概率论 第三章第一节.ppt

1 第三章多维随机变量及其分布 1多维随机变量的概念 2随机变量的独立性 3两个随机变量的函数的分布 2 从本讲起 我们开始第三章的学习 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 它是第二章内容的推广 3 到现在为止 我们只讨论了一维r v及其分布 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够 而需要用几个随机变量来描述 在打靶时 命中点的位置是由一对r v 两个坐标 来确定的 飞机的重心在空中的位置是由三个r v 三个坐标 来确定的等等 4 设 是定义在上的随机变量 由它们构成的一个维向 量 以下重点讨论二维随机变量 5 第一节二维随机变量 二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量 6 如果对于任意实数 二元函数 称为二维随机变量的分布函数 定义1 一 二维随机变量的分布函数 7 而和都是随机变量 也有各自的分 布函数 分别记为 变量 X Y 关于X和Y的边缘分布函数 依次称为二维随机 边缘分布函数 8 将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标 那么 分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的 以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 分布函数的函数值的几何解释 9 随机点落在矩形域 内的概率为 10 分布函数具有以下的基本性质 1 F x y 是变量x y的不减函数 即对于任意固定的y 当x1 x2时 对于任意固定的y 且 对于任意固定的x 当y1 y2时 对于任意固定的x 11 3 F x y F x 0 y F x y F x y 0 即F x y 关于x右连续 关于y也右连续 y x o x1 x2 y1 y2 X Y x2 y2 x2 y1 x1 y2 x1 y1 12 说明 上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质 即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质 更进一步地 我们还可以证明 如果某一个二元函数具有这四条性质 那么 它一定是某一二维随机变量的分布函数 证明略 13 或随机变量X和Y的联合分布律 k 1 2 X的分布律 k 1 2 定义2 的值是有限对或可列无穷多对 设二维离散型随机变量 可能取的值是 记 如果二维随机变量 全部可能取到的不相同 称之为二维离散型随机变量的分布律 二 二维离散型随机变量 14 也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律 15 例1把一枚均匀硬币抛掷3次 设X为3次抛掷中正面出现的次数 而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 求 X Y 的分布律 解 X Y 可取值 0 3 1 1 2 1 3 3 P X 0 Y 3 P X 1 Y 1 P X 2 Y 1 P X 3 Y 0 3 8 3 8 16 一般地 对离散型r v X Y 则 X Y 关于X的边缘分布律为 X和Y的联合分布律为 离散型随机变量的边缘分布律 17 X Y 关于Y的边缘分布律为 18 例1 续 把一枚均匀硬币抛掷三次 设X为三次抛掷中正面出现的次数 而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 求 X Y 的分布律 解 X Y 可取值 0 3 1 1 2 1 3 3 P X 0 Y 3 P X 1 Y 1 P X 2 Y 1 P X 3 Y 0 3 8 3 8 19 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P Y 1 P Y 3 1 8 P X 0 Y 1 P X 0 Y 3 3 8 P X 1 Y 1 P X 1 Y 3 3 8 P X 2 Y 1 P X 2 Y 3 P X 3 Y 1 P X 3 Y 3 1 8 3 8 3 8 6 8 1 8 1 8 2 8 20 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上 由此得出边缘分布这个名词 21 联合分布与边缘分布的关系 由联合分布可以确定边缘分布 但由边缘分布一般不能确定联合分布 22 X的概率密度函数 定义3 函数称为二维 三 二维连续型随机变量 23 二维连续型随机变量的概率密度具有性质 24 X Y 的概率密度的性质 在f x y 的连续点 25 例2设 X Y 的概率密度是 1 求分布函数 2 求概率 26 解 1 当时 故 当时 27 2 28 例3 已知二维随机变量 X Y 的分布函数为 1 求常数A B C 2 求P 0 X 2 0 Y 3 解 29 对连续型r v X Y X和Y的联合概率密度为 则 X Y 关于X的边缘概率密度为 连续型随机变量的边缘概率密度 X Y 关于Y的边缘概率密度为 30 例4设 X Y 的概率密度是 求 1 c的值 2 两个边缘密度 5c 24 c 24 5 解 1 故 31 例4设 X Y 的概率密度是 解 求 1 c的值 2 两个边缘密度 2 当时 当时 暂时固定 32 注意取值范围 综上 当时 33 例4设 X Y 的概率密度是 解 2 求 1 c的值 2 两个边缘密度 暂时固定 34 综上 注意取值范围 35 在求连续型r v的边缘密度时 往往要求联合密度在某区域上的积分 当联合密度函数是分片表示的时候 在计算积分时应特别注意积分限 下面我们介绍两个常见的二维分布 36 设D是平面上的有界区域 其面积为S且S 0 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 在D上服从均匀分布 记作 37 例5 已知二维随机变量 X Y 服从区域D上的均匀分布 其中D 求 解 X Y 的密度函数为 事件意味着随机点 X Y 落在区域 上 则 38 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 服从参数为的二维正态分布 记作 X Y N 39 例6试求二维正态随机变量的边缘概率密度 解 因为 所以 40 则有 41 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 并且不依赖于参数 同理 可见 由边缘分布一般不能确定联合分布 也就是说 对于给定的不同的对应 不同的二维正态分布 但它们的边缘分布却都是一样的 此例表明 42 五 小结 在这一节中 我们与一维情形相对照 介绍了二维随机变量的分布函数 离散型随机变量的分布律以及连续型随机变量的概率密度函数 二维