弹性与塑性力学基础-第4章广义虎克定律和弹性力学解题.ppt

弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 1应力与应变关系的提出4 1 2虎克定律4 1 3波桑比4 1 4广义虎克定律 4 2基本方程4 2 1弹性阶段本构关系4 2 2平衡方程4 2 3几何方程4 2 4本构方程 4 3边界条件4 3 1边界问题类型4 3 2位移边界问题4 3 3应力边界问题4 3 4混合边界问题 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 1问题的提出弹性力学问题中 物体的受力与变形情况 需用15个变量来描述 即 6个应力分量 3个位移分量 6个应变分量 已学的基本方程 9个 包括 变形体的平衡微分方程 微元体的力平衡 3个 几何方程 应变 位移关系 6个 未知变量的个数 15 多于方程数 9 必须研究受力物体的应力与应变之间的关系 物理方程 对于弹性问题 即广义虎克定律 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 2虎克定律1 单向拉伸 压缩 材料的应变小于弹性比例极限时 应力和应变之间的关系是线弹性的 两者之间满足虎克定律 其表达式如下 拉伸或压缩方向 x x与拉伸或压缩垂直的方向 y z x式中 弹性模量 泊松比2 纯剪 在小变形情况下 由实验可知 正应力与剪应变无关 剪应力与正应变无关 剪应力与剪应变的关系为 xy G xy式中 G 剪切模量 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律3 平面应力状态 对于各向同性的均匀材料 根据实验结果 在小变形的情况下 正应力和剪应变没有关系 而剪应力只与剪应变有关 且应力的叠加原理是适用的 平面双向拉 压 应力纯剪应力状态 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律3 平面应力状态 由于应力 x的作用 x方向应变为y方向应变为由于应力 y的作用 y方向应变为x方向应变为 弹性与塑性力学基础 同时有 x和 y作用在x方向及y方向的应变为 4 3 平面应力时的虎克定律 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律3 平面应力状态 在 x和 y作用下 z方向的应变 z x y E在剪应力作用下 X Y平面内的剪应变与纯剪时相同 即 式中 为剪切弹性模量 弹性与塑性力学基础 纯剪应力状态 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 3广义虎克定律用相同的方法 可以导出三维应力状态下的各向同性均匀材料的广义虎克定律 其形式为 4 4 各向同性均匀材料的含义 即材料内部各处的不同方向具有相同的 E G值 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 4广义虎克定律的不同形式将式 4 4 的前三式左右两边相加后 则有如令则上式可写为或 4 5 4 5 表明 弹性变形时 体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比 而与应力偏量无关 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 4广义虎克定律的不同形式引入以上表达式后 广义虎克定律又可写为 4 6 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 4广义虎克定律的不同形式由式 4 6 及式 4 5 可得即 式中 ex x 0为应变偏量分量 为应力偏量分量 用相同的方法 可得 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 4广义虎克定律的不同形式因此 弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的 因为 4 7 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合 注意 应力或应变球张量对应力主轴或应变主轴无影响 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 3广义虎克定律的不同形式各向同性体的虎克定律 4 4 是以应力表示应变 在求解某些问题时 有时需要用应变表示应力关系 将式 4 4 第一式作如下改变即得式 4 6 的第一式利用式 4 5 便可得由上式可得 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 1广义虎克定律4 1 3广义虎克定律的不同形式如引用 并注意到则有用相同的方法可以求出其他的关系式 归纳如下 4 8 称为拉梅 Lam 弹性常数 用体积应变表示应力时则有 4 9 如令 则式 4 9 可写成 K 体积弹性模量 4 9 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 2基本方程4 2 1弹性阶段本构关系在弹性问题中 本构关系即广义虎克定律 6个方程 4 2 2平衡方程 3个方程 4 10 或 4 10 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 2基本方程4 2 3几何方程 应变 位移关系 6个方程 4 11 或 4 11 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 2基本方程4 2 3几何方程由应变位移关系导出的应变协调方程 4 12 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 2基本方程4 2 4本构方程弹性阶段本构关系为广义虎克定律 4 13 或 4 13 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 2基本方程4 2 4本构方程如用应变表示应力 则有 4 14 或 4 14 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 3边界条件解弹性力学问题时 除利用上述方程外 还应针对具体问题给出弹性体表面上的边界条件作为补充条件 方可求出定解 4 3 1边界问题类型三类 位移边界问题 应力边界问题 混合边界问题1 位移边界问题物体在全部边界上位移分量已知 如平面问题位移边界条件为 其中 us和vs是位移的边界值 和在边界上是坐标的已知函数2 应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知的 面力分量在边界上是坐标已知函数 把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件 即为应力边界条件 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 3边界条件2 应力边界问题 平面问题 由平衡微分方程采用的正平行六面体 到物体的边界上 将成为三角形或三棱柱 它的斜面AB与物体的边界重合 平面问题如图所示 用N代表边界面AB的外法线方向 并令N的方向余弦为几何尺寸 设边界面AB的长度为dS 则有 PA ldS PB mdS 垂直于XOY面方向的尺寸仍取一个单位 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 受力平衡图 4 3边界条件2 应力边界问题 平面问题 由平衡条件 FX 0得略去含dS2的高阶微量项 得其中 X s和 yx s是应力分量边界值 由 FY 0 可得另一相似方程 边界各点应力分量与面力分量关系 4 16 4 16 式即为平面问题应力边界条件 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 受力平衡图 4 3边界条件2 应力边界问题 平面问题 考虑第三个平衡条件 M 0 有特例 垂直于x轴的边界上 l 1 m 0 应力边界条件简化为垂直于y轴的边界上 l 0 m 1 应力边界条件简化为即 应力分量边界值等于对应面力分量 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 受力平衡图 4 3边界条件2 应力边界问题注意 1 垂直于x轴边界上应力边界条件中并没有 y 2 垂直于y轴边界上应力边界条件中并没有 x由此可见 平行于边界的正应力 其边界值与面力分量并不直接相关 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 受力平衡图 4 4边界条件3 混合边界问题部分边界具有位移边界条件 部分边界则具有应力边界条件 混合边界条件 同时存在位移边界条件和应力边界条件 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 混合边界问题实例 a 连杆支承边 x轴 b 齿槽边界 x轴 4 4边界条件垂直于x轴的边界 l 1 m 0 是连杆支承边 图a x方向 位移边界条件 y方向 应力边界条件 垂直于x轴边界是齿槽边 图b x方向 应力边界条件 y方向 位移边界条件 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题弹性力学问题的求解方法 a 位移法 b 应力法 位移法 取位移分量为基本未知变量 利用基本方程和边界条件 求解弹性力学问题 应力法 取应力分量为基本未知变量 利用基本方程和边界条件 求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本步骤 利用几何方程用位移表示应变 代入本构方程 得到用位移表示的应力分量 代入平衡微分方程 得出关于位移的方程式 利用边界条件 求解关于位移分量的方程组 得出位移分量 代入几何方程 求出应变分量 代入本构方程 求出应力分量 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 用位移表示应变的几何方程 用应变表示应力的本构方程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 代入 得 A 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程将 A 式表示的各应力分量代入平衡微分方程 由第1式 得 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程因为 所以 上式可变为 B 1 B 1 式中 2称为拉普拉斯算子 为体积应变 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程用同样的方法 可得另外两相似的表达式 因此 有 B1 B2 B3 至此 15个基本方程均已被利用1次 得到了关于位移分量的3个方程式 B1 B3 再利用边界条件 即可由求解出位移分量u v w 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程边界条件的应用 1 若边界条件为位移边界条件 即已知物体表面的位移 则由方程B1 B3和直接应用边界条件 即可求解出u v w 2 若在物体表面给定的是面力条件 即为应力边界条件时 则必须进行适当变换 即利用虎克定律 应变表示应力的形式 和应力边界条件表达式 将物体表面的面力条件与位移分量的边界值联系起来 由 虎克定律 应力边界条件 几何方程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 4按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程可得 由上述边界条件和方程B1 B3 即可求解出u v w 求出6个应变分量求出6个应力分量 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 4 5按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 利用广义虎克定律 得到用应力分量表示的协调条件 将平衡微分方程代入协调条件 化简方程组 得出满足平衡微分方程的协调条件 利用边界条件 求解关于应力分量的方程组 得出各应力量 利用广义虎克定律 求各应变分量 代入几何方程 求位移变分量 4 5按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 利用广义虎克定律 消去协调条件中的应变分量 用应变分量表示的协调条件 4 5按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 用应力分量表示的协调条件 4 21 4 5按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 将 4 21 中的第一式与第三式相加 利用平衡微分方程 可得 即 4 5按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 用同样的方法 可得 即有 4 22 4 5按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法 将 4 22 中三式相加 得 4 23 再将 4 23 中的代入 4 22 可得 用同样的方法 可得另外两个类似的方程 4 24 A 4 5按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性力学基础 第四章广义虎克定律和弹性力学解题的基本