数列中公共项问题的研究.doc

专题：数列中公共项问题的研究一、问题提出问题1：（1）两个集合和都各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合中元素的最大值是多少？（2）若将中元素按从小到大的顺序排列成数列，试求数列的通项公式.问题2：若数列的通项公式为，数列的通项公式为设集合，若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式对任意，是中的最大数，设等差数列的公差为，则，即，又是一个以为公差等差数列，二、思考探究探究1：已知数列的通项公式为，数列的通项公式为若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，（1）求的值；961（2）求数列的通项公式. 解：设，考察模7的余数问题；若时经验证可得：当时，存在满足条件的存在故中的项目依次为：可求得数列的通项公式为： 探究2：已知数列和的通项公式分别为，.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为.（1）试写出，的值，并由此归纳数列的通项公式； （2）证明你在（1）所猜想的结论. 解：（1），由此归纳：.（2） 由，得，由二项式定理得，当为奇数时，有整数解， .类型：（1）两个等差数列取交集数列问题（方法：公式法）隔三差五问题（2）一个等差数列和一个指数数列取交集数列问题（方法：余数分析法）（3）一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题（方法：二项式定理） 探究3：已知数列xn和yn的通项公式分别是xnan和yn(a1)nb(nN*)（1）当a3，b5时，试问x2，x4分别是数列yn中的第几项？记cnx，若ck是数列yn中的第m项(k，mN*)，试问ck1是数列yn中的第几项？请说明理由；（2）对给定自然数a2，试问是否存在b1，2，使得数列xn和yn有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列zn；若不存在，说明理由解(1)由条件可得xn3n，yn4n5.令x29ym4m5，得m1，故x2是数列yn中的第1项令x481yk4k5，得k19，故x4是数列yn中的第19项(2分)由题意知，cn32n，由ck为数列yn中的第m项，则有32k4m5，那么ck132(k1)932k9(4m5)36m454(9m10)5，因9m10N*，所以ck1是数列yn中的第9m10项(8分)(2)设在1，2上存在实数b使得数列xn和yn有公共项，即存在正整数s，t使as(a1)tb，t，因自然数a2，s，t为正整数，asb能被a1整除当s1时，tN*，当s2n(nN*)时，当b1时，1(a)(a)2(a)2n1(a1)1a2a4a2n2N*，即asb能被a1整除此时数列xn和yn有公共项组成的数列zn；显然，当b2时，N*，即asb不能被a1整除当s2n1(nN*)时，t，由知，a2n1能被a1整除，若a2，则，故此时tN*，若a2，当且仅当ba2时，ab能被a1整除，此时tN*，此时数列xn和yn有公共项组成的数列zn综上所述，a2时，存在b=1或b=2，使得数列xn和yn有公共项组成的数列zn，且当b1时，数列zn4n(nN*)；当b2时，zn22n1(nN*)；a2时，存在b=1，使得数列xn和yn有公共项组成的数列zn，数列zna2n(nN*)(16分)【抢分秘诀】1求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性质，才能简化运算过程2数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解探究4：设数列an的通项公式为，数列bn的通项公式为bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*将集合AB中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，则cn的通项公式为_.解：因为 ， ； 所以 ， 即当时，；当，当时，当时， 所以的通项公式是即：三、反思提升四、反馈检测1. 已知数列，.（1）求证：数列为等比数列；（2）数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；（3）设，其中为常数，且，求.解：=，为常数数列为等比数列取数列的连续三项， ，即，数列中不存在连续三项构成等比数列； -9分当时，此时；当时，为偶数；而为奇数，此时；当时，此时；-12分当时，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。由得，设，则是上的减函数， 的解只有一个从而当且仅当时，即，此时；当时，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）从而当且仅当时，即，此时；综上，当，或时，；当时，当时，。 -16分2. 设数列an的各项都是正数，且对任意nN*都有a13a23a33an3Sn22Sn，其中Sn 为数列an的前n项和（1）求a1，a2；（2）求数列an的通项公式；（3）bn，cn，试找出所有即在数列bn中又在数列cn中的项解：（1）令n1，则a13 S132S1，即a13 a122a1，所以a12或a11或a10又因为数列an的各项都是正数，所以a12令n2，则a13a23 S222S2，即a13a23(a1a2)22(a1a2)，解得a23或a22或a20又因为数列an的各项都是正数，所以a23（2）因为a13a23a33an3Sn22Sn (1) 所以a13a23a33an13Sn122Sn1(n2) (2)由(1)(2)得an3( Sn22Sn)(Sn122Sn1)(SnSn1)( Sn Sn12)an( SnSn12)，因为an0,所以an2SnSn12 (3)所以an12Sn1Sn22(n3) (4) 由(3)(4)得an2an12anan1，即anan11(n3)，又a2a11，所以anan11(n2)所以数列an是一个以2为首项，1为公差的等差数列所以ana1(n1)dn1（3）Sn，所以bn,cn不妨设数列bn中的第n项bn和数列cn中的第m项cm相同，则bncm即，即1o 若，则n23n180，所以1n3，n1时,，无解；n2时，即52m5m532m3m3，所以2m4m4，m1,2,3,4时2m4m4；m5时,令f(m)2m4m4,则f(m1)f(m)2m40，所以f(m)单调增，所以f(m)f(5)80,所以2m4m4无解；n3时，即2m2m2，m1,2时，2m2m2；m3时，2m2m2；m4时，2m2m2；m5时，2m4m42m2所以，m3，n32o 若 ，即2m2m2由1知，当m3时，2m2m2。因此，当2m2m2时，m1或2当m1时，0无解，当m2时,无解综上即在数列bn中又在数列cn中的项仅有b3c3【说明】本题考查数列的综合运用 第