圆周运动的规律及其应用

第3讲 圆周运动的规律及其应用 一 描述圆周运动的几个物理量 1 线速度 定义 质点沿圆周运动通过的弧长 与所用时间 的比值叫线速度 也即是单位时间内通过的弧长 公式 单位 物理意义 描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 注意 线速度是矢量 线速度有平均线速度和瞬时线速度之分 和速度一样 不作特殊说明 线速度指的都是瞬时线速度 也简称速度 2 角速度 定义 做圆周运动的物体与圆心的连线转过的角度与所用时间的比值叫角速度 也即是单位时间内转过的角度 公式 w 单位 物理意义 描述物体绕圆心转动的快慢 注意 角速度是矢量 角速度的方向高中阶段不研究 公式 w 中的必须用弧度制 一定要注意角速度的单位 3 周期 定义 做圆周运动的物体转动一周所用的时间叫周期 符号 T 单位 s 4 频率 定义 做圆周运动的物体1s内转动的圈数 符号 单位 Hz 注意 周期和频率的关系 5 转速 定义 做圆周运动的物体在单位时间内转过的圈数 符号 n 单位 且1 60 注意 当转速以为单位时 转速的大小和频率在数值上相等 6 向心加速度 定义 做匀速圆周运动的物体的加速度始终指向圆心 这个加速度叫向心加速度 公式 w2r 单位 方向 总是指向圆心且与线速度垂直 物理意义 描述做圆周的物体速度方向变化快慢的物理量 二 匀速圆周运动 1 定义 线速度大小不变的圆周运动 2 性质 匀速圆周运动的性质可以有以下三种说法 变速曲线运动 匀速率曲线运动 变加速曲线运动 加速度的大小不变 方向在时刻变化 注意 匀速圆周运动的性质不是匀速运动 也不是匀变速曲线运动 三 描述匀速圆周运动的几个物理量的关系 V w r w w 2p n w2r 四 几种常见的传动装置及其特点 O C A B 1 同轴传动 2 皮带传动 R r D B A C 特点 物体上任意各点的 特点 轮子边缘上各点线速度的大小相等 都和皮带 角速度都相同 即 的速度大小相等 即 B A C 3 齿轮传动 特点 两齿轮边缘上各点线速度 大小相等即 例1 把地球看成一个球体 在地球表面上赤道某一点A 北纬60 一点B 在地球自转时 A与B两点角速度之比为多大 线速度之比为多大 例2 机械表中 时针 分针 秒针的运动可视为匀速转动 则分针与秒针从某次重合再次重合所经历的时间为 A 59s B 60s C D 变式 分针和时针从某次重合再次重合所经历的时间为多少 例3 如图所示 直径为d的纸制圆筒以角速度 w 绕垂直纸面的轴O 匀速转动 图示为截面 从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒 若子弹在圆筒中旋转不到半周时 在圆筒上先后 O B A 留下A B两个弹孔 已知AO与BO的夹角为q 求子弹速度大小 五 向心力 1 物体做圆周运动时 所需向心力的大小 F需 mw2r 2 方向 总是指向圆心且与线速度垂直 注意 1 向心力肯定是变力 2 向心力是按照力的作用效果命名的力 它并不是物体真实受到的力 而是由其他力来提供的 3 作用效果 产生向心加速度 改变线速度的方向 4 来源 物体不会平白无故做圆周运动 要想做圆周运动必然需要向心力 但是向心力又不是物体真实受到的力 而是由其他力来提供的 下面就牵涉到向心力的来源 若物体做匀速圆周运动 则合外力提供向心力 且合外力的大小恒定 方向始终指向圆心 若物体做变速圆周运动 则沿半径方向上的合外力提供向心力 沿切线方向的合外力用来改变线速度的大小 注意 匀速圆周运动的合外力不是恒定的 因此匀速圆周运动的加速度也不是恒定的 六 解决圆周运动题目的一般方法 1 确定物体在哪个平面内做圆周运动 确定 w 等物理量 尤其是轨道半径 2 对物体进行受力分析 若物体做匀速圆周运动 则受力分析时一定要注意满足 任意时刻 任意位置 合外力方向一定要始终指向物体轨迹圆的圆心 若物体做变速圆周运动 受力分析后 要沿着半径方向和垂直于半径方向进行正交分解 且任意时刻 任意位置都是 沿着半径方向的合外力要指向圆心 提供向心力 沿着切线方向的力用来改变物体线速度的大小 3 根据圆周运动的中心等式列方程 该步具体步骤如下 的表达式写法 由向心力的来源可知 若物体做匀速圆周运动 则的表达式就是合外力的表达式 若物体做变速圆周运动 则的表达式就是沿半径方向合外力的表达式 的表达式写法 根据解题需要从或 mw2r或或中选一个恰当的方便的表达式即可 令的表达式和的表达式相等建立圆周运动中心方程即可 注意 圆周运动的中心等式是两个表达式相等 且的表达式要写在等式的左边 的表达式要写在等式的右边 只要物体做圆周运动 则任意时刻 任意位置都要满足圆周运动的中心等式 列方程时 一般都要明确研究对象及其位置 七 圆周运动的向心力与合外力 1 匀速圆周运动 线速度大小不变的圆周运动 A O 指向圆心 完全充当向心力 即 只改变线速度的方向 不改变线速度的大小 只有 且 2 变速圆周运动 线速度大小改变的圆周运动 不指向圆心 它沿半径方向上的分力充当向心力 沿半径方向上的分力用来改变线速度的方向 垂直于半径方向上的分力用来改变线速度的大小 同时有和且是和的和加速度 A A O w 八 生活中常见的圆周运动模型 1 水平转盘 如图所示 要使小物块随着水平转盘一起转动不被 甩出去 圆盘转动的最大角速度为 试分析并说明小物块离中心越远越容易被甩出去还是离中心 越近越容易被甩出去 2 圆锥筒 圆锥摆 q 圆锥筒 例4 如图所示 一质量为m的小球在一内壁光滑的圆锥筒里 做匀速圆周运动 轨道半径为r q 已知 求 小球所受支持力大小 小球的线速度 角速度和周期大小 例5 如图所示 内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面 圆锥筒 固定不动 两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在如图 所示的水平面内做匀速圆周运动 则 A 球A的线速度一定大于球B的线速度 B 球A的角速度 一定大于球B的角速度 C 球A的向心加速度一定大于球B的向心加速度 D 球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力 q L 圆锥摆 例6 如图所示小球在水平面内做匀速圆周运动 已知m L q g 求 小球所受拉力的大小 小球的线速度 角速度和周期大小 N mg 3 汽车过拱形桥与凹形桥 拱形桥 如右图为拱形桥模型 当汽车通过拱形桥的最高点时 由 因此可以求出桥对车的支持力 故汽车处于失重状态 且当 N mg 时 N 0 汽车将立即脱离桥面做平抛运动 凹形桥 如右图为凹形桥模型 当汽车通过拱形桥的最低点时 由 因此可以求出桥对车的支持力 故汽车处于超重状态 且曲率半径越小越容易爆胎 4 火车转弯模型 思考 火车转弯处 外轨都会比内轨垫的稍微高一些 这是为什么呢 为什么内轨 外轨不是一样高的呢 O mg F合 N q h L 其实 火车在转弯处除了外轨要比内轨高一些之外 还有其他一些规定 如火车在转弯处都有规定的速度 下面就介绍一下 火车转弯的限定速度 如图所示 已知铁轨间距为L 内 外轨的高度差为h 转弯的轨道半径为r 火车的质量为m 设此时火车 转弯时刚好既不挤压外轨 又不挤压内轨 对火车 进行受力分析如图 由牛顿第二定律可得 因为在q很小时 所以 又因为 固有 可解得 此速度即为火车转弯时的限定速度 火车转弯时侧压力的分析 当火车的行驶速度时 它转弯所需要的向心力刚好由重力和轨道的支持力的合力来提供 此时火车轮缘既不挤压内轨 也不挤压外轨 当火车的行驶速度时 它转弯所需要的向心力大于重力和轨道的支持力的合力 故此时火车轮缘挤压外轨 当火车的行驶速度时 它转弯所需要的向心力小于重力和轨道的支持力的合力 故此时火车轮缘挤压内轨 九 竖直平面内的圆周运动的两种模型 1 无支撑物的 圆轨道 V 绳 v 模型图 通过最高点的临界条件 无支持的物体刚好 恰好 正好通过最高点的临界条件是 物体受到的弹力 压力或拉力 刚好为0 即 N T 0 只在重力场中 无支持物刚好通过最高点的临界速度 由 对最高点进行讨论分析 当时 物体刚好通过最高点 绳或轨道对物体无弹力作用 当时 物体能通过最高点 绳或轨道对物体有向下弹力作用 当时 物体不能通过最高点 对最低点进行分析 由于物体在最低点受到的重力竖直向下 故弹力必竖直向上 故有 光滑管道 杆 2 有支撑物的 模型图 通过最高点的临界条件 由于有支撑 所以在最高点只有有一点点速度 物体就可以通过最高点 对最高点进行讨论分析 当时 物体刚好通过最高点 由可知 即 杆或管道对物体的弹力大小等于重力 方向 竖直向上 此时设弹力方向向下 此时对于杆子 杆子产生的是支持力 对于管道 物体挤压内管壁 当时 由可知 即 杆或管道对物体的弹力大小等于 方向竖直向上 此时设弹力方向向上 此时对于杆子 杆子产生的是支持力 对于管道 物体挤压内管壁 当时 由可知 即 杆或管道对物体的弹力大小等于0 即杆或管道对物体没有弹力的作用 此时设弹力方向向上 当时 由可知 即 杆或管道对物体的弹力大小等于 方向竖直向下 此时设弹力方向向上 此时对于杆子 杆子产生的是拉力 对于管道 物体挤压外管壁 注意 轻杆既可以产生支持力也可以产生拉力 对最低点进行分析 由于物体在最低点受到的重力竖直向下 弹力竖直向上 故必然有 O A 例7 如图所示 长度为L 0 5 m 的轻质杆OA A端固定一个质量为的小球 小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动 通过最高点时小球的速率是 取 则此时轻杆OA受到 A 6N的拉力 B 6N的压力 C 24N拉力 D 54N的压力 a 例8 如图所