2019-2020学年大庆市实验中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆市实验中学高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】化简集合与,可知中的元素都在中,即可确定集合与集合的关系.【详解】因为当时,为整数,为奇数,所以.故选:C【点睛】本题考查对集合描述法的理解,判断两个集合间的包含关系,属于基础题.2若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质,结合单调性及特殊值即可判定选项.【详解】因为对于A,当时, 所以A错误;对于B,当时, 为单调递减函数,所以时,所以B错误;对于C,由换底公式可知,当时,所以,即,所以C正确;对于D,因为,所以单调递减,而,所以,所以D错误.综上可知,C为正确选项.故选C【点睛】本题考查指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质的综合应用,函数值大小比较,属于基础题.3已知，则的值构成的集合是（ ）ABCD【答案】C【解析】对分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.【详解】为偶数时，；为奇数时，则的值构成的集合为.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.4幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，连结，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有，那么（）A0B1CD2【答案】A【解析】先根据题意结合图形分别确定的坐标，然后分别代入中求得的值，最后再求出的值，即可得出答案【详解】因为，点，所以分别代入中，所以故选A【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力，是基础题5已知，则（ ）ABCD或【答案】B【解析】联立,求出,再根据,确定的正负,得出具体结果,从而求出.【详解】或,故选:B.【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系,需要学生熟练掌握函数关系式,属于简单题.6若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）.A30B60C120D150【答案】C【解析】利用向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】.设向量与向量的夹角为则.又，所以，故选：C.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、求向量的模，属于基础题.7对于函数，在使恒成立的式子中，常数的最小值称为函数的“上界值”，则函数的“上界值”为（ ）A2B2C1D1【答案】C【解析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.【详解】令 则 故函数的“上界值”是1；故选C【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.8设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由奇偶性的定义判断出为偶函数,再由单调性的性质判断出在上单调递增,从而可以将等价转化为,解该不等式即可.【详解】的定义域为,关于原点对称,又,所以为偶函数,又当时,在上单调递增,即解得,故选:C.【点睛】本题利用函数单调性与奇偶性解不等式,需要学生对函数性质的应用十分熟悉,能正确转化不等式是解题关键.9如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）ABCD【答案】A【解析】【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，设=所以当时，上式取最小值 ，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示同时利用向量共线转化为函数求最值10关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增f(x)在有4个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是ABCD【答案】C【解析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案【详解】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述， 正确，故选C【点睛】画出函数的图象，由图象可得正确，故选C11已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）A50B2C0D【答案】C【解析】利用是定义域为的奇函数可得：且，结合可得：函数的周期为；再利用赋值法可求得：，问题得解.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以且又所以所以所以函数的周期为， 在中，令，可得：在中，令，可得：在中，令，可得：所以故选C【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题12已知函数，则函数的零点个数是（ ）A3B4C5D6【答案】B【解析】令,则的零点个数问题等价于的根的个数问题,作出与的图像,可知二者交于两点,且其根,再结合图像可知有两解,有两解,即函数有4个零点.【详解】令,则的零点个数问题等价于的根的个数问题,即的根的个数问题,即与的图像交点个数问题,如下图所示,作出与的图像, 可知二者交于两点,则的根,结合图像可知有两解,有两解,综上,函数有4个零点,故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,着重于用数形结合法解零点个数问题.解决此类问题的关键是要将题设条件转化为简单函数图像的交点问题,再以此求解.二、填空题13大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是_.【答案】【解析】依据题意,将代入即可得出答案.【详解】当时,故答案为:.【点睛】本题主要考查对数运算,属于基础题.14已知，则的值是_.【答案】0【解析】根据已知角和未知角的关系，用诱导公式求值【详解】故答案为：0【点睛】本题考查诱导公式，在三角函数的化简求值问题中，要观察已知角和未知角的关系，由这个关系确定选用的公式进行化简计算15如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，分别与交于，两点，用向量，表示向量，则_.【答案】【解析】在平行四边形中,因为点是边的中点,所以可以证明,且相似比为,从而证明出是的三等分点,同理也是的三等分点,进而可以利用向量的三角形法则求出.【详解】在平行四边形中,且相似比为,即是的三等分点,同理也是的三等分点,故答案为:.【点睛】本题考查了向量三角形法则的应用,结合了平面几何的知识,难度不大.16函数的图像与函数的图像的所有交点为，则_【答案】【解析】如下图，画出函数 和 的图象，可知有4个交点，并且关于点 对称，所以 ， ，所以 .【点睛】本题考查了函数图像的应用，是高考热点，当涉及函数零点个数时，可将问题转化为两个函数图像的交点个数，或是多个零点和的问题，那就需观察两个函数的函数性质.，比如对称性等，帮助解决问题.三、解答题17已知函数.（1）若点在角的终边上，求，和的值；（2）若，求的最值以及取得最值时的值.【答案】（1），.（2）时，取得最小值-1，时，取得最大值2.【解析】(1)根据任意角的三角函数定义即可求出,从而求出;(2)根据的范围求出的范围,再根据余弦函数的性质即可得出答案.【详解】(1)点在角的终边上,;(2),当即时,取得最小值,当即时,取得最大值2.【点睛】本题考查了任意角的三角函数,考查了余弦函数的性质应用,属于中档题.18已知全集U=R，集合 ，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）； （2）【解析】由题意可得,（1）当时，结合交集的定义计算交集即可；（2）由题意可知.分类讨论和两种情况即可求得实数p的取值范围.【详解】因为，所以,（1）当时，所以,（2）当时，可得.当时，2p-1p+3，解得p4，满足题意； 当时，应满足或 解得或； 即或. 综上，实数p的取值范围【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递减.（1）求函数的解析式；（2）讨论的奇偶性.（直接给出结论，不需证明）【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)由幂函数在上单调递减,可推出(),再结合为偶函数,即可确定,得出结论;(2)将代入,即可得到,再依次讨论参数是否为0的情况即可.【详解】(1)幂函数在区间上是单调递减函数,解得,或或.函数为偶函数,;(2),当时,既是奇函数又是偶函数;当,时,是奇函数;当,时,是偶函数;当,时,是非偶非偶函数.【点睛】本题主要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用,学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用.20函数的一段图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，且图象关于原点对称.（1）求的解析式并求其单调递增区间；（2）求实数的最小值，并写出此时的表达式；（3）在（2）的条件下，设，关于的函数在区间上的最小值为-2，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为.（2）最小值为.（3）【解析】(1)利用图像可直接确定的值,再代入图像上的点,求出,即可得到,再用整体法求出单调区间;(2)由题意可知,得到的解析式,再结合图像关于原点对称,可得出结论;(3)依题设得,可知其图像过原点,又其在区间上的最小值为-2,可知区间的区间长度大于或等于,据此列出不等式即可求解.【详解】(1)由图象可知,当时,.令(),解得:(),的单调递增区间为.(2)的图象向右平移个单位长度,得到,图象关于原点对称,的最小值为,;(3),在区间上的最小值为-2,即,的取值范围是.【点睛】本题考查三角函数图像与性质的综合运用,要求学生对其图像性质相当熟悉且能灵活运用.在代点求时,最好代入最值点,若代入的不是最值点,要注意区分该点位于增区间还是减区间上,其对应的值也不同.21已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【答案】（1）（2）【解析】(1)由偶函数定义,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为对恒成立,因此设,求出其在上的最小值即可得出结论.【详解】(1)函数 是偶函数.,.(2)由(1)知,不等式即为,令,则,又函数在上单调递减,所以,的取值范围是.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.22对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”（1）若函数是“型函数”，且，求出满足条件的实数对；（2）已知函数函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，若对任意时，都存在，使得，试求的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】（1）利用定义，直接判断求解即可（2）由题意得，g（1+x）g（1x）4，所以当时,，其中, 所以只需使当时，恒成立即可，即在上恒成立，若，显然不等式在上成立，若，分离参数m，分别求得不等式右边的函数的最值，取交集即可得到m的范围.【详解】（1）由题意，若是“(a,b)型函数”，则,即, 代入得 ，所求实数