插值计算与插值多项式ppt课件.ppt

第6章插值计算与插值多项式 Lagrange插值 含线性插值 抛物插值 n次Lagrange插值公式 牛顿 Newton 插值及余项 差商的定义与性质 埃尔米特 Hermite 插值公式及余项 等距节点的多项式插值 分段低次多项式插值 三次样条插值 1 插值问题描述 设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值 插值问题 根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式 以便于计算点的函数值 或计算函数的一阶 二阶导数值 2 y f x y p x 简单的说 插值的目的就是根据给定的数据表 寻找一个解析形式的函数p x 近似代替f x 3 6 1插值法的数学描述设函数y f x 在区间 a b 上连续 是 a b 上取定的n 1个互异节点 且在这些点处的函数值为已知 即若存在一个f x 的近似函数 满足则称为f x 的一个插值函数 f x 为被插函数 点xi为插值节点 R x 称为插值余项 区间 a b 称为插值区间 插值点在插值区间内的称为内插 否则称外插 4 插值的几何意义 5 6 2拉格朗日 Lagrange 插值为了构造满足插值条件 i 0 1 2 n 的便于使用的插值多项式P x 先考察几种简单情形 然后再推广到一般形式 6 2 1线性插值与抛物插值 1 线性插值线性插值是代数插值的最简单形式 假设给定了函数f x 在两个互异的点 的值 现要求用线性函数近似地代替f x 选择参数a和b 使 称这样的线性函数P x 为f x 的线性插值函数 6 线性插值 线性插值多项式 7 由直线两点式可知 通过A B的直线方程为它也可变形为显然有 8 记 可以看出 的线性组合得到 其系数分别为 称为节点 的线性插值基函数 9 线性插值基函数 满足下述条件 并且他们都是一次函数 注意他们的特点对下面的推广很重要 于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 10 例6 1已知 求 解 这里x0 100 y0 10 x1 121 y1 11 利用线性插值 11 例6 2已知y f x 的函数表求线性插值多项式 并计算x 1 5的值 X13y12 解 由线性插值多项式公式得 12 这就是二次插值问题 其几何意义是用经过3个点的抛物线近似代替曲线 如下图所示 因此也称之为抛物插值 2 抛物插值抛物插值又称二次插值 它也是常用的代数插值之一 设已知f x 在三个互异点x0 x1 x2的函数值y0 y1 y2 要构造次数不超过二次的多项式 使满足二次插值条件 13 抛物插值函数 因过三点的二次曲线为抛物线 故称为抛物插值 14 为了与下一节的Lagrange插值公式比较 仿线性插值 用基函数的方法求解方程组 先考察一个特殊的二次插值问题 求二次式 使其满足条件 这个问题容易求解 由上式的后两个条件知 是的两个零点 于是 再由另一条件确定系数 从而导出 15 P x 的参数直接由插值条件决定 即满足下面的代数方程组 该三元一次方程组的系数矩阵 的行列式是范德蒙行列式 当时 方程组的解唯一 16 类似地可以构造出满足条件 的插值多项式 及满足条件 的插值多项式 这样构造出来的称为抛物插值的基函数 取已知数据作为线性组合系数 将基函数线性组合可得 容易看出 P x 满足条件 17 例6 3已知x 1 4 9的平方根值 用抛物插值公式 求 x0 x1 x0 x2 x x1 x x2 y0 x1 x0 x1 x2 x x0 x x2 y1 x2 x0 x2 x1 x x0 x x1 y2 p2 7 x0 1 x1 4 x2 9 y0 1 y1 2 y2 3 1 4 1 9 7 4 7 9 1 4 1 4 9 7 1 7 9 2 9 1 9 4 7 1 7 4 3 2 7 p2 x 18 例6 4已知函数y f x 在节点上满足xx0 x1x2yy0y1y2求二次多项式p x a0 a1x a2x2使之满足p xi yii 0 1 2解 用待定系数法 将各节点值依次代入所求多项式 得 解上述方程 将求出的a0 a1 a2代入p x a0 a1x a2x2即得所求二次多项式 19 我们看到 两个插值点可求出一次插值多项式p1 x 而三个插值点可求出二次插值多项式p2 x 当插值点增加到n 1个时 我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式pn x 如下所示 已知n 1个节点处的函数值 求一个n次插值函数 满足 6 2 2拉格朗日插值多项式 20 构造各个插值节点上的基函数满足如下条件 21 与推导抛物插值的基函数类似 先构造一个特殊n次多项式的插值问题 使其在各节点上满足 即 由条件 知 都是n次的零点 故可设 22 其中为待定常数 由条件 可求得 于是 代入上式 得 称为关于基点的n次插值基函数 i 0 1 n 23 以n 1个n次基本插值多项式为基础 就能直接写出满足插值条件的n次代数插值多项式 事实上 由于每个插值基函数都是n次值多项式 所以他们的线性组合 是次数不超过n次的多项式 称形如上式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式 并记为 24 例6 5求过点 0 1 1 2 2 3 的三点插值多项式 解 由Lagrange插值公式 给定的三个点在一条直线上 25 例6 6已知f x 的观测数据x0124f x 19233构造Lagrange插值多项式 解四个点可构造三次Lagrange插值多项式 基函数为 26 Lagrange插值多项式为 为便于上机计算 常将拉格朗日插值多项式可改写成 27 例6 7已知f x 的观测数据 x1234f x 0 5 63 构造插值多项式 解 四个点可以构造三次插值多项式 将数据代入插值公式 有 这个例子说明p x 的项数不超过n 1项 但可以有缺项 28 x0 x1xixi 1xn 1xn y f x y p x a b 在插值区间 a b 上用插值多项式p x 近似代替f x 除了在插值节点xi上没有误差外 在其它点上一般是存在误差的 若记R x f x p x 则R x 就是用p x 近似代替f x 时的截断误差 或称插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小 6 2 3插值多项式的误差 29 定理设f x 在 a b 有n 1阶导数 x0 x1 xn为 a b 上n 1个互异的节点 p x 为满足p xi f xi i 1 2 n 的n次插值多项式 那么对于任何x a b 有插值余项 其中 a b且依赖于x 30 0 使得 x a b 由于 x 一般无法确定 因此式R x 只能用作余项估计 如果 在区间 a b 上有界 即存在常数 则有余项估计 31 对于线性插值 其误差为对于抛物插值 二次插值 其误差为 32 例6 8已知 100 121 用