抽象代数模拟试卷(答案).docx

抽象代数考试模拟试卷（答案）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分。 题 号一二三四五六七八九十总 分得 分评阅人 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。得分一、判断和计算题（共10分）判断下列代数结构是否为群，并计算群中每个元素的阶： 1） N6, +6 2） N60， 6 答： N6, +6 是群，（7分）元素012345阶163236 N60， 6 不是群。（3分）学号： 姓名： 学院： 年级： 专业： - 密 封 线 -得分二、证明题（共10分）证明两个群 G1, + 与 G2, * 的积代数G1G2, 是群。答：设G1的幺元为e1，G2的幺元为e2。对任意， 是G1G2的幺元。（3分）运算是可结合的。（4分），每个元素存在逆元。（3分）故G1G2, 是群。得分三、计算题（共10分）设，求a、b和ab在对称群S6中的阶。答：a的阶是4；（3分）b的阶是6；（3分）的阶是6。（4分）得分四、证明题（共10分）设G是群，且HKG。证明：若HvG，KvG，则K/HvG/H。证明：易证HvK。（2分）对任意aHG/H， kHK/H，有 （3分）因为aka1K，所以，。（3分）故K/HvG/H。（2分）得分五、证明题（共10分）若A和B为环的子环，证明AB也是的子环。证明：显然，。（2分）对任意，因，则有；（3分）因，则有；（3分）因，则有；（2分）故AB是的子环。学号： 姓名： 学院： 年级： 专业： - 密 封 线 -得分六、计算题（共10分）x2+ x + 1是上的2次不可约多项式。求域的阶和域中元素x+1的乘法阶。答：的阶为 （4分）（6分）元素x+1的乘法阶为5。得分七、证明题（共10分）证明域Q(i)与域同构。证明：，定义映射。显然f是Q(i)到的双射。（2分）（4分）即（4分）故f是同构映射。得分八、应用题（共10分）画出格S30，D和S45，D的哈斯图。指出其中的有补格和分配格。答：S30，D和S45，D的哈斯图：（4分）S30，D是有补格和分配格。（4分）S45，D是分配格。（2分）得分九、证明题（共10分）证明在任何布尔代数中下述结论成立： a = b ( a * b ) ( a * b ) = 0证明：1）a = b ( a * b ) ( a * b ) = 0( a * b ) ( a * b ) = ( a * a ) ( a * a ) = 0（2分）2) ( a * b ) ( a * b ) = 0 a = b ( a * b ) ( a * b ) = 0 a * b = 0 且 a * b = 0（2分）因（3分） （3分）故a = b。学号： 姓名： 学院： 年级： 专业： - 密 封 线 -得分十、证明题（共10分）设是分配格，a,bL。设X = x| xL 且 a*bxaY = y| yL 且 byab且令：f(x) = xb ,xX。证明：1）X，Y是L的子格； 2）f是X到Y的同构映射。答： 对任意x1, x2X, x1a , x2a x1*x2x1x2aa*bx1, a*bx2, a*bx1*x2x1x2即x1*x2X，x1x2X所以X是L的子格。（2分） 对任意y1, y2Y, 同理可证Y是L的子格。y1ab , y2ab y1*y2x1x2abby1, by2, by1*y2y1y2即y1*y2Y，y1y2Y。（2分） 对任意xX, a*bxa，xbab，xb(a*b) bb，即xbY。 f是X到Y的单射函数。对任意yY, 因by, 有a*by*aa, f(y*a)=(y*a)b=(yb)*(ba)=y*(ba)=y即f是满射, 所以，f是双射函数。（2分） 对任意x1, x2X, 因为f(x1*x2)=(x1*x2) b=(x1b) * (x2