第4章-多自由度系统振动(d).ppt

多自由度系统振动 第四章 4 2020年4月21日 振动力学 2 教学内容 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统 多自由度系统振动 2020年4月21日 振动力学 3 多自由度系统的自由振动 固有频率模态模态的正交性主质量和主刚度模态叠加法模态截断法 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 2020年4月21日 振动力学 4 小结 固有频率 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 固有频率 M正定 K正定 主振动 正定系统 代入振动方程 有非零解的充分必要条件 特征方程 频率方程或特征多项式 最小的固有频率 为基频 自由振动的位移方程 主振动 代入 得 特征方程 2020年4月21日 振动力学 5 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态 特征值 特征向量 固有频率 模态 在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化 描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态 称为第i阶主振型 或第i阶模态 主振动仅取决于系统的M阵 K阵等物理参数 的任一非零列都是第i阶主振动 比较 因为有 小结 模态 特征值问题 2020年4月21日 振动力学 6 模态的正交性 主质量和主刚度 两式相减 转置右乘 左乘 若时 模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性 均满足 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 当i j时 第i阶模态主质量 第i阶模态主刚度 第i阶主模态 恒成立 2020年4月21日 振动力学 7 模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性 当i j时 主质量 主刚度 当时 利用Kronecker符号 第i阶固有频率 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 2020年4月21日 振动力学 8 主模态 多自由度系统 另一种模态 正则模态 定义 全部主质量皆为1的主模态 令 正则模态和主模态之间的关系 相对于的主刚度 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 2020年4月21日 振动力学 9 正则模态的正交性条件 主模态的正交性条件 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 2020年4月21日 振动力学 10 多自由度系统 主模态 将组成矩阵 模态矩阵 主质量矩阵 主刚度矩阵 正交性条件 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 对角阵 2020年4月21日 振动力学 11 推导 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 对角阵 2020年4月21日 振动力学 12 多自由度系统 正则模态 将组成矩阵 正则模态矩阵 单位矩阵 谱矩阵 正交性条件 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 2020年4月21日 振动力学 13 多自由度系统 特征值问题 依次取 得到的n个方程 可合写为 主模态正交性条件 左乘 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 2020年4月21日 振动力学 14 例 三自由度系统 模态矩阵 主质量矩阵 主刚度矩阵 Kp Mp非对角线项等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的 谱矩阵 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 2020年4月21日 振动力学 15 模态矩阵 主质量矩阵 主刚度矩阵 谱矩阵 正则模态和主模态之间的关系 正则模态矩阵 不难验证 有 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 2020年4月21日 振动力学 16 小结 模态的正交性 主质量和主刚度 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 正交性 主质量和主刚度 若时 模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性 当i j时 第i阶模态主质量 第i阶模态主刚度 第i阶固有频率 正则模态 全部主质量皆为1 正则模态和主模态之间的关系 相对于的主刚度 2020年4月21日 振动力学 17 模态叠加法 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 回顾 耦合与坐标变换 质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合 耦合的表现形式取决于坐标的选择 同一个系统选择两种不同的坐标X和Y有变换关系 坐标X下系统 坐标Y下系统 其中T是非奇异矩阵 2020年4月21日 振动力学 18 模态叠加法 表明它们是线性独立的 可用于构成n维空间的基 系统的任意n维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合 即系统的振动为n阶主振动的叠加 模态叠加法 物理坐标 主模态坐标 模态矩阵 坐标关系 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 19 另一种模态坐标 正则模态坐标 物理坐标 系统响应 正则模态矩阵 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 20 小结 多自由度系统 可采用两类模态坐标进行描述 主模态坐标 正则模态坐标 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 21 求解无阻尼系统对初始条件的响应 可分别采用两类模态坐标进行求解 首先采用主模态坐标 自由振动方程 坐标变换 主模态坐标 主模态矩阵 代入 并左乘 模态坐标初始条件 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 22 自由振动方程 坐标变换 在求得后 可利用式求得原系统的解 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 23 求解无阻尼系统对初始条件的响应 采用正则模态坐标 自由振动方程 坐标变换 正则模态坐标 正则模态矩阵 代入 并左乘 模态坐标初始条件 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 24 自由振动方程 坐标变换 在求得后 可利用式求得原系统的解 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 25 例 三自由度弹簧 质量系统 求 系统在初始条件下的响应 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 26 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 解 动力学方程 模态初始条件 正则模态矩阵 固有频率 2020年4月21日 振动力学 27 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态坐标响应 2020年4月21日 振动力学 28 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 原系统响应 2020年4月21日 振动力学 29 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 也可展开求解 合并后结果完全一样 2020年4月21日 振动力学 30 分析 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 第1阶模态响应 第2阶模态响应 第3阶模态响应 第1阶模态 第2阶模态 第3阶模态 2020年4月21日 振动力学 31 分析 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 系统响应为各阶模态响应的叠加 第1阶模态响应 第2阶模态响应 第3阶模态响应 第1阶模态 第2阶模态 第3阶模态 多自由度系统模态叠加法的本质原因 第1阶模态主振动 第2阶模态主振动 第3阶模态主振动 以w1为振动频率 以w2为振动频率 以w3为振动频率 决定各质量每一时刻位移的相对比值 2020年4月21日 振动力学 32 小结 模态叠加法 耦合 解耦 耦合 解耦 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 2020年4月21日 振动力学 33 随堂测试 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 如图所示量自由度系统 系统存在初始条件 试采用模态叠加法求解系统响应 2020年4月21日 振动力学 34 解 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 运动微分方程为 令主振动 或直接用 有 令 为求主振型 依次将代入 得到 即有模态矩阵 频率 根据 2020年4月21日 振动力学 35 模态叠加法 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态叠加法 回顾 耦合与坐标变换 耦合的表现形式取决于坐标的选择 同一个系统选择两种不同的坐标X和Y有变换关系 坐标X下系统 坐标Y下系统 其中T是非奇异矩阵 如果恰巧Y是主坐标 对角阵 这样的T物理上是否存在 2020年4月21日 振动力学 36 解 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 运动微分方程为 有模态矩阵 频率 坐标变换 模态空间的初始条件为 系统存在初始条件 2020年4月21日 振动力学 37 解 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 运动微分方程为 有模态矩阵 频率 模态空间的初始条件为 所以有 2020年4月21日 振动力学 38 模态截断法 对自由度数n很大的复杂振动系统 不可能求出全部的固有频率和相应的主振型 然后用模态叠加法分析系统对激励的响应 当激励频率主要包含低频成分时 可以撇去高阶振型及固有频率对响应的贡献 而只利用较低的前面若干阶固有频率及主振型近似分析系统响应 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态截断法或振型截断法 截断前 截断后 2020年4月21日 振动力学 39 n自由度系统 将前r阶模态中组成的截断模态矩阵记为 截断的主质量矩阵和主刚度矩阵 截断前 主质量 主刚度 截断后 分别为前r个主质量和主刚度排成的r阶对角矩阵 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态截断法 2020年4月21日 振动力学 40 分别为前r个主质量和主刚度排成的r阶对角矩阵 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 刚度阵同此 2020年4月21日 振动力学 41 截断后的主质量矩阵 截断后的主刚度矩阵 系统的任意n阶振动近似地表示为截断后的r阶模态和线性组合 截断后的主坐标列阵 利用模态截断法可将n自由度系统原有的n个坐标变换成较少的前r个主坐标 多自由度系统振动 多自由度系统的自由振动 模态截断法 2020年4月21日