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数量关系 第五章向量代数与空间解析几何 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中 空间形式 点 线 面 基本方法 坐标法 向量法 坐标 方程 组 第一节向量及其线性运算 一 向量的概念 二 向量的加法与数乘运算 一 向量的概念 1 向量及其表示 向量 既有大小又有方向的量称为向量 vector 向量表示法 或a 自由向量 与起点无关的向量 负向量 向径 起点为原点的向量 以M1为起点 M2为终点的有向线段 与大小相等但方向相反的向量 2 两向量的夹角 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与 之间任意取值 3 向量的模 向量的大小或长度称为向量的模 norm 模长为1的向量 零向量 模长为0的向量 单位向量 4 相等向量 5 两向量平行 规定 零向量与任何向量平行 两向量平行 又称两向量共线 或线性相关 若k 3 个向量经平移可移到同一平面上 则称此k个向量共面 二 向量的加法与数乘运算1 向量加法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 向量的加法可推广到有限个向量相加 n个向量相加 三角形法则可推广到多个向量相加 向量加法符合下列运算律 1 交换律 2 结合律 例1试用向量方法证明 对角线互相平分的四边形必是平行四边形 证明 AD与BC平行且相等 结论得证 2 向量减法 三角不等式 3 向量与数的乘法 数乘 是一个数 与的乘积是一个新向量 记作 规定 总之 数与向量的乘积符合下列运算律 1 结合律 2 分配律 向量的加法及数乘运算合称为向量的线性运算 例2化简 解 4 与同向的单位向量 任何非零向量可以表为它的模与同向单位向量的数乘 思考 5 两个向量的平行关系 定理 此定理是建立数轴的理论依据 证明 取 0 即有 与同向取正 反向取负 两式相减 得 即 是唯一的 再证数 的唯一性 6 推论 例3在u轴上取定一点O作为坐标原点 设A B是u轴上坐标依次为u1 u2的两个点 是与u轴同方向的单位向量 证明 证明 同理 三 小结 向量
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