补充内容-Matlab及其应用

第七章Matlab及其应用 a Matlab简介b 优化问题的计算 无约束最优化问题 约束最优化问题 最小二乘优化问题 非线性方程的优化解 1Matlab简介 一 数学软件 1980年 Wolfram公司推出Mathematica软件 1982年 Mathwork公司推出了Matlab软件 同时Materloo大学推出Maple软件 这三大软件成为当今世界上最流行的数学软件 为解决现代科学计算 工程技术问题 生产经营管理问题提供了重要工具 Mathematica软件着重于符号运算 作图功能 Matlab软件着重于数值计算 模拟功能 二 Matlab介绍 Matlab Matrixlabboratory 的直接含义是矩阵实验室 最初为两个矩阵软件包 Linpack Eispack 提供接口技术 后来逐渐发展成为科技计算 视图交互系统和程序语言 Matlab明显不同于其他高级语言 Fortran语言 语言 它的编辑 编译 连接和执行四个步骤容为一体 利用MATLAB可以方便地处理诸如矩阵变换及运算 多项式运算 微积分运算 线性与非线性方程 组 求解 插值与拟合 常微分方程求解 偏微分方程求解 特征值问题 概率统计 优化计算等 已延伸到了许多领域 信号处理 神经网络 频率识别 鲁棒控制 小波分析 模糊逻辑等 Matlab作为高等学校有关课程的基本教学工具 例如 数学试验 数学建模 线性代数 数值分析 最优化方法 最优控制 数理统计学 数字信息处理 时间序列分析以及动态系统的仿真等课程均适宜应用Matlab作为教学工具 Matlab是国外大学本科生必须掌握的基本技能 在工程领域 Matlab已成为工程师进行设计 科研的强有力工具 三 使用Matlab需要注意的地方 在Matlab语言中 英文字母大小写要加以区别 和 代表不同的变量 所有的内部函数 外部函数名均由小写字母构成 如 inv a 有意义 而INV a 无意义 标识符 变量 函数 以字母打头 最多19个字符 help提供在线帮助 如调用helpfmin将显示内部函数fmin的内容 demo 内部函数 提供功能演示 在Matlab的Command空间中有一个菜单help 在其下拉菜单中有一个子菜单ExamplesandDermos 其中列出最优化方法的各种算例 path 内部函数 显示当前Matlab搜索路径 Matlab的特点 基本数据单位是矩阵或数组 且无需定义矩阵或数组的维数 易于扩展 允许用户自定义 文件 从而扩大内部函数的功能 Matlab易学易用 指令表达与数学习惯和工程中的常用习惯相似 窗口说明 例 对 进行一维搜索 初始搜索区间 0 1 函数的图像 程序设计 MATLAB实际上是一种解释性语言 可以通过人机交互式的命令行指令操作方式工作 还可以象C语言等其他高级计算机语言一样进行控制流的程序设计 具体做法是编制一种以m为扩展名的文件 简称为M文件 M文件的两种形式 命令式 函数式 后者应用广泛 下面是0 618法的函数式M文件 functionf Golden Section 一维搜索方法 黄金分割法 初始搜索区间 a b 和迭代精度epsilona 0 b 1 epsilon 0 001 delta a b b a alpha 1 b 0 618 delta a b alpha 2 a 0 618 delta a b f 1 exp alpha 1 alpha 1 2 f 2 exp alpha 2 alpha 2 2 whiledelta a b epsiloniff 1 f 2b alpha 2 alpha 2 alpha 1 f 2 f 1 delta a b b a alpha 1 b 0 618 delta a b f 1 exp alpha 1 alpha 1 2 elsea alpha 1 alpha 1 alpha 2 f 1 f 2 delta a b b a alpha 2 a 0 618 delta a b f 2 exp alpha 2 alpha 2 2 endendalpha 0 5 a b 在M edit窗口中编辑 将上述文件存为Golden section m 在命令窗口中输入Golden section 就会被执行 并给出结果 Golden sectio屏幕显示alpha 0 3517 例 输入两个三阶矩阵 在Matlab的命令窗口发布指令 a 123 456 789 屏幕显示 b 1478910111213 b 147 8910 111213 a 123456789 屏幕显示 例 也可以这样输入 a 123456789 b 1478910111213 屏幕显示 a 123456789b 1478910111213 例2矩阵的加 减 乘 在命令窗口发布指令 a 123 456 789 b 147 8910 111213 a b ans2610121416182022 则屏幕显示 在命令空间发布指令 x 2345 1221 y 011 110 001 100 z x y z 856333 则屏幕显示 矩阵的运算在命令窗口输入 A 21 31 3107 124 2 10 15 求A的行列式 det A 求A的逆 inv A 求A的特征值与特征向量 V D eig A A 21 31 3107 124 2 10 15 L U lu A 矩阵的LU分解 是矩阵分解中比较重要的一种 它在线性方程组的直接解法中有重要的应用 A LU 其中U是三角矩阵 屏幕显示 L 0 66670 14291 000001 0000000 0 33331 0000000 3333 0 14290 12001 0000 U 3 00001 000007 000002 33334 00000 333300 3 5714 3 71430003 1600 A 4 11 14 252 75 12 753 5 chol A 对称正定矩阵的Chollesky 乔列斯基 分解 它在结构有限元分析中有重要的应用 A LLT 其中L是上三角矩阵 屏幕显示 L 2 0000 0 50000 500002 00001 5000001 0000 例3在Matlab中 矩阵的除法用于解线性方程组 设Ax b 其中A为方阵 x为列向量 b为列向量 则指令为 x A b inv A b 即 设xA d 其中A为方阵 x为行向量 d为行向量 则指令为 x d A d inv A 即 在命令窗口输入 A 21 31 3107 124 2 10 15 b 10208 d b 例 多变量无约束优化的DFP拟牛顿法 已知 求A k 1 在命令窗口中输入 A k 21 15 delta g k 25 2 delta X k 3 1 A k 1 A k delta X k delta X k delta X k delta g k A k delta g k delta g k A k delta g k A k delta g k 进一步 求 已知A k 1 在命令窗口中输入 A k 21 15 delta g k 25 2 delta X k 3 1 A k 1 A k delta X k delta X k delta X k delta g k A k delta g k delta g k A k delta g k A k delta g k gradient k 5 12 S k 1 A k 1 gradient k 作业 1 已知 用MATLAB练习 2 分别求A B的转置 行列式 逆矩阵 特征值与特征向量 A和B矩阵的LR分解 A矩阵的乔列斯基分解 作业 2 用0 618法求函数 在区间 0 2 的极小点 精度 0 01 通过Matlab完成 2最优化问题的计算 一 无约束最优化问题 一元函数求极小点 内部命令fminbnd f a b 表示求一元函数f x 在区间 a b 内的极小点 其中f是在edit空间编辑的一个外部函数 m文件 所用算法 黄金分割法与多项式插值法 例1已知 解 自定义Matlab的外部函数 命名为f m functiony f x y 1 x 0 3 2 0 01 1 x 0 9 2 0 04 6 将上述函数文件f m存盘 进入Matlab的命令窗口 发布如下命令 x 0 0 2 1屏幕显示x 00 20000 40000 60000 80001 0000 y f x 屏幕显示y 5 176545 886847 448311 692317 846216 0000 发布如下命令 x 1 0 01 2 y f x plot x y 求函数在 0 5 1 的极小值 发布如下命令 xm fminbnd f 0 5 1 屏幕显示出f x 在0 5 1之间的一个极小点xm 0 6370 当求其极小值时 可发布命令 y f xm 屏幕显示其极小值 y 11 2528 求函数在 0 5 0 的极小值 发布如下命令 xm fminbnd f 0 5 0 屏幕显示出f x 在 0 5 0之间的极小点xm 0 5000 求函数在0 3 1 5 的极小值 发布命令 xm fminbnd f 0 3 1 5 屏幕显示xm 1 5000 外部函数f x 的定义 1 通过m文件定义 2 直接在命令行中定义 xm fminbnd 1 x 0 3 2 0 01 1 x 0 9 2 0 04 6 0 3 1 5 或通过inline直接定义函数 再用fminbnd求极小值 f inline 1 x 0 3 2 0 01 1 x 0 9 2 0 04 6 xm fminbnd f 0 5 1 0 xm 0 6370 内部命令fminsearch f x 表示求f x 在初始点x临近的极小点 可用于求一维和多维函数的极小点问题 fmins f x 算法 Nelder Mead简单算法 单纯形 法 主要思想 构造多面体 不断使其朝极小点移动 同时多面体的体积逐步减小 通过inline直接定义函数 再用fminsearch求x 0 5附近函数的极小值 f inline 1 x 0 3 2 0 01 1 x 0 9 2 0 04 6 xm fminsearch f 0 5 xm 0 6370 例2 x0 0 5 xm fminsearch x 3 sqrt x x0 xm 1 0000 f x 在x 0 5附近的极小点 xm f fminsearch x 3 sqrt x x0 xm 1 0000f 2 0000 给出极小点函数的值 多元函数求极小点 内部命令fminunc f x 表示求多元函数f x 在向量x附近的局部极小值 其中f是外部函数 算法构造中用到了目标函数的解析性质 如梯度或Hessian矩阵 类似拟牛顿法中的DFP法 BFGS法 可以求解规模较大的优化问题 收敛速度快 内部命令fminsearch f x 表示求f x 在初始点x临近的极小点 与上面命令比较 算法上有差别 例 x0 11 xm f fminunc 3 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 x0 xm 1 0000f 2 0000 给出极小点函数的值 例 为初始点 最优解为 演示程序 在Matlab的Comand空间中 选择菜单Help项中的子菜单Demos 即列出求解该香蕉函数的六种算法的演示图形 这六种无约束优化算法是 Steepest算法 Simplex算法 DFP算法 BFGS算法 Gauss Newton算法 Levenbrg Marguardt算法 香蕉函数 BananaFunction 解 在Edit空间编辑外部函数 取名fun1 mfunctiony fun1 x y 100 x 2 x 1 2 2 1 x 1 2 2 将m文件fun1存盘 在Comand空间调用fun1 x0 1 9 2 xm f fminunc fun1 x0 xm 1 00001 0000 f 1 1730e 010 Matlab在演示的过程中提到的六种算法的效果并不一样 从演示过程中可以看出 1 从初始点出发能全程达到极小点的算法有Simplex算法 DFP算法 BFGS算法和levenbrg Marguardt算法 2 从初始点出发只能搜索到中途的算法是Steepest算法 3 收敛速度快的是Gauss Newton算法 DFP算法 BFGS算法 练习 用Matlab求解 围内的极小点 在附近的极小点与极小值 二 约束最优化算例 线性规划算法 内部命令linprog f A b 表示求上述线性规划的最优解 其中f为线性规划的目标函数的价值系数 其中 例 解 在Edit空间编辑外部函数 取名fun2 mfunctionf fun2 x f 2 x 1 3 x 2 2 将m文件fun2存盘 在Comand空间调用fun2A 11 11 10 b 10 2 1 f 2 3 x linprog f A b x 6 00004 0000 fun2 x ans 5 6843e 014 2 非线性规划算法 内部命令constr fg x f为非线性规划的目标函数 g代表约束条件 x代表初始点 例 解 在Edit空间编辑外部函数 取名fun3 mfunction f g fun3 x f exp x 1 4 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 2 2 x 2 1 g 1 1 5 x 1 x 2 x 1 x 2 g 2 x 1 x 2 10 2 将m文件fun3存盘 在Comand空间调用fun3x 11 x constr fun3 x x 9 54741 0474 f g fun3 x f 0 0236 g 1 0e014 0 1110 0 1776 例5下界条件与上界条件 在例 中 若对决策变量x限定在某一区域内 如vlb x vub 其中vlb vub均为二维向量 则用如下语句 x constr fun3 x options vlb vub 在例 中增加条件x 0 则调用时应用如下命令 x 1 1 赋初值 options 阐述说明向量使用缺省值 vlb 0 0 赋下界 vub 无下界 x constr fun3 x options vlb vub 经 次迭代后 问题的解为 x 01 5000 f g fun3 x f 8 5000 g 0 10 例 等式约束和不等式约束在例 中加入等式约束 解 在Edit空间编辑外部函数 取名fun4 mfunction f g fun4 x f exp x 1 4 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 2 2 x 2 1 g 1 x 1 x 2 g 2 1 5 x 1 x 2 x 1 x 2 g 3 x 1 x 2 10 2 将m文件fun4存盘 在Comand空间调用fun4x 11 options 13 0 x constr fun4 x options x 1 22471 2247 f g fun3 x f 1 8951 g 0 0000 0 0000 8 5000 经 次迭代后的解 参数说明 options共有18个分量 包含了在优化程序中需要用到的所有参数 三 线性最小二乘问题 众所周知 已知实测数据用多项式 去拟合曲线 则问题归结为求超静定方程组Ax b 其中 Ax b的非常义解 最小二乘解 就是如下最小二乘问题的解 Matlab给出了非负的线性最小二乘问题的解法 内部函数为lsqnonneg A b A为超静定方程的系数矩阵 b为右端项 例 解超静定方程组 上述方程组的矩阵形式为Ax b 其中 解 在Command空间发布命令 A 24 3 5 12 21 b 11367 X lsqnonneg A b X 3 04031 2418 例 已知实测数据如下 试用一次 二次多项式拟合y f x x 1 00 0 75 0 50 0 2500 25