原点的曲线 解解 根据题意条件可归结出条件根据题意条件可归结出条件1 0 0 0 yy 由由 xx ececy 21 xx ececy 21 可得 可得1 0 2121 cccc 故故 2 1 2 1 21 cc 这样就得到所求曲线为 这样就得到所求曲线为 2 1 xx eey 即 即xysinh 4 证明 函数 证明 函数yex x 2 3 3 3 2 1 2 sin是初值问题是初值问题 1 d d 0 0 d d d d 00 2 2 xx x y y y x y x y 的解 的解 2 证明证明 yexex xx 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 s i nc o s yexex xx 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 sincos 代入方程得代入方程得 yyy0 此外此外 1 0 0 0 yy 故故yex x 2 3 3 3 2 1 2 sin是初始值问题的解 是初始值问题的解 5 验证 验证yeetCe xt x x 2 0 d 其中 其中C为任意常数 是方程为任意常数 是方程 yyex x 2 的通解 的通解 证明证明 yeeteeCe xt x xxx 22 0 d yex x 2 即即 2 xx eyy 说明函 说明函 数确实给定方程的解 数确实给定方程的解 另一方面函数另一方面函数yeetCe xtx x 2 0 d含有一任意常数含有一任意常数C 所以它是方程的通 所以它是方程的通 解 解 6 求以下列函数为通解的微分方程 求以下列函数为通解的微分方程 1 3 1 Cxy 解解 将等式将等式 3 1 Cxy改写为改写为1 3 Cxy 再在其两边同时对 再在其两边同时对x求导 得求导 得 Cyy 2 3 代入上式 即可得到所求之微分方程为 代入上式 即可得到所求之微分方程为13 32 yyxy 2 x C xCy 2 1 解解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数 所以所求方因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数 所以所求方程一定是二程一定是二 阶方程 在方程等式两边同时对阶方程 在方程等式两边同时对x求两次导数 得求两次导数 得 2 2 1 x C Cy 3 2 2 x C y 从以上三个式子中消去任意常数从以上三个式子中消去任意常数 1 C和和 2 C 即可得到所求之微分方程为 即可得到所求之微分方程为 0 2 yyxyx 7 建立共焦抛物线族 建立共焦抛物线族 4 2 CxCy 其中 其中C为任意常数 所满足的微分方为任意常数 所满足的微分方 程 这里的共焦抛物线族是以程 这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴 坐标原点为焦点的抛物线 轴为对称轴 坐标原点为焦点的抛物线 3 解解 在方程在方程 4 2 CxCy 两边对两边对x求导有求导有Cyy42 从这两式中消去常数 从这两式中消去常数 所求方程为所求方程为 2 yyxyy 8 求微分方程 使它的积分曲线族中的每一条曲线 求微分方程 使它的积分曲线族中的每一条曲线 xyy 上任一点处的法上任一点处的法 线都经过坐标原线都经过坐标原点 点 解解 任取任取 xyy 上的点上的点 yx 曲线在该点处的切线斜率为 曲线在该点处的切线斜率为 y dx dy 所以过点所以过点 yx的法线斜率为的法线斜率为 y 1 法线方程为法线方程为yY y 1 xX 因因为法线过原点 所以为法线过原点 所以 y0 y 1 0 x 从而可得所求微分方程为从而可得所求微分方程为0 yyx 第第 9 章 之章 之 2 总第 总第 45 次 次 教学内容 教学内容 9 9 2 1 可分离变量的方程 可分离变量的方程 9 2 2 一阶线性方程一阶线性方程 1 求下列微分方程的通解 求下列微分方程的通解 1 2 1 1 x yx y 解解 分离变量分离变量 2 1 d 1 d x xx y y 两边积分 两边积分 2 1 d 1 d x xx y y 得得Cxyln 1ln 2 1 1ln 2 即 即 2 1 1 x C y 2 2 2 2 yx e y x y 解解 分离变量 分离变量xxeyye xy dd2 2 2 两边积分就得到了通解 两边积分就得到了通解 d 2 1 22 2 xexee xxy cexe xx 2 1 2 1 22 3 042 12 yy eyex 解解 12 d 42 d x x e ye y y Cxe y ln 2 1 12ln 2 1 2ln 2 1 4 即即 exC y 2 21 2 试用两种不同的解法求微分方程 试用两种不同的解法求微分方程xyyxy 1的通解 的通解 解法一解法一 可分离变量方程的分离变量法 这是一个一阶可分离变量方程 同 可分离变量方程的分离变量法 这是一个一阶可分离变量方程 同 时也是一个一阶线性非齐次方程 这时一般作为可分离变量方程求解较为容易 时也是一个一阶线性非齐次方程 这时一般作为可分离变量方程求解较为容易 分离变量 分离变量 1 1 yxy xx y y d 1 1 d 并积分 并积分 xx y y d 1 1 d 得得cxxy 2 2 1 1ln 所求通解为 所求通解为 xx cey 2 2 1 1 解法二解法二 线性方程的常数变易法 将原方程改写为 线性方程的常数变易法 将原方程改写为xyxy 1 1 这是一 这是一 个一阶线性非齐次方程 个一阶线性非齐次方程 对应的齐次方程为对应的齐次方程为0 1 yxy 其通解为 其通解为 1 xx eCy 2 2 1 代入原非齐次方程得代入原非齐次方程得xeC xx 1 2 2 1 解得 解得 2CeC xx 2 2 1 2 代入代入 1 即可即可 得原方程的通解得原方程的通解 xx Cey 2 2 1 1 3 求解下列初值问题 求解下列初值问题 1 2 1x y y 6 2 1 ey 解解 y 2 1x y 2 1 dd x x y y 0 y 2 1 dd x x y y Cxy arcsinln x Cey arcsin 6 2 1 ey 2 1 arcsin 6 Cee 1 C x ey arcsin 2 2 2 x exyy 1 0 y 解解 2 2 x exyy xxp2 2 x exq xy xx e d2 Cdxee xx x d2 22 x e Cdxee xx x d2 222 xx Cexe 5 1 0 y 101 cc 2 1 x exy 3 x exyy cos cot 1 2 y 解解 x exyy cos cot xxPco t x exQ c o s xCy xx x xx deee dc o t c o s dc o t dee e sinlncossinln xC xxx dsine csc cos xxCx x xC x csc e cos 由由1 2 y 可确定可确定 2 C 所以 所以 xy x csc e2 cos 4 0d 12 d 2 xxxyyx 0 1 x y 解解 方程变形为方程变形为 2 112 xx y x y 是一阶线性非齐次方程 其通解为 是一阶线性非齐次方程 其通解为 dxe xx cey dx x dx x 2 2 2 11 dxx xx c x 2 22 11 1 xxc x 2 2 2 11 xx c1 2 1 2 由由 0 1 y 得得 2 1 c 所以特解为 所以特解为 xx y 1 2 1 2 1 2 4 求微分方程求微分方程 0d ln dln yyxxyy 的通解 提示将的通解 提示将x看作是看作是y的函数 的函数 解解 将 将x看作是看作是y的函数 原方程可化为的函数 原方程可化为 y x yydy dx1 ln 1 这是一阶线性方程 这是一阶线性方程 将其中将其中 y yQ yy yP 1 ln 1 代入一阶线性方程求解公式 得通解代入一阶线性方程求解公式 得通解 1 e 1 ln ln ln lnln 1 ln 1 dye y cdye y cex yy dy yy dy yy y y c dy y y c y ln 2 1 ln ln ln 1 6 5 求满足关系式 求满足关系式 d 2 2 xyxuuuy x 的可导函数的可导函数 xy 解解 这是一个积分方程 在方程等式两边同对 这是一个积分方程 在方程等式两边同对x求导 可得微分方程求导 可得微分方程 xy xx y x d d 2 即 即 d d y x xyx 2 分 离变 量得 分 离变 量得 d d y y xx 2 积分 得 积分 得 yCe x 2 2 2 在原方程两边以在原方程两边以2 x代入 可得初试条件代入 可得初试条件2 2 x y 据此可得 据此可得 1 4 eC 所以原方程的解为 所以原方程的解为 24 1 2 2 x ey 6 设降落伞自塔顶自由下落 已知阻力与速度成正比 比例系数为 设降落伞自塔顶自由下落 已知阻力与速度成正比 比例系数为k 求降 求降 落伞的下落速度与时间的函数关系 落伞的下落速度与时间的函数关系 解解 根据牛顿运动第二定理有 根据牛顿运动第二定理有kvmg t v m d d 这是一个可分离变量方程 分离 这是一个可分离变量方程 分离 变量并积分得变量并积分得 1 k mgkv t m Cln 由初始条件由初始条件0 0 v 得得 ln 1 mg k C 即得 即得 v mg k e k mt 1 7 求一曲线 已知曲线过点 求一曲线 已知曲线过点 1 0 且其上任一点 且其上任一点 yx的法线在的法线在x轴上的截距轴上的截距 为为kx 解解 曲线在点 曲线在点 x y处的法线斜率为处的法线斜率为 y 1 所以法线方程为 所以法线方程为Yy y Xx 1 只要令只要令0 Y 就可以得到法线在 就可以得到法线在x轴上的截距为轴上的截距为 yyxX 据题意可得微分方程据题意可得微分方程xyykx 即 即xkyy 1 这是一个可分离变量方 这是一个可分离变量方 程 分离变量并积分得所求曲线程 分离变量并积分得所求曲线Cxky 22 1 由于曲线过点 由于曲线过点 1 0 所以 所以 1 C 所以所求曲线方程为 所以所求曲线方程为 yk x 22 11 8 求与抛物线族 求与抛物线族 2 Cxy C是常数 中任一抛物线都正交的曲线 族 的是常数 中任一抛物线都正交的曲线 族 的 方程 方程 7 解解 在给定曲线 在给定曲线 2 cxy 上任意一点上任意一点 yx处切线斜率为处切线斜率为cxyk2 0 从上面两 从上面两 式中消去式中消去c得得 x y yk 2 0 这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程 这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程 x y y 2 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 xyy 在同一点在同一点 yx处切线斜率为处切线斜率为yk 则根 则根 据正交要求有据正交要求有1 0 kk 这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程 这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程 y x y 2 这是一个可分离变量方程 分离变量这是一个可分离变量方程 分离变量xdxydy 2 积分得所求曲线族 积分得所求曲线族 cxy 22 2 1 即椭圆族 即椭圆族cxy 22 2 1 9 作适当变换 求微分方程作适当变换 求微分方程 12 2 4 x ey y 的通解的通解 解解 原 方 程 可 化 为原 方 程 可 化 为4 12 2 yy e x ye 在 换 元 在 换 元 y ez 下 方 程 可 化 为下 方 程 可 化 为 4 12 2 x z z 这是一个一阶线性方程 其通解为 这是一个一阶线性方程 其通解为 xeCez x x x x d4 12 d2 12 d2 44 12 1 2 xxC x 10 作适当变换 求微分方程作适当变换 求微分方程 d d tan y x y xy y x 2 1 2 2 的通解 的通解 解解 令 令uxy 2 代入方程整理得 代入方程整理得 x x u ud tan d 积分得 积分得 Cxu sin 以 以 x y u 2 代入上式 即得原方程的通解 代入上式 即得原方程的通解 Cx x y 2 sin 第第 9 章章 之 之 3 总第 总第 46 次 次 教学内容 教学内容 9 2 3 齐次型方程 齐次型方程 9 2 4 伯努利方程 伯努利方程 1 1 求下列微分方程的通解 求下列微分方程的通解 1 lnln1 d d xy x y x y 8 解解 lnln1 d d xy x y x y dx dy x y 1 x y ln 这是一个一阶齐次型方 这是一个一阶齐次型方 程 程 令令 x y u 则 则 uxy 即 即uxuy 于是原方程可化为 于是原方程可化为uuuxln 这 这 是一个可分离变量方程 是一个可分离变量方程 分离变量分离变量 x dx uu du ln 并积分 并积分 x dx uu du ln 得 得cxulnlnlnln 即 即 cx eu 以以 x y u 代入 得所求的通解为代入 得所求的通解为 cx xey 2 arctanxyy y x x 解解 方程可化为 方程可化为 x y x y y arctan 1 这是一个一阶齐次型方程 这是一个一阶齐次型方程 令令 x y u 则 则 uxy 即 即uxuy 于是原方程可化为 于是原方程可化为 ux u x arctan 1 d d 这 这 是一个可分离变量方程 是一个可分离变量方程 分离变量后积分得分离变量后积分得 xuCeu u 1 2 arctan 以以 x y u 代入上式得原方程的通解 代入上式得原方程的通解 xyCe y x y x 22 arctan 2 求解下列初值问题 求解下列初值问题 1 0d 2 d 22 yyxxxy 满足初始条件满足初始条件 1 2 y 的特解 的特解 解解 0d 2 d 22 yyxxxy dy dx x y y x 2 令令 y x u 则则 u u dy du yu 1 2 u u du 1 y dy u u du 1 y dy cyulnln 1ln 2 1 2 cyu 1 2 即即 222 1ycu 代回即得代回即得 2 2 y x 1 22 yc 1 2 y 5 2 c 因此因此 22 yx 5 4 y 2 0 0d d 0 x y yyxxyx 9 解解 原方程可表为 原方程可表为 1 1 d d x y x y xy yx x y 令 令 x y u uxuy 代入方程 有代入方程 有 1 1 u u uxu 即 即 1 21 d d 2 u uu x u x 分离变量分离变量 x x u uu u d 1 d 21 1 2 积分得 积分得 Cxuulnln 21ln 2 1 2 通解通解 Cyxyx 22 2 令 令 0 0 yx 得 得 0 C 所以初值问题的解为所以初值问题的解为 02 22 yxyx 3 试证明 当 试证明 当 1221 baba 时 总能找到适当的常数时 总能找到适当的常数h k 使一阶微分方程 使一阶微分方程 222 111 cybxa cybxa fy 在变换在变换kys hxt 之下 可化为一阶齐次型方程之下 可化为一阶齐次型方程 d d 22 11 sbta sbta f t s 并求方程并求方程 0d 32 d 12 yyxxyx 的解 的解 证明证明 令 令 sbtacybxa sbtacybxa 22222 11111 1221 baba 可解得 可解得 1221 1221 1221 2112 baba cbcb xt baba caca ys 因此可取 因此可取 1221 1221 1221 2112 baba cbcb h baba caca k 解解 0 32 12 dyyxdxyx 令 令 3 2 xt ys xt ys dd dd 0 2 3 3 21 2 23 dsstdtst 0 32 2 dsstdtst t s t s dt ds dt ds t s t s 3 2 2 1 0 3 2 2 1 10 令令 dt du tu dt ds t s u 23 1 13 32 21 u uu dt du t u u dt du tu t dt du uut dt du uu u 13 2 3 1 2 1 1 13 23 ctuulnln 13 1ln 2 1 即 c t s t s tctuu 1 3 1 13 1 cxxyxyc x y x y x 243 3 63 1 3 2 1 3 22 4 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 1 0ln 2 xyyyx 解 解 0ln 2 xyyxy x x y x yy ln1 12 令令 x x t xdx dt yt ln1 1 ln Q 1 x x x x xP ln1 d ln d 1 d 1 xdx x x C x xe x x Cext x x x x 1lnC ln C 11 xxxxxxx x 11 1ln Cxxy 2 0dd 2 yxxxyy 解 解 0dd 2 yxxxyy x y d d y x 1 2 1 2 y x yy 2 1 2 1 1 y x x 2 2 1 yu x u d d x2 1 x u 1 x xP 2 1 x xQ 1 xe x Cexu x x x x d 1 d 2 1 d 2 1 2 1 x xx x Cd 1 2 1 xCx 2 1 11 xCxy 2 1 2 1 x C xy 3 y y xyx 3 22 2 ma 解一 令解一 令uy 2 原方程化为 原方程化为 d d u x u x u x 2 1 解此方程得 解此方程得 uCe u x 以以uy 2代入上式 原方程通解为 代入上式 原方程通解为 yCe y x 2 2 解二 原方程解二 原方程写成写成 d d x yy x y x 22 3 2 令令xz 1 则方程化为 则方程化为 3 22 d d y z yy z 则通解则通解 zeC y ey y y y y 2 3 2 2 dd d ln2 1 2 yC y 故原方程通解 故原方程通解 11 2 2 xy Cy ln 5 求下列伯努力方程满足初始条件的特解 求下列伯努力方程满足初始条件的特解 y x yy 2 1 0 y 解 解 xyyy xyyy22 21 令令 xt dx dt yt42 2 xxQxP4 2 12 010211 0 12 12 2 d4 d 4 2 0 22 2222 22 d2d2 xy CCey Cexy xCeexeCe xxeCexexCext x xxxx xx xx 6 作适当的变换求方程 作适当的变换求方程 122 222 1 2 xy yxye x sinsin 的通解 的通解 12 解 原方程化为 解 原方程化为 12 2 2 22 1 2 x y x xye x dsin d sin 令令zy sin2 得 得 d d z x x x zex x 2 1 1 2 2 12 2 故故 xe x e Cez x x x xx x x d 1 d 1 2 2 12d 1 2 2 2 2 1ln 21212 22 xxeCe xx 原方程的通解为原方程的通解为 sinln 22 12 12 22 1yCeexx xx 7 已知 已知 2d 1 2 2 0 2 xyxyy x 求 求y x 解 两边关于解 两边关于x求导得求导得 21 2 yyy 解得解得 yCex 2 1 由由y x 0 0 求得 求得 C 1 故原方程的解为 故原方程的解为 yex 2 1 8 曲线过点 曲线过点 11 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的 曲线的法线在曲线的法线在x轴上的截距乘积的两倍 求曲线方程 轴上的截距乘积的两倍 求曲线方程 解 解 xyx xyyy 22 211 2 1 2 yy x yx 令令yz 2 解得 解得 zyx Cx 2 由由y 11 得得 C 2 曲线方程为 曲线方程为 xyx 22 2 9 根据托里斥利定律 液体从容器小孔中流出的速度为 根据托里斥利定律 液体从容器小孔中流出的速度为 ghAv2 其 其 中中 g为重力加速度 为重力加速度 h为液面与底部孔口之间的距离 为液面与底部孔口之间的距离 A为孔口面积 为孔口面积 为孔为孔 口收缩系数 实验确定其取值为口收缩系数 实验确定其取值为 62 0 现有一直径为 现有一直径为1m 高为 高为 2m 的直立的直立 圆柱形容器 其中盛满的水从底部直径为圆柱形容器 其中盛满的水从底部直径为1 dcm 的圆孔流出 要多长时间容器的圆孔流出 要多长时间容器 内的水才会完全流尽 内的水才会完全流尽 13 解 设在时刻解 设在时刻 t 时时 容器中液面高度容器中液面高度 th 则经过 则经过t 后液面高度为后液面高度为 tth 于是有于是有 ttghAtththr 2 2 即即 2 2 r ghA t thtth 令令0 t 得得 200 0 2 d d 2 h gh r A t h 解得解得 2002 2 2 tg r A h 代入代入0 h 980 g 50 r 4 A 62 0 得得10304 t 秒 秒 第第 9 章章 之 之 4 总第 总第 47 次 次 教学内容 教学内容 9 39 3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 1 解下列问题 解下列问题 1 微分方程 微分方程 yyxy满足条件满足条件 yy 2121的解是的解是 A yx 1 2 B yx 1 2 21 4 2 C yx 1 2 1 1 2 2 D yx 1 2 5 4 2 解解 C 2 微分方程 微分方程 yyy20 3 满足条件满足条件 yy 0101的解是的解是 A y x 3 3 1 3 B x y 3 3 1 C y x 3 3 1 3 D x y 3 3 1 解解 C 2 2 求下列微分方程的通解 求下列微分方程的通解 1 0 yyx 14 解解 0 yyx 是一不显含因变量是一不显含因变量y的二阶方程 的二阶方程 令令 yp y x p d d 0 ppx p pd x xd x x p pdd 1 lnlnlnCxp x C p 1 x y d d x C1 x x C ydd 1 x x C ydd 1 21ln CxCy 2 121 2 xyxy 解解 y x x y x 2 1 1 1 22 y x xC 1 1 2 1 yxCxC 1 2 1 2 12 ln arctan 3 0 2 yyy 解解 0 2 yyy 令令 yp 则则 y p py d d 代入方程有 代入方程有 0 d d 2 p y p py 0 d d p y p yp 因为求通解 所以因为求通解 所以 p满足满足 0 d d p y p y 由由 y y p p y y p pdddd y C pCyp 1 1 lnlnln xCyyxCyy y C x y dddd d d 11 1 21 2 CxCy 通解 通解 21 2 CxCy 4 12 22 yyyy 解解 令 令 yp yypp 得 得 12 22 yp pp y 即即 d d p p y y y 2 1 2 得得 pCy 1 2 1 15 所以所以 d d y y Cx 1 2 1 通解为 通解为 a r c t a nyC xC 12 第第 9 章章 之 之 5 总第 总第 48 次 次 教学内容 教学内容 9 4 1 二阶线性方程和解的存在性 二阶线性方程和解的存在性 9 4 2 二阶线性方程解的结二阶线性方程解的结 构构 1 若 若 21 y y是方程是方程 xRyxQyxPy 的两个解 试证的两个解 试证 12 yy 必是其对必是其对 应齐次方程应齐次方程0 yxQyxPy的解 的解 证明证明 因为 因为 21 y y是方程是方程 xRyxQyxPy 的解 的解 所以成立下式 所以成立下式 2 1 222 111 xRyxQyxPy xRyxQyxPy 将将 1 2 两式相减 得两式相减 得 3 0 212121 yyxQyyxPyy 2 式可写为式可写为 0 212121 yyxQyyxPyy 所以所以 21 yy 是齐次方程是齐次方程 0 yxQyxPy 的解 的解 2 已知 已知 2 321 1 1 1xyxyy 是方程是方程 22 222 x y x y x y 的三个特解 的三个特解 问能否求出该方程得通解 若能则求出通解来 问能否求出该方程得通解 若能则求出通解来 解解 按 按 1 证明可知 证明可知 2 1312 xyyxyy 分别是其对应齐次方程分别是其对应齐次方程 0 22 2 y x y x y的解 并且线性无关 所以的解 并且线性无关 所以 2 21 xCxC 为齐次方程的通解 为齐次方程的通解 所以原方程的通解可以表示为 所以原方程的通解可以表示为 1 2 21 xCxCy 3 验证 验证 22 tt ee 是微分方程是微分方程 x t xt x 1 40 2 的两个线性无关特解 并求此的两个线性无关特解 并求此 方程的通解 方程的通解 证明证明 因为 因为 16 222 2 4 1 ttt ete t e 042 1 42 2222 22 tttt ette t ete 222 2 4 1 ttt ete t e 24 1 240 2222 22 et e t tet e tttt 故故 22 tt ee 是方程的解 且是方程的解 且 2 2 2 2t t t e e e 常数 常数 于是于是 22 tt ee 是方程线性无关的解 构成基本解组 故方是方程线性无关的解 构成基本解组 故方 程的通解为程的通解为 22 21 tt eCeCx 其中其中 21 C C为任意常数 为任意常数 4 已知函数 已知函数 xyey x 21 是方程是方程 0 1 yyxyx 的两解 试求该方的两解 试求该方 程满足初始条件程满足初始条件 0 0 1 0 yy 的特解 的特解 解解 方程的通解为 方程的通解为 xcecy x 21 将初始条件代入 有 将初始条件代入 有 0 0 1 0 2121 1 cccecy cy x 解得解得 21 c c为 为 1 1 21 cc 所以特解为 所以特解为 xey x 5 设 设x t 1 是非齐次线性方程 是非齐次线性方程 xta t x ta t x tf t 121 1 的解 的解 xt 2 是方程 是方程 xta t x ta t x tft 122 2 的解 试证明的解 试证明 xx txt 12 是方程是方程 xta t x ta t x tf tft 1212 3 17 的解 的解 解解 因为 因为 2 1 txtx分别为方程 分别为方程 1 和方程 和方程 2 的解 所以 的解 所以 1 112111 tftxtatxtatx x ta t x ta t x tft 212222 2 12 得 得 2121221121 tftftxtxtatxtxtatxtx 即即 xx txt 12 是方程 是方程 3 的解 的解 第第 9 章章 之 之 6 总第 总第 49 次 次 教学内容 教学内容 9 4 3 二阶线性常系数方程的解法二阶线性常系数方程的解法 1 1 解下列问题 解下列问题 1 方程 方程08 yy的通解为的通解为 y 解解 xcxcy22sin22cos 21 2 2 方程 方程025 6 yyy的通解为的通解为 y 解解 4sin4cos 21 3 xcxcey x 3 3 方程 方程0158 yyy的通解为的通解为 y 解解 xx CCy 5 2 3 1 ee 4 4 方程 方程031525 yyy的通解为的通解为 y 解解 21 5 15 CxCey x 3 3 方程 方程06 pyyy的通解为的通解为 2sin2cos e 21 xCxCy kx 则 则 p k 解解 11 3 2 2 求解下列初值问题 求解下列初值问题 18 1 0 1 1 0168 4 yeyyyy 解解 0 4 168 22 4 21 通解为 通解为 x exccy 4 21 将初始条件代入 有将初始条件代入 有 44 21 1 eeccy 04 4 4 1 44 2 4 21 4 2 4 21 4 2 eececcecexccecy xx 得到 得到 45 21 cc 所以特解为 所以特解为 x exy 4 45 2 2 3 2 1 2 0294 yyyyy 解解 0294 2 i i 52 2 104 2 116164 通解为 通解为 5sin5cos 21 2 xcxcey x 代入初始条件有 代入初始条件有 eccey 22 1 0 2 5c o s55s i n5 5s i n5c o s 2 2 21 2 21 2 xcxcexcxcey xx 得 得 ec 1 特解为 特解为 5s i n5co s 2 xxey x 3 10 0 6 0 034 yyyyy 解 解 034 2 0 3 1 所以通解为所以通解为 xx ececy 3 21 代入初始条件有 代入初始条件有 6 0 21 ccy 1033 0 21 3 21 ccececy xx 特解为 特解为 xx eey 3 814 3 3 求解初值问题求解初值问题 19 yyyx y x x 21 01 00 d 解解 将原方程对将原方程对x求导得求导得 yyy201 且有且有 yy 01201 微分方程 微分方程 1 的通解为 的通解为 yeC xC x 12 代入初始条件代入初始条件1 0 1 0 yy 得 得1 0 21 CC 故所求问题的解为 故所求问题的解为 x ey 4 4 设函数设函数 x 二阶连续可微 且满足方程二阶连续可微 且满足方程 x uuuxx 0 d 1 求函 求函 数数 x 解解 原方程关于原方程关于x求导得求导得 xx uuxxxxuux 00 d d 0 0 再求导得 再求导得 xx 且由原方程还有 且由原方程还有 1 0 微分方程的通解为 微分方程的通解为 xx eCeCx 21 代入条件代入条件0 0 1 0 得 得 2 1 21 CC 故所求函数为 故所求函数为 xeex xx ch 2 1 5 5 长为长为 100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑 设的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑 设 运动开始时 链条运动开始时 链条已已有有 20cm 垂于桌面下 试求链条全部从桌子边缘滑下需多少垂于桌面下 试求链条全部从桌子边缘滑下需多少 时间 时间 解解 设链条单位长度的质量为 设链条单位长度的质量为 则链条的质量为 则链条的质量为 100 再设当时刻 再设当时刻 t 时 时 链条的下端距桌面的距离为链条的下端距桌面的距离为 tx 则根据牛顿第二定律有 则根据牛顿第二定律有 gx dt xd 2 2 100 即即 0 100 2 2 x g dt xd 又据题意知 又据题意知 20 0 x 0 0 x 所以 所以 tx 满足下列初值问题 满足下列初值问题 20 0 0 20 0 0 100 2 2 xx x g dt xd 解得方程的通解为 解得方程的通解为 t g t g ececx 10 2 10 1 又因为有初始条件 又因为有初始条件 10 10 00 200 2 1 c c x x 所以所以 t g t g eex 1010 1010 又当链条全部从桌子边缘滑下时 又当链条全部从桌子边缘滑下时 100 x 求解 求解t 得 得 t g t g ee 1010 1010100 即 即 5 10 t g ch 5 10 arch g t 6 6 设弹簧的上端固定 下端挂一个质量为设弹簧的上端固定 下端挂一个质量为 2 千克的物体 使弹簧伸长千克的物体 使弹簧伸长 2 厘厘 米达到平衡 现将物体稍下拉 然后放手使弹簧由静止开始运动 试求由此所米达到平衡 现将物体稍下拉 然后放手使弹簧由静止开始运动 试求由此所 产生的振动的周期 产生的振动的周期 解解 取物体的平衡位置为坐标原点 取物体的平衡位置为坐标原点 x轴竖直向下 轴竖直向下 设设t时刻物体时刻物体m位于位于x t 处 处 由牛顿第二定律 由牛顿第二定律 222 2 2 d d x t gg xgx 其中其中g 980厘米厘米 秒秒 2 其解为 其解为 xC g tC g t 12 22 cossin 振动周期为振动周期为 T g 2 22 490 028 第第 9 9 章章 之 之 7 7 总第 总第 50 次 次 教学内容 教学内容 9 4 3 二阶线性常系数方程的解法 二阶线性常系数方程的解法 9 4 4 高阶线性常系数微分高阶线性常系数微分 方程方程 1 1 微分方程微分方程xxyysin 的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式 A sinAxBx B x AxBxx CxDx sin cos C x AxBxx cossin D x AxB CxDx sincos 解 解 B 21 2 2 设设A B C D 是待定常数 则微分方程是待定常数 则微分方程 yyxxcos的一个特解应具有的一个特解应具有 形式形式 A AxBCx cos B AxBCxDx cossin C AxBx CxDx cossin D AxBCxx cos 答 答 C 3 3 求下列非齐次方程的一个解 求下列非齐次方程的一个解 1 1 122 xyyy 解 解 02 2 1 2 2 1 0 不是特征根 不是特征根 设设 01 bxbyp 代入原方程 得 代入原方程 得 1222 011 xbxbb 有 有 1 0 10 bb 特解为 特解为 xy 2 2 x eyyy 2 解 解 1 是二重特征根 是二重特征根 设设 0 2 bexy x p 0 2 0 2bexbxey xx p 0 2 00 2 0 22bexbxebexbey xxxx p 代入代入 x eyyy 2 解得 解得 2 1 0 b 特解为 特解为 x exy 2 2 1 4 4 求微分方程求微分方程 yyyxex32满足条件满足条件yy 000 的特解 的特解 解 解 特征方程特征方程023 2 rr的根为的根为2 1 21 rr 相应齐次方程的 相应齐次方程的 通解为通解为 xx h eCeCy 2 21 设特解为设特解为 x p eBAxxy 代入方程得 代入方程得 1 2 1 BA 故方程的通解为故方程的通解为 xxx ex x eCeCy 2 2 2 21 22 代入条件代入条件0 0 0 yy 得 得1 1 21 CC 因此所求特解为 因此所求特解为 xx ex x ey 1 2 2 2 5 5 求下列非齐次方程的通解 求下列非齐次方程的通解 2xfyy xxfexfxxf x cos 3 2 14 1 2 解 特征方程 解 特征方程 02 2 特征根 特征根 2 0 21 所以方程所以方程0 2 yy的通解为的通解为 x h eccy 2 21 1 对于方程 对于方程14 2 xyy 由于由于0是特征方程的单根 故设其特解为 是特征方程的单根 故设其特解为 xbxbyp 10 代入方程有 代入方程有 14242 100 xbxbb 解得 解得 2 1 1 10 bb 所以特解为 所以特解为 xxyp 2 1 2 所以方程的通解为 所以方程的通解为 xxeccyyy x ph 2 1 22 21 2 对于方程 对于方程 x eyy 2 2 由于 由于2不是特征方程的根 故设其特解为 不是特征方程的根 故设其特解为 0 2 bey x p 代入方程有 代入方程有 8 1 0 b x p ey 2 8 1 所以方程的通解为 所以方程的通解为 xx ph eeccyyy 22 21 8 1 3 对于方程 对于方程 xyycos 2 由于 由于i 不是特征方程的根 故设其特解为 不是特征方程的根 故设其特解为 xbxbypsincos 10 代入方程有 代入方程有 xbxbypcossin 10 xbxbypsincos 10 xxbxbxbxbcoscossin2sincos 1010 23 得 得 5 2 5 1 20 bb xxypsin 5 2 cos 5 1 所以方程的通解为 所以方程的通解为 xxeccyyy x ph sin 5 2 cos 5 1 2 21 6 6 求微分方程求微分方程 yyyex x 6925sin的通解 的通解 解 解 特征方程特征方程rr 2 690 的根为的根为r1 23 相应齐次方程的通解 相应齐次方程的通解 为为 x h exCCy 3 21 设 特 解 为设 特 解 为yeAxBx p x cossin 代 入 方 程 得 代 入 方 程 得 AB 43 故方程的通解为故方程的通解为 yCC x eexx xx cossin 12 3 43 7 7 已知曲线已知曲线yy x x 0过原点 位于过原点 位于x轴上方 且曲线上任一点轴上方 且曲线上任一点 00 yxM 处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴 直线轴 直线xx 0所围成的面积与该 所围成的面积与该 点横坐标的和 求此曲线方程 点横坐标的和 求此曲线方程 解 解 由已知由已知y 00 且 且 yyxx y x d 0 00 将此方程关于 将此方程关于x求导得求导得 yy1 其通解为 其通解为 yC eC e xx 12 1 代入初始条件代入初始条件yy 0000 得 得 CC 12 1 2 故所求曲线方程为 故所求曲线方程为 yeex xx 1 2 11 ch 8 8 设一物体质量为设一物体质量为m 以初速 以初速v0从一斜面滑下 若斜面与水平面成从一斜面滑下 若斜面与水平面成 角 斜角 斜 面摩擦系数为面摩擦系数为 tan 0 试求物体滑下的距离与时间的关系 试求物体滑下的距离与时间的关系 解 解 设设t时刻物体滑过的距离为时刻物体滑过的距离为S 由牛顿第二定律 由牛顿第二定律 24 m S t mgmg d d sincos 2 2 且且 SSv 000 0 方程的通解为方程的通解为 SgtC tC 1 2 2 12 sincos 代入初始条件得代入初始条件得Cv C 102 0 故物体滑下的距离与时间的 故物体滑下的距离与时间的 关系为关系为 Sgtv t 1 2 2 0 sincos 9 9 设弹簧的上端固定 下端挂一质量为设弹簧的上端固定 下端挂一质量为m的物体 开始时用手托住重物 的物体 开始时用手托住重物 使弹簧既不伸长也不缩短 然后突然放手使物体开始运动 弹簧的弹性系数为使弹簧既不伸长也不缩短 然后突然放手使物体开始运动 弹簧的弹性系数为k 求物体的运动规律 求物体的运动规律 解 解 取物体未发生运动时的位置为坐标原点 取物体未发生运动时的位置为坐标原点 x轴垂直向下 设轴垂直向下 设t时刻物体位于时刻物体位于 x t 处 由牛顿第二定律 处 由牛顿第二定律 m x t kxmg d d 2 2 且且 0 0 0 0 xx 方程的通解为 方程的通解为 xC k mt C k mt m k g 12 cossin 代入初始条件得代入初始条件得C m k g C 12 0 故物体的运动规律为 故物体的运动规律为 x mg k k mt 1cos 1 10 0 求下列方程的通解 求下列方程的通解 1 02 4 yyy 解 解 02 234 0 12 22 0 1 22 所以通解为所以通解为 x exccxccy 4321 2 0365 4 yyy 解 解 0365 24 0 9 2 2 2 25 所以通解为所以通解为 xcxcececy xx 3s i n3co s 43 2 2 2 1 11 试证明 当以试证明 当以 xtln 为新的自变量时 变系数线性方程 其中为新的自变量时 变系数线性方程 其中 a b c 为 常 数 这 是欧 拉方 程 为 常 数 这 是欧 拉方 程 2 xfcybxyyax 可 化 为 常 系数 线 性 方程可 化 为 常 系数 线 性 方程 2 2 t efcy dt dy ab dt yd a 并求下列方程通解 并求下列方程通解 1 02 2 yyx 2 xxyyxyxln2 2 证明 令证明 令 xtln t ex dt dy xdx dt dt dy dx dy1 dt dy dt yd xdt dy dx d xdt dy xdx yd 2 2 222 2 111 将将yy 代入方程有 代入方程有 t efcy dt dy ab dt yd acy dt dy b dt dy dt yd acyybxyax 2 2 2 2 2 得证 得证 1 令 令 xtln t ex 原方程化为 原方程化为 02 2 2 y dt dy dt yd 其通解为其通解为 tt ececy 2 2 1 将将x代入 得 代入 得 x c xcy 22 1 2 令令 xtln t ex 原方程化为 原方程化为 t tey dt dy dt yd 22 2 2 上述方程的相应其次方程的通解为 上述方程的相应其次方程的通解为 tctcey t h sincos 21 令上述方程一个特解为 令上述方程一个特解为 10 btbey t p 代入方程得 代入方程得 0 1 10 bb 即 即 tey t p 26 原方程得通解为 原方程得通解为 ttctcey t sincos 21 即 即 xxcxcxylnln