《线性代数实验》PPT课件

说明 本次课件不作为课程内容 没有作业 仅供参考 第1章矩阵与行列式 矩阵与行列式简介 在计算机日益发展的今天 线性代数起着越来越重要的作用 线性代数起源于解线性方程组的问题 而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组的方法 矩阵是数学研究和应用的一个重要工具 利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性方程组等问题 特殊的矩阵方阵的数字特征之一是方阵的行列式 使用行列式可以描述方阵的一些重要的性质 通过计算行列式可求逆矩阵 n个 第1章矩阵与行列式 未知量n个方程的线性方程组的惟一解等问题 向量也是研究矩阵的有力工具 可通过向量组的秩来定义矩阵的秩 向量与矩阵 行列式都是线性代数的重要基本概念 它们是建立线性方程组的解的构造理论与系统求解方法的三个基本工具 第1章矩阵与行列式 验证性实验实验一矩阵的运算 实验目的 1 理解矩阵 逆矩阵的概念2 掌握矩阵的线性运算 乘法 转置 逆 方阵的幂的运算 实验要求 理解矩阵赋值命令 符号变量说明syms 加法 乘法 转置 逆矩阵inv 方阵的幂 等命令 第1章矩阵与行列式 实验内容 1 已知下列矩阵 1 2 计算 第1章矩阵与行列式 实验过程 1 1 A 311 212 123 B 11 1 2 10 101 C A B运行结果 C 420402224 第1章矩阵与行列式 AB A B运行结果 AB 62 26108 12 D 6 A运行结果 D 18661261261218 第1章矩阵与行列式 symc cA c A运行结果 cA 3 c c c 2 c c 2 c c 2 c 3 c F A 运行结果 F 321112123 第1章矩阵与行列式 G inv A 运行结果 G 1 41 4 1 41 21 3 45 4 1 4 H A 5运行结果 H 149210061460155810691558191413311946 第1章矩阵与行列式 2 A sym ab cd B sym 1a 1b C A B运行结果 C a 1 b a c 1 d b AB A B运行结果 AB b a a 2 b 2 c d c a d b 第1章矩阵与行列式 D 6 A运行结果 D 6 a 6 b 6 c 6 d symc cA c A运行结果 cA c a c b c 2 c d 第1章矩阵与行列式 F A 运行结果 F conj a conj c conj b conj d conj为复数共轭即 G inv A 运行结果 G d a d c b b a d c b c a d c b a a d c b 即 第1章矩阵与行列式 实验二矩阵的初等变换 实验目的 1 理解矩阵初等变换的概念2 掌握矩阵的初等变换及用初等变换求矩阵的逆矩阵 实验要求 掌握矩阵的表示 符号变量说明syms 逆矩阵inv等命令 实验内容 1 已知矩阵 求对矩阵实施如下的初等变换后所得矩阵 矩阵的第2行乘以m 矩阵的第3列的n倍加到第1列上去 矩阵的第1行与第2行交换 2 已知矩阵 提取矩阵的第2 3 4行与第3 4列的元素构成矩阵B 提取矩阵的第2 3 4行与第1 4列的元素构成矩阵C 第1章矩阵与行列式 3 用初等变换求矩阵的逆矩阵 4 已知 且 求 第1章矩阵与行列式 实验过程 1 1 symsm A sym abcd efgh ijkl A 2 m A 2 运行结果 A a b c d m e m f m g m h i j k l 2 symsn A sym abcd efgh ijkl A 1 A 1 n A 3 运行结果 A a n c b c d e n g f g h i n k j k l 第1章矩阵与行列式 3 A sym abcd efgh ijkl A 2 1 A 1 2 运行结果 A e f g h a b c d i j k l 2 A 1234 5678 9101112 13141516 B A 2 4 3 4 运行结果 B 7811121516 第1章矩阵与行列式 C A 2 end 1 4 运行结果 C 5891213163 A 012 114 2 10 E eye 3 B A E 运行结果 B 0121001140102 10001 第1章矩阵与行列式 B 12 B 21 运行结果 B 1140100121002 10001 B 3 B 3 2 B 1 运行结果 B 1140100121000 3 80 21 第1章矩阵与行列式 B 3 B 3 3 B 2 运行结果 B 11401001210000 23 21 B 2 B 2 B 3 B 1 B 1 2 B 3 运行结果 B 1106 320104 2100 23 21 第1章矩阵与行列式 B 1 B 1 B 2 B 3 1 2 B 3 运行结果 B 1002 110104 21001 3 21 1 24 A 101 111 2 11 B 11 01 10 X inv A B运行结果 X 3152 20 第1章矩阵与行列式 实验三Gauss消元法 实验目的 掌握解线性方程组的Gauss消元法 实验要求 掌握矩阵赋值命令 初等变换相关命令 简化矩阵为阶梯形式rref等命令 实验内容 1 用Gauss消元法解线性方程组 1 2 第1章矩阵与行列式 实验过程 1 1 解法一 Gauss消元法 A 1218 12310 23113 1229 A 2 A 2 A 1 A 3 A 3 2 A 1 A 4 A 4 A 1 运行结果 A 121800220 1 1 30011 A 2 3 A 3 2 运行结果 A 12180 1 1 300220011 第1章矩阵与行列式 A 2 1 A 2 A 3 1 2 A 3 运行结果 A 1218011300110011 A 4 A 4 A 3 A 1 A 1 A 3 A 2 A 2 A 3 运行结果 A 1207010200110000 第1章矩阵与行列式 A 1 A 1 2 A 2 运行结果 A 1003010200110000由上可知 方程组有惟一解 解法二 A 1218 12310 23113 1229 A rref A 运行结果 A 100301020011000由上可知 结果同解法一 第1章矩阵与行列式 2 解法一 Gauss消元法 A 24115 1 2 21 4 12 121 A 1 3 A 3 1 运行结果 A 12 121 1 2 21 424115 A 2 A 2 A 1 A 3 A 3 2 A 1 运行结果 A 12 12100 33 3003 33 第1章矩阵与行列式 A 3 A 3 A 2 运行结果 A 12 12100 33 300000 A 2 1 3 A 2 运行结果 A 12 121001 1100000 A 1 A 1 A 2 运行结果 A 12012001 1100000由上可知 方程组有解 其中是自由未知量 第1章矩阵与行列式 解法二 A 24115 1 2 21 4 12 121 A rref A 运行结果 A 12012001 1100000由上可知 结果同解法一 第1章矩阵与行列式 实验四行列式及应用 实验目的 1 了解行列式的概念 掌握行列式的性质2 掌握行列式的计算方法3 掌握Gramer法则求解线性方程组 实验要求 掌握计算行列式det 解线性方程组solve 生成Vandermonde行列式vander等命令 实验内容 1 计算下列行列式的值 1 2 第1章矩阵与行列式 3 2 已知 验证 3 用Gramer法则解线性方程组 4 c为何值时 齐次线性方程组有非零解 第1章矩阵与行列式 实验过程 1 1 A 25 13 1 9137 3 15 5 28 7 10 det A 运行结果 ans 312 2 A sym abbbb babbb bbabb bbbab bbbba det A 运行结果 ans a 5 10 a 3 b 2 20 a 2 b 3 15 a b 4 4 b 5即行列式的值为 3 A 1 2 3 4 V vander A det V 运行结果 ans 12 第1章矩阵与行列式 3 解法一 A 21 51 14 76 1 30 6 02 12 A1 81 51 04 76 9 30 6 52 12 A2 28 51 10 76 190 6 0 5 12 A3 2181 1406 1 39 6 02 52 A4 21 58 14 70 1 309 02 1 5 a det A a1 det A1 a2 det A2 a3 det A3 a4 det A4 X a1 a a2 a a3 a a4 a 运行结果 X 3 4 11即得方程组的解为 第1章矩阵与行列式 解法二 A 21 518 14 760 1 30 69 02 12 5 A1 A 5 A 2 4 A2 A 1 A 5 A 3 4 A3 A 1 2 A 5 A 4 A4 A 1 3 A 5 a det A 1 4 a1 det A1 a2 det A2 a3 det A3 a4 det A4 X a1 a a2 a a3 a a4 a 运行结果 X 3 4 11 第1章矩阵与行列式 4 symsc A c 1 2 2 2c 1 2 2 2c 1 a det A c solve a c 运行结果 c 5 1 1 即当或时 原线性齐次方程组有非零解 第1章矩阵与行列式 实验五向量 实验目的 理解向量 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关的概念掌握向量组线性相关 线性无关的有关性质及判别法理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念会求向量组的极大线性无关组和秩5 掌握矩阵秩的求法 实验要求 掌握简化矩阵为阶梯形式rref 计算行列式det 计算矩阵的秩rank等命令 实验内容 设向量 问b能否由线性表示 第1章矩阵与行列式 2 判断下列向量组是否线性相关 1 2 3 求向量组 的一个极大线性无关组 并把其余向量用极大线性无关组中的向量线性表示 4 求矩阵的秩 第1章矩阵与行列式 5 求向量在基 下的坐标 实验过程 1 解法一 A 131 044 1 20 259 b 5 4 4 1 B A b r rank A rank B 运行结果 r 12由上可知 故方程组有解 第1章矩阵与行列式 解法二 设 即有 A 1315 0444 1 20 4 2591 运行结果 A 131504441 20 42591 B rref A 运行结果 B 102 2011100000000由上可知 故方程组有解 即b可由线性表示 且 第1章矩阵与行列式 2 1 A1 1 0 5 7 A2 1 1 2 3 A3 2 1 7 4 A A1 A2 A3 r rank A 运行结果 r 2此向量组的秩等于2 故此向量组线性相关 2 A1 1 1 1 A2 0 2 5 A3 1 3 6 A A1 A2 A3 a det A 运行结果 a 0此向量组组成的矩阵的行列式的值为0 故此向量组线性相关 第1章矩阵与行列式 3 A 2314 1 13 3 3241 10 21 B rref A 运行结果 B 102 101 1200000000由上可知 是向量组的一个极大线性无关组 且 4 解法一 A 12 14 2435 1 26 7 r rank A 运行结果 r 2 第1章矩阵与行列式 解法二 formatrat A 12 14 2435 1 26 7 B rref A 运行结果 B 12017 5001 3 50000由上可知 矩阵A的秩为2 第1章矩阵与行列式 5 即求满足方程的解 A1 1 1 0 A2 1 0 1 A3 0 1 1 A A1 A2 A3 b 3 5 9 X inv A b输出X 5 50008 50000 5000 第1章矩阵与行列式 设计性实验Cayler Hamilton定理 实验目的 1 理解特征多项式的概念2 掌握Cayler Hamilton定理 实验要求 掌握生成Vandermonde矩阵的vander命令 求矩阵特征多项式系数的poly 命令 求矩阵范数的norm命令及矩阵多项式运算的polyvalm命令 实验内容 Cayler Hamilton定理是矩阵理论中的一个比较重要的定理 其内容为 若矩阵A的特征多项式为则有亦即假设矩阵A为Vandermonde矩阵 试验证其满足Cayler Hamilton定理 第1章矩阵与行列式 实验方案 Matlab提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly 但是poly 函数会产生一定的误差 而该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨大的误差 从而得出错误的结论 在实际应用中还有其他简单的数值方法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数 例如 下面给出的Fadeev Fadeeva递推算法也可以求出矩阵的特征多项式 第1章矩阵与行列式 可以直接由下面的Matlab语句编写一个函数实现 Functionc poly1 A nr nc size A ifnc nr 给出若为方阵 则用Fadeev Fadeeva算法求特征多项式I eye nc R I c 1zeros 1 nc fork 1 nc c k 1 1 k trace A R r A R c k 1 I endelseif nr 1 nc 1 给出为向量时 构造矩阵A A isfinite A n length A 出去非数或无界的特征根c 1zeros 1 n forj 1 nc 2 j 1 c 2 j 1 A j c 1 j endelse 参数有误则给出错误信息error Argumentmustbeavectororasquarematrix end 第1章矩阵与行列式 实验过程 A vander 1234567 运行结果 A 111111164321684217292438127931409610242566416411562531256251252551466567776129621636611176491680724013434971 A运行结果 aa1 1 0e 009 0 0000 0 0000 0 00020 02871 1589 6 2505 2 42230 0249 第1章矩阵与行列式 如调用新的poly1 函数 则可以得出如下的精确结果 aa1 poly1 A b1 polyvalm aa1 A norm B1 运行结果 ans 0可见 由此得出的B矩阵就会完全等于0 故该矩阵满足Cayley Hamilton定理 第1章矩阵与行列式 第2章线性方程组 线性方程组简介 线性方程组的求解问题促进了线性代数的产生和发展 利用矩阵 行列式和向量这三个基本工具可较好的解决线性方程组的求解问题 利用解向量所构成的基础解系可方便的描述解空间的基本特征及写出通解 从而较好地描述了线性方程组解的结构问题 第2章线性方程组 验证性实验实验一线性方程组 实验目的 理解齐次线性方程组的基础解系 通解及解空间的概念掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法3 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 实验要求 掌握分数数据格式formatrat 求基础解系null 简化矩阵为阶梯形式rref 解方程组solve等命令 第2章线性方程组 实验内容 1 求齐次线性方程组的基础解系及通解 2 判断方程组是否有解 第2章线性方程组 3 求方程组的基础解系及通解 4 求方程组的基础解系及通解 第2章线性方程组 实验过程 1 解法一 formatrat A 1111 1324 201 1 B rref A 运行结果 B 101 2 1 2011 23 20000 第2章线性方程组 由上可知 方程组有解 其中 是自由未知量 故得方程组的基础解系为 通解为 其中为任意常数 第2章线性方程组 解法二 formatrat A 1111 1324 201 1 B null A r 运行结果 B 1 21 2 1 2 3 21001 symsk1k2 X k1 B 1 k2 B 2 第2章线性方程组 运行结果 X 1 2 k1 1 2 k2 1 2 k1 3 2 k2 k1 k2 即原方程组的通解为 其中为任意常数 第2章线性方程组 2 解法一 A 11111 12345 23456 b 1 2 4 r rank A rank A b 运行结果 r 23即系数矩阵的秩为2 增广矩阵的秩为3 故原方程组无解 第2章线性方程组 解法二 A 11111 12345 23456 b 1 2 4 B rref A b 运行结果 B 10 1 2 30012340000001从上面所得阶梯形矩阵可以看出系数矩阵的秩为2 增广矩阵的秩为3 故原方程组无解 第2章线性方程组 3 解法一 A 111 10121 1 912 b 66 77 99 r rank A rank A b 运行结果 r 33即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩3 且等于未知量的个数 故原方程组有惟一解 X inv A b X A b运行结果 X 212223 第2章线性方程组 解法二 symsx1x2x3 f1 x1 x2 x3 66 f2 10 x1 12 x2 x3 77 f3 x1 9 x2 12 x3 99 x1x2x3 solve f1 f2 f3 x1 x2 x3 运行结果 x1 21x2 22x3 23 第2章线性方程组 4 解法一 A 11 213 2 1226 32 4 3 9 b 1 2 3 rA rank A 运行结果 rA 3 rAb rank A b 运行结果 rAb 3即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩3 故原方程组有解 第2章线性方程组 x0 A b运行结果 x0 10000即原线性方程组的一个特解 第2章线性方程组 B rref A 运行结果 B 1000001 20000013由上可知 原方程组的导出组的解为 即可得其导出组的基础解系为 故原方程组的通解为 其中为任意常数 第2章线性方程组 解法二 A 11 213 2 1226 32 4 3 9 b 1 2 3 X A b运行结果 X 10000 第2章线性方程组 B null A r 运行结果 B 0020100 301故原方程组的通解为 其中为任意常数 第2章线性方程组 设计性实验小行星轨道问题 实验目的 1 掌握线性方程组求解2 加深对正交变换的理解3 掌握Matlab软件中的ezplot zplot命令的区别和适用范围 实验要求 掌握绘制隐函数曲线ezplot命令和彗星状轨迹图comet命令 第2章线性方程组 实验内容 天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道 在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系 在两坐标轴上取天文测量单位 一天文单位为地球到太阳的平均距离 9300万里 在五个不同的时间点对小行星作了观察 测得轨道上五个点的坐标数据如下 表2 1小行星观测数据 第2章线性方程组 由开普勒第一定律知 小行星轨道为一椭圆 设方程为试确定椭圆的方程并在轨道的平面内以太阳为原点绘出椭圆曲线 并应用坐标平移变换和正交变换将上例题中的二次曲线方程化为标准方程 绘椭圆轨道图 完成小行星运行的动态模拟 第2章线性方程组 实验方案 1 二次曲线方程中有五个待定系数 将观察所得的五个点坐标数据 代入二次曲线方程得到关于 的线性方程组求解该方程组得椭圆方程的系数 第2章线性方程组 2 将椭圆的一般方程写成矩阵形式通过变量变换 平移变换和旋转变换 化为椭圆标准方程 首先化去一次项 然后将二次型化为标准型 为了用平移变换消去一次项 令 待定 代入方程整理 得 第2章线性方程组 其中 要化简消去一次项 只须选择 使满足二阶线性方程组将 代入椭圆的一般方程 得令求出特征值极其对应的特征向量 可以取与等价的正交单位向量 构造正交矩阵 利用正交变换 第2章线性方程组 得椭圆的标准方程 椭圆长半轴和短半轴分别为 第2章线性方程组 实验过程 1 MATLAB程序如下 x 4 5596 5 0816 5 5546 5 9636 6 2756 y 0 8145 1 3685 1 9895 2 6925 3 5265 A x 2 2 x y y 2 2 x 2 y b 1 1 1 1 1 a A b symsxya1a2a3a4a5fun a1 x 2 2 a2 x y a3 y 2 2 a4 x 2 a5 y 1 fun subs fun a1 a 1 fun subs fun a2 a 2 fun subs fun a3 a 3 第2章线性方程组 fun subs fun a4 a 4 fun subs fun a5 a 5 ezplot fun 1 4 7 1 5 6 5 运行结果 a 0 33780 1892 0 38180 46090 4104结果表明 二次曲线方程中的各项系数为 0 3378 0 1892 0 3818 0 4609 0 4104 第2章线性方程组 图2 2小行星绕太阳运行的轨道 第2章线性方程组 2 MATLAB程序如下 x 4 5596 5 0816 5 5546 5 9636 6 2756 y 0 8145 1 3685 1 9895 2 6925 3 5265 A x 2 2 x y y 2 2 x 2 y b 1 1 1 1 1 ak A b C ak 1 ak 2 ak 2 ak 3 X C ak 4 ak 5 x0 X 1 y0 X 2 X X 1 D ak 1 ak 2 ak 4 ak 2 ak 3 ak 5 ak 4 ak 5 1 F X D X Ud eig C 第2章线性方程组 a sqrt F d 1 1 b sqrt F d 2 2 t 2 pi 0 5000 5000 u a cos t v b sin t V U u v x1 V 1 x0 y1 V 2 y0 plot x1 y1 x y x0 y0 rO holdonx2 x1 x1 x1 y2 y1 y1 y1 comet x2 y2 disp x0 y0 disp a b 第2章线性方程组 图2 3椭圆轨道图 第2章线性方程组 运行结果 2 72132 42342 42994 3799 结果表明 椭圆标准方程为 矩阵的特征值与特征向量简介 矩阵的特征值与特征向量是矩阵的数字特征 利用矩阵的特征值与特征向量可判断矩阵的相似 解决矩阵对角化及实对称矩阵正交化等问题 促进了矩阵理论的进一步发展及应用 第3章矩阵的特征值与特征向量 验证性实验矩阵的特征值与特征向量 实验目的 理解矩阵的特征值和特征向量的概念会求矩阵的特征值和特征向量掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 实验要求 掌握求矩阵的特征多项式poly 求矩阵的特征值和特征向量eig 矩阵的范数norm 值空间正交化orth 单位阵eye等命令 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验内容 设 求矩阵A的特征多项式和特征值 求矩阵的特征值和特征向量 求矩阵的特征值和特征向量 第3章矩阵的特征值与特征向量 判断矩阵是否可以对角化 若能 将其对角化 5 设矩阵 求正交矩阵T 使得为对角矩阵 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验过程 1 A 100 018 013 poly A 运行结果 ans 1 5 15即矩阵A的特征多项式为 lamda eig A 运行结果 lamda 5 11即矩阵A的特征值为 第3章矩阵的特征值与特征向量 2 A 122 212 221 kesai lamda eig A 运行结果 kesai 0 60150 55220 57740 1775 0 79700 5774 0 77890 24480 5774lamda 1 0000000 1 00000005 0000即矩阵A的特征值为 对应的特征向量为 第3章矩阵的特征值与特征向量 3 A sym 00a 0b0 c00 kesai lamda eig A 运行结果 kesai 1 c c a 1 2 1 c c a 1 2 0 0 0 1 1 1 0 lamda c a 1 2 0 0 0 c a 1 2 0 0 0 b 即矩阵A的特征值为 对应的特征向量为 第3章矩阵的特征值与特征向量 4 A 011 101 110 kesai lamda eig A 运行结果 kesai 0 71520 39380 57740 0166 0 81630 57740 69870 42250 5774lamda 1 0000000 1 00000002 0000 inv kesai A kesai lamda运行结果 ans 1 0e 015 0 66610000 0 1943 0 44410 22200 第3章矩阵的特征值与特征向量 因1 0e 015 kesai A kesai运行结果 ans 1 00000 0 00000 1 00000 0000 0 0000 0 00002 0000即存在正交矩阵使得 第3章矩阵的特征值与特征向量 5 解法一 A 7 3 11 371 1 117 3 1 1 37 kesai lamda eig A 运行结果 kesai 0 00000 70710 5000 0 5000 0 00000 7071 0 50000 50000 7071 0 00000 50000 50000 70710 0 5000 0 5000lamda 4 000000004 000000008 0000000012 0000即所求正交矩阵为 第3章矩阵的特征值与特征向量 kesai A kesai运行结果 ans 4 4 0 8 0 12即经验证有 norm kesai kesai eye 4 运行结果 ans 9 7171e 016由上可知 所求正交矩阵精度很高 第3章矩阵的特征值与特征向量 解法二 A 7 3 11 371 1 117 3 1 1 37 T orth A 运行结果 T 0 50000 5000 0 707100 5000 0 5000 0 7071 0 00000 50000 50000 00000 7071 0 5000 0 5000 0 00000 7071 norm T T eye 4 运行结果 ans 7 6679e 016由上可知 所求正交矩阵精度很高 第3章矩阵的特征值与特征向量 设计性实验实验一矩阵相似变换在控制理论中的应用 实验目的 1 掌握矩阵的相似变换2 利用矩阵相似变换方法 将控制理论中一般的状态方程变换成某种特殊的形式 以便于更好地进行系统的性质分析3 掌握控制系统的可控标准型 可观察标准型和Jordan标准型 实验要求 掌握Matlab软件中有关相似变换的命令 实验内容 给出系统的相似变换的概念 介绍基于矩阵相似变换的各种标准及变换方法 并用MATLAB编程实现 试求出下面系统的可控标准型 并求该状态方程模型的可观测标准型以及Jordan标准型 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验方案 1 线性系统的相似变换假设存在一个非奇异矩阵 且定义了一个新的状态变量使得 这样关于新状态变量的状态方程模型可以写成 且式中 在矩阵下的状态变换称为相似变换 称为相似变换矩阵 第3章矩阵的特征值与特征向量 2 单变量控制系统的可控 可观测标准型转换对单变量系统 1 来说 若系统的特征多项式可以写成 则可以够造出变换矩阵这样就可以将原来系统变换成可控制标准型 可以用容易地写出变换矩阵 求特征多项式系数 建议用ploy1 取代ploy 第3章矩阵的特征值与特征向量 3 控制系统的Jordan标准型转换系统的Jordan标准型可以由函数直接求出 值得指出的是 若系统的矩阵含有复数特征值 则用函数不能得出正确结果 应该结合前面Jordan变换的方法手工构造变换矩阵 得出合适的变换系统 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验二矩阵的三角分解 实验目的 1 理解矩阵的三角分解 又称为LU分解 2 掌握函数的两种调用方法 实验要求 掌握Matlab软件中有关矩阵LU分解的命令 实验内容 分别用两种方法调用MATLAB中的函数 实现矩阵LU分解问题 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验方案 矩阵的三角分解又称为LU分解 它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积 亦即A LU 其中L和U矩阵可以分别写成由这两个矩阵可以简单的写出一个矩阵 其中 第3章矩阵的特征值与特征向量 这样产生的矩阵与原来的A矩阵的关系可以写成 第3章矩阵的特征值与特征向量 因此 可以立即得出求取和的递推计算公式该公式的递推初值为注意 在上述的算法中并未对主元素进行任何选取 因此该算法并不一定数值稳定 因为在运算过程中0或很小的数值可能被用作除数 在MATLAB中也给出了基于主元素的矩阵LU分解函数 该函数的调用格式为 第3章矩阵的特征值与特征向量 分解 为置换矩阵 其中 分别为变换后的下三角和上三角矩阵 在MATLAB的函数中考虑了主元素选取的问题 所以该函数一般会给出可靠的结果 又该函数得出的下三角矩阵L并不一定是一个真正的下三角矩阵 因为选取它可能进行了一些元素行的交换 这样主对角线的元素可能不是1 而在矩阵L内存在一个唯一的置换 其各个元素的值均是1 如果想获得有关换行信息 则可以由后一种格式调用函数 这时P为单位阵变换出的置换矩阵 A矩阵可以分解成 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验过程 1 求出三角分解矩阵 第3章矩阵的特征值与特征向量 可见 这样得出的矩阵并非下三角矩阵 这是因为再分解过程中采用了主元素交换的方法 现在考虑函数的另一中调用方法 第3章矩阵的特征值与特征向量 注意 这里得出的P矩阵不是一个单位矩阵 而是单位矩阵的置换矩阵 结合得出的矩阵可以看出 P矩阵的 表明需要将矩阵的第4行换到第2行 表明需要将的第2行换至第3行 将原来第3行换至第4行 这样就可以得出一个真正的下三角矩阵L了 将L P U代入并检验 可以精确地还原A矩阵 第3章矩阵的特征值与特征向量 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验三线性方程组的数值解法 实验目的 1 掌握求解上三角形方程组的回代法 求解线性方程组的Gauss消去法 LU分解 Jacobi迭代法 Gauss Seidel迭代法2 比较各种算法的收敛条件及运算效率3 使用Matlab编写线性方程组数值解法的M文件及程序 实验要求 1 求解上三角形方程组的回代法 求解线性方程组的Gauss消去法 LU分解 Jacobi迭代法 Gauss Seidel迭代法的原理及步骤2 能Matlab编写线性方程组数值解法的M文件及程序 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验内容 用回代法解上三角形方程组 用列主元Gauss消去法 矩阵直接三角分解法 Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法解线性方程组 1 求解上三角线性方程组2 用列主元Gauss消去法求解线性方程组 第3章矩阵的特征值与特征向量 3 用矩阵的LU分解求解线性方程组4 用Jacobi迭代法求解线性方程组5 用Gauss Seidel迭代法求解线性方程组 第3章矩阵的特征值与特征向量 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验方案 对于上三角形方程组 其矩阵形式表示为 形如 其中 U称为上三角矩阵 若 即 亦即矩阵U是非奇异的 则原方程组有唯一解 且可从最后一个方程解出 即 代入倒数第二个方程 得到 一般地 设已求得 则由方程的第i个方程 可得 上述求解过种 称为回代过程 回代过程所用乘除法运算次数为 加减法运算次数为 第3章矩阵的特征值与特征向量 2 Gauss消去法的操作过程如下 将原线性方程组写成增广矩阵的形式 其中 第一步消元 设 将中的第一行乘以 加到第i行上去 可得到同解方程组的增广矩阵 第3章矩阵的特征值与特征向量 第3章矩阵的特征值与特征向量 其中 通常 称为消元因子 表为主元 上述做法 直至第n 1步完成 得到同解的方程组 即为上三角矩阵 可表示为式 11 2 2 这时用回代过程便可求得解向量x 而列主元Gauss消去法的基本思想是 设已作k 1步消元 在进行第k步消元之前 选出第k列中位于对角线及其以下元素绝对值中的最大者 即确定t 使得 将的第t行和第k行互相交换 则元素为新的主元素 其余元素也均以交换后的位置表示 然后再按Gauss消去法进行第k步消元 这种方法称为列主元Gauss消去法 此时 消元因子满足 第3章矩阵的特征值与特征向量 一般能保证舍入误差不扩散 这个方法基本是稳定的 列主元Gauss消去法的运算量除选主元及行交换外和Gauss消去法是相同的 第3章矩阵的特征值与特征向量 3 Gauss消去过程 实际就是对方程组的增广矩阵连续左乘以得到上三角方程组 即 其中 令 用左乘 11 3 1 式 得 第3章矩阵的特征值与特征向量 于是 有 称为单位下三角矩阵 为上三角矩阵 这种矩阵的分解为简单矩阵的乘积 称为矩阵的分解 第3章矩阵的特征值与特征向量 4 对于线性方程组设 从第个方程组解出 得到如下同解方程组 第3章矩阵的特征值与特征向量 建立相应迭代格式 称上式为Jacobi迭代格式 第3章矩阵的特征值与特征向量 5 Jacobi迭代格式在逐个求的分量时 当计算到时 分量都已求出 但却被束之高阁 而仍用旧分量进行计算 直观上看 最新算出的分量可能比旧的分量要准确些 因此 设想一旦当新分量已求出 马上就用它来替代 也就是在Jacobi迭代法中求时用代替 这就是Gauss Seidel迭代法 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验过程 建立回代法的M函数文件如下 functionX backsub A b A是一个n阶上三角非奇异阵 b是一个n维向量 X是线性方程组AX b的解 n length b X zeros n 1 X n b n A n n fork n 1 1 1X k b k A k k 1 n X k 1 n A k k end然后 用上述程序求解上三角线性方程组 第3章矩阵的特征值与特征向量 建立一个主程序prog1121 mclcclearA 3 2 1 4 0 4 1 2 0 0 2 3 0 0 0 5 b 8 3 11 15 backsub A b 然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序 即 prog1121 第3章矩阵的特征值与特征向量 运行结果 ans 5 213建立列主元Gauss消去法的函数文件如下 functionX uptrbk A b A是一个n阶矩阵 b是一个n维向量 X是线性方程组AX b的解 第3章矩阵的特征值与特征向量 NN size A X zeros 1 N 1 Aug Ab forp 1 N 1 Y j max abs Aug p N p C Aug p Aug p Aug j p 1 Aug j p 1 C ifAug p p 0 A是奇异阵 方程无惟一解 breakend 第3章矩阵的特征值与特征向量 fork p 1 Nm Aug k p Aug p p Aug k p N 1 Aug k p N 1 m Aug p p N 1 endend 这里用前面程序中定义的函数backsub来进行回代 X backsub Aug 1 N 1 N Aug 1 N N 1 第3章矩阵的特征值与特征向量 再用上述程序求解线性方程组 建立一个主程序prog1122 mclcclearA 2 4 6 1 5 3 1 3 2 b 4 10 5 uptrbk A b 然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序 即 第3章矩阵的特征值与特征向量 prog1122运行结果 ans 321建立矩阵分解解方程组的函数文件如下 functionX lufact A b A为n阶矩阵 b是n维向量 X是所求的AX b的解 第3章矩阵的特征值与特征向量 N N size A X zeros N 1 Y zeros N 1 C zeros 1 N R 1 N forp 1 N 1 max1 j max abs A p N p C A p A p A j p 1 A j p 1 C d R p R p R j p 1 R j p 1 d 第3章矩阵的特征值与特征向量 ifA p p 0 A是奇异阵 方程组无惟一解 breakendfork p 1 Nmult A k p A p p A k p mult A k p 1 N A k p 1 N mult A p p 1 N endendY 1 b R 1 fork 2 NY k b R k A k 1 k 1 Y 1 k 1 end 第3章矩阵的特征值与特征向量 X N Y N A N N fork N 1 1 1X k Y k A k k 1 N X k 1 N A k k end用上述程序求解线性方程组 建立一个主程序prog1131 mclcclearA 1 3 5 7 2 1 3 5 0 0 2 5 2 6 3 1 b 1 2 3 4 Lufact A b 第3章矩阵的特征值与特征向量 然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序 即 prog1131运行结果 ans 1 34290 6857 00001 8000 3 第3章矩阵的特征值与特征向量 还有另一种简便的解法是直接使用MATLAB中对矩阵进行LU分解的命令 然后再用回代法求解原方程组 过程如下 clcclearA 1 3 5 7 2 1 3 5 0 0 2 5 2 6 3 1 b 1 2 3 4 对系数矩阵A进行LU分解 L U lu A 用前面程序中定义的函数backsub来进行回代backsub U b 第3章矩阵的特征值与特征向量 建立Jacobi迭代格式的函数文件如下 functionX jacobi A b P delta max1 A是n维非奇异阵 b是n维向量 P是初值 delta是误差界 max1是给定的迭代最高次数 X为所求的方程组AX b的近似解 第3章矩阵的特征值与特征向量 N length b fork 1 max1forj 1 NX j b j A j 1 j 1 j 1 N P 1 j 1 j 1 N A j j enderr abs norm X P P X if err delta breakendendX X k err 第3章矩阵的特征值与特征向量 用上述程序求解线性方程组 建立一个主程序prog1141 mclcclearA 4 1 1 1 5 1 2 1 6 b 13 8 2 P 0 0 0 jacobi A b P 10 4 20 第3章矩阵的特征值与特征向量 然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序 即 prog1141运行结果 k 9ans 3 00002 00001 0000 第3章矩阵的特征值与特征向量 建立Gauss Seidel迭代法的M函数文件如下 functionX gseid A b P delta max1 A是n维非奇异阵 b是n维向量 P是初值 delta是误差界 max1是给定的迭代最高次数 X为所求的方程组AX b的近似解 第3章矩阵的特征值与特征向量 N length b fork 1 max1forj 1 Nifj 1X 1 b 1 A 1 2 N P 2 N A 1 1 elseifj NX N b N A N 1 N 1 X 1 N 1 A N N elseX j b j A j 1 j 1 X 1 j 1 A j j 1 N P j 1 N A j j endenderr abs norm X P relerr err norm X eps P X 第3章矩阵的特征值与特征向量 if err delta relerr delta breakendendX X err k然后 用上述程序求解线性方程组 建立一个主程序prog1142 m 第3章矩阵的特征值与特征向量 clearA 4 1 1 4 8 1 2 1 5 b 7 21 15 P 1 2 2 gseid A b P 10 4 14 然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序 即 prog1142运行结果 err 8 3073e 005k 6ans 2 00004 00003 0000经过6次迭代得到满足精度要求的解 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验四房屋装修的工资问题 实验目的 1 理解矩阵特征值概念2 能根据实际问题 建立模型然后使用Matlab相关命令求解 实验要求 掌握求解特征值的eig命令 生成对角矩阵的diag命令等 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验内容 有三个技术个人分别是木工 电工和管道工 他们准备合作装修自己的新房子 在装修之前约定 每人总共工作20天 包括在自己家 每人每日的工资平均为100元 每人的日工资应使得每人的总收入和总支出等 需要计算每人的日工资分别是多少 以确定他们的工作日交换是否平衡 如果不平衡 将由谁买单 一个初步的工作日分配方案如下表3 1工作日分配方案 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验方案 设木工 电工和管道工的日工资分别为 由总收入和总支出相等的约定 建立线性议程组整理 得 第3章矩阵的特征值与特征向量 显然问题与矩阵特征值问题有联系 由于矩阵是正矩阵且每列元素之和均为20 所以20是该矩阵的牲值 于是就是属于特征值的特征向量 按约定总工作量决定总工资应该为6000元 则应该有 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验过程 MATLAB程序如下A 4 2 12 8 10 2 8 8 6 P D eig A disp diag D II input inputIndexabouteigvalu 20 ifII 0 error problemhavenosolution endalpha P II R alpha sum alpha formatbankdaily 300 R pay A diag daily 第3章矩阵的特征值与特征向量 运行结果 在MATLAB命令窗口中运行程序 屏幕将显示出A的三个特征值20 00 2 002 00由于第一个特征值恰好为20 在提示符 inputIndexabouteigvalu 20 后输入索引值1 程序继续运行 得出最后计算结果为daily 93 9496 97109 09pay 375 76193 941309 09751 52969 70218 18751 52775 76654 55每人的日工资由变量daily的数据给出 第3章矩阵的特征值与特征向量 结果表明 表3 2日工资列表最后的二维数组给出了二维数组 表明付款明细账 行表示支付 列表示收取 显然第一行相加等于第一列相加 第二行相加等于第二列相加 第三行相加等于第三列相加 表3 3工资支付收取方案 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验五层次分析法 实验目的 1 掌握正互反矩阵 一致性矩阵等一些基本知识2 理解层次分析法 理想解逼近排序法的基本原理和步骤 实验要求 1 能够对一些定性问题或半定性问题能用层次分析法进行建模求解 并用MATLAB编程实现2 掌握用层次分析法进行建模求解过程Matlab中一些相关命令的用法 第3章矩阵的特征值与特征向量 实验内容 中国石化股份有限公司西南分公司日前开采的气田主要有孝泉气田 新场气田 合兴场气田等 这些气田最早于1988年投入开采 现已形成较为完善的集输管网系统