结构力学教案.doc

第 44 次课摘 要授课题目（章、节） 10-5 双自由度体系的自由振动教学主要内容及重点难点： 刚度法计算两个自由度体系自由振动的固有频率和振型。（重点、难点） 柔度法计算两个自由度体系自由振动的固有频率和振型。（重点、难点） 主振型的正交性内 容说明：工程实际中很多问题可简化为单自由度体系计算，但也有很多问题不能这样处理。Ex：多层房屋的侧向振动。否则计算结果误差大，精度不够。为提高精度，有些结构必须简化为多自由度体系计算。由单自由度体系分析知，阻尼对自振频率的影响很小，此外对强迫振动的振幅影响较小，故多自由度体系部分均不考虑阻尼的影响。一、刚度法 刚度法建立动力平衡方程写成矩阵形式：体系的质量矩阵。体系的刚度矩阵。求固有频率及主振型说明：由单自由度体系自由振动的振动方程知是简谐振动，推知双自由度体系的自 由振动亦为简谐振动。 设质点m1，m2作同频率、同相位运动，其位移之比为常数。设方程的齐次解为： 代入运动方程得 振幅方程第 1 页 频率方程(a)固有频率1称为第一频率， 2称为第二频率， 12。 若m1=m2=m，k11=k22，则得到：(b)主振型 =1，代入 同时把Y1和Y2分别记作Y11和Y21，则得到第一主振型 同样令=2，同时把Y1和Y2分别记作Y12和Y22，代入振幅方程得到：第二主振型 (c)特定初始条件下方程的解将1和2代回方程的解得：第一主振型 （体系按1振动的解） 第 2 页第二主振型 （体系按2振动的解）(d)一般初始条件下方程的解一般初始条件下，两个自由度体系的振动包含两种频率和两种主振型的组合振动。即方程的解为：第一主振型第二主振型要确定 须引入四个初始条件即t=0时 分析:1）特定初始条件下体系按1或2作简谐振动。若使振动体系按1振动，所给初始条件必须符合第一振型；若使振动体系按2振动，所给初始条件必须符合第二振型；2）振动过程中两质点同时经过平衡位置和振幅位置，即位移之比为常数此种振动形式称主振型。3）体系按哪个振型作自由振动完全由所给初始条件决定，而自振频率和主振型均为体系本身固有的动力特性，只与结构形式、各杆刚度及质量分布有关与初始条件无关。小结：1）对于多自由度体系的自由振动，主要是指体系的全部自振频率及相应的主振型的计算。第 3 页2）多自由度体系的自振频率和主振型的数目等于体系的动力自由度数。3）自振频率和主振型均为体系本身固有的动力特性，只与结构型式、各杆刚度及质量分布有关。例10-4 见书P463二、柔度法柔度法列位移方程体系的质量矩阵和柔度矩阵用矩阵形式表示：求固有频率1和2 质量的加速度设：代入位移方程化简得Y1、Y2 是体系按相同频率振动时，由惯性力幅值产生的静位移。振幅方程频率方程第 4 页展开行列式，并令，得到:整理得于是1称为第一频率， 2称为第二频率， 12。 当11=22，且m1=m2=m时： 求主振型将 =1，代入 同时把Y1和Y2分别记作Y11和Y21，则得到第一主振型同样令=2，同时把Y1和Y2分别记作Y12和Y22，代入振幅方程得到：第二主振型例10-5见书P467第 5 页第 45 次课摘 要授课题目（章、节） 10-6 两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动教学主要内容及重点难点： 刚度法计算两个自由度体系的强迫振动。（重点、难点） 柔度法计算两个自由度体系的强迫振动。（重点、难点）内 容一、刚度法刚度法建立动力平衡方程运动方程的解设方程的稳态解为 振幅方程代入运动方程，得到解方程得：第 6 页振动方程解的讨论由两个自由度体系的频率方程当 =1 或 =2 时，D0=0 。因为D10及D20，所以Y1，Y2。故双自由度体系有两个共振点。 动内力幅值的计算将惯性力幅值I1=m1Y12；I2=m2Y22，和干扰力幅值FP1；FP2作用于结构按静力计算。特别地动弯矩幅值图可按下式计算：M1，M2基本结构在单位位移作用下弯矩图，MP 基本结构在干扰力幅值作用下弯矩图。第 7 页二、柔度法柔度法列位移方程 令 （a）写成矩阵形式 简谐荷载下方程的稳态解设方程的稳态解为： 代入(a)式得 或第 8 页简谐荷载下振动方程稳态解的讨论1或2时，D00，Y1；Y2，即产生共振现象，故双自由度体系有两个共振点各趋于一个固有频率。动内力和动位移幅值的计算将惯性力幅值I1=m1Y12；I2=m2Y22，和干扰力幅值FP作用于结构按静力计算。特别地动弯矩幅值图可按下式计算。M1，M2单位惯性力作用下梁上任意截面弯矩值，MP干扰力幅值作用下梁上同一截面弯矩。对称性利用说明：振动体系的对称性是指：结构对称，质量分布对称或动荷载对称。对称体系的自由振动或强迫振动计算都可利用对称性而得到简化：将体系的自由振动视为对称振动与反对称振动的叠加，对两种振动分别取半结构进行计算；对于体系的强迫振动，则宜将荷载分解为对称与反对称两组。对称荷载作用时，振动形式为对称的；反对称荷载作用时，振动形式为反对称的， 可分别取半结构计算。例10-7 见书P474第 9 页第 46 次课摘 要授课题目（章、节） 10-7 多自由度体系主振型正交性及正则坐标教学主要内容及重点难点： 主振型正交性 （重点） 广义质量和广义刚度 主振型矩阵与正则坐标 （重点、难点）内 容一、主振型正交性对于两个自由度体系，若按第一主振型振动，则有：位移和惯性力的最大值为： 所以Y11和Y21可以看作体系按第一主振型振动时的惯性力幅值产生的静位移。同理，当体系按第二主振型振动，亦有：所以Y12和Y22可以看作体系按第二主振型振动时的惯性力幅值产生的静位移。第 10 页根据虚功互等定律，可得：因为 12，则： 主振型第一正交关系用矩阵形式表示为：也可记作：同理，对于n个自度体系：第一正交关系为 或第一正交关系的另一种证明：令i分别等于l和k，得到：上两式分别前乘YkT和YlT，可得将(3)式两边转置：( MT=M，KT=K )由(5)-(4)得：第 11 页因lk所以： 第一正交关系（相对质量矩阵主振型是正交的）由(3)式得到：所以 第二正交关系（相对刚度矩阵主振型是正交的）二、广义质量和广义刚度由 上式前乘得到：定义： 第k主振型的广义刚度 第k主振型的广义质量则：，由广义质量和广义刚度计算固有频率。三、主振型矩阵与正则坐标1. 主振型矩阵利用正交关系可以证明：广义质量矩阵 广义刚度矩阵 可以证明均为对角阵。第 12 页证明：略2. 正则坐标运动方程：令 代入运动方程前乘 即： 称为正则坐标。 称为几何坐标。可见，通过正则坐标，可以把相互耦合的n个自由度体系解耦为n个单自由度体系。正则坐标与几何坐标之间的转换矩阵即为主振型矩阵Y 。第 13 页小结：1）第一正交关系的物理意义：与第l主振型相应的惯性力在与第k主振型相应的位移上所做的功等于零，反之亦然。2）位移向量y(t)可以用主振型向量的线性组合来表示，即3）利用正交性可以判断主振型的形状，并校核所求振型是否正确。 第 14 页第 47 次课摘 要授课题目（章、节）10-8 多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动 主振型叠加法教学主要内容及重点难点： 多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动（重点、难点）主振型叠加法的解题步骤内 容一、多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动运动方程：引入正则坐标运动方程成为前乘式中广义荷载第 15 页因为M*和K* 都是对角矩阵故有可见，利用正则坐标，n个自由度的体系就解耦为n个单自由度体系的问题。1.若初位移和初速度均为0，利用杜哈梅（Duhamel）积分可得：