事件分类和概率性质VIP

3 1 3概率的基本性质 事件的关系和运算 概率的几个基本性质 我们知道 一个事件可能包含试验的多个结果 比如在掷骰子这个试验中 出现的点数小于或等于3 这个事件中包含了哪些结果呢 出现的点数为1 出现的点数为2 出现的点数为3 这三个结果 这样我们把每一个结果可看作元素 而每一个事件可看作一个集合 因此 事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间的关系与运算 在掷骰子的试验中 我们可以定义许多事件 如 C1 出现1点 C2 出现2点 C3 出现3点 C4 出现4点 C5 出现5点 C6 出现6点 思考 1 上述事件中有必然事件或不可能事件吗 有的话 哪些是 6 在掷骰子实验中事件G和事件H是否一定有一个会发生 5 若只掷一次骰子 则事件C1和事件C2有可能同时发生么 4 上述事件中 哪些事件发生当且仅当事件D2且事件D3同时发生 3 上述事件中 哪些事件发生会使得K 出现1点或5点 也发生 2 若事件C1发生 则还有哪些事件也一定会发生 探究 反过来可以么 D1 出现的点数不大于1 D2 出现的点数大于3 D3 出现的点数小于5 E 出现的点数小于7 F 出现的点数大于6 G 出现的点数为偶数 H 出现的点数为奇数 你能写出这个试验中出现的其它一些事件吗 事件的关系和运算 B A 如图 例 事件C1 出现1点 发生 则事件H 出现的点数为奇数 也一定会发生 所以 注 不可能事件记作 任何事件都包括不可能事件 1 包含关系 一般地 对于事件A与事件B 如果事件A发生 则事件B一定发生 这时称事件B包含事件A 或称事件A包含于事件B 记作 2 相等关系 B 如图 例 事件C1 出现1点 发生 则事件D1 出现的点数不大于1 就一定会发生 反过来也一样 所以C1 D1 事件的关系和运算 一般地 对事件A与事件B 若 那么称事件A与事件B相等 记作A B A 3 并事件 和事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生 则称此事件为事件A和事件B的并事件 或和事件 记作 B A 如图 例 若事件K 出现1点或5点 发生 则事件C1 出现1点 与事件C5 出现5点 中至少有一个会发生 则 事件的关系和运算 A 4 交事件 积事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生 则称此事件为事件A和事件B的交事件 或积事件 记作 B 如图 事件的关系和运算 例 若事件M 出现1点且5点 发生 则事件C1 出现1点 与事件C5 出现5点 同时发生 则 5 互斥事件 若为不可能事件 那么称事件A与事件B互斥 其含义是 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生 A B 如图 例 因为事件C1 出现1点 与事件C2 出现2点 不可能同时发生 故这两个事件互斥 事件的关系和运算 6 互为对立事件 若为不可能事件 为必然事件 那么称事件A与事件B互为对立事件 其含义是 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 如图 例 事件G 出现的点数为偶数 与事件H 出现的点数为奇数 即为互为对立事件 事件的关系和运算 记作 事件的关系和运算 1 包含关系2 相等关系 3 事件的并 或和 4 事件的交 或积 5 事件的互斥6 对立事件 事件运算 事件关系 1 在某次考试成绩中 满分为100分 下列事件的关系是什么 A1 大于70分小于80分 A2 70分以上 B1 不及格 B2 60分以下 C1 90分以上 C2 95分以上 C3 大于90分小于等于95分 D1 大于60分小于80分 D2 大于70分小于90分 D3 大于70分小于80分 2 判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立事件 从40张扑克牌 四种花色从1 10各10张 中任取一张 抽出红桃 和 抽出黑桃 抽出红色牌 和 抽出黑色牌 抽出的牌点数为5的倍数 和 抽出的牌点数大于9 练习一 3 抛掷一个骰子 记A为事件 落地时向上的数是奇数 B为事件 落地时向上的数是偶数 C为事件 落地时向上的数是3的倍数 判别下列每件事件是不是互斥事件 如果是 再判别它们是不是对立事件 1 A与B 2 A与C 3 B与C 练习一 4 判别下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判别它们是不是对立事件 从一堆产品 其中正品与次品都多于2个 中任取2件 其中 1 恰有1件次品和恰有2件次品 2 至少有1件次品和全是次品 3 至少有1件正品和至少有1件次品 4 至少有1件次品和全是正品 练习一 5 某检查员从一批产品中抽取8件进行检查 观察其中的次品数 记 A 次品数少于5件 B 次品数恰有2件 C 次品数多于3件 试写出下列事件的基本事件组成 A B A C B C 练习一 A B A A C 有4件次品 B C 概率的基本性质 1 对于任何事件的概率的范围是 2 当事件A与事件B互斥时 A B的频率 3 特别地 当事件A与事件B互为对立事件时 则P A 1 P B P A B P A P B 0 P A 1 其中不可能事件的概率是P A 0必然事件的概率是P A 1 fn A B fn A fn B 由此得到概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥 则 1 取到红色牌 事件C 的概率是多少 2 取到黑色牌 事件D 的概率是多少 例如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张 那么取到红心 事件A 的概率是 取到方片 事件B 的概率是 问 解 1 因为C A B 且A与B不会同时发生 所以A与B是互斥事件 根据概率的加法公式 得 P C P A P B 1 2 2 C与D也是互斥事件 又由于C D为必然事件 所以C与D互为对立事件 所以P D 1 P C 1 2 例2 抛掷色子 事件A 朝上一面的数是奇数 事件B 朝上一面的数不超过3 求P A B 例题讲解 解法一 因为P A 3 6 1 2 P B 3 6 1 2所以P A B P A P B 1 解法二 A B这一事件包括4种结果 即出现1 2 3和5所以P A B 4 6 2 3 请判断那种正确 重要结论 P A B P A P B P AB 例某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示 1 求年降水量在 100 200 范围内的概率 2 求年降水量在 150 300 mm 范围内的概率 解 1 记这个地区的年降水量在 100 150 150 200 200 250 250 300 mm 范围内分别为事件为A B C D 这4个事件是彼此互斥的 根据互斥事件的概率加法公式 有 1 年降水量在 100 200 mm 范围内的概率是 P A B P A P B 0 12 0 25 0 37 2 年降水量在 150 300 mm 内的概率是 P B C D P B P C P D 0 25 0 16 0 14 0 55 自我评价 1 某射手射击一次射中10环 9环 8环 7环的概率分别是0 24 0 28 0 19 0 16 计算这名射手射击一次 1 射中10环或9环的概率 2 至少射中7环的概率 3 射中环数不足8环的概率 2 甲 乙两人下棋 和棋的概率为 乙胜的概率为 求 1 甲胜的概率 2 甲不输的概率 事件的关系和运算 2 相等关系 3 并事件 和事件 4 交事件 积事件 5 互斥事件 6 互为对立事件 1 包含关系 且是必然事件 A B 小结 1 对于任何事件的概率的范围是 0 P A 1 P A B P A P B 2 如果事件A与事件B互斥 则 3 特别