三重积分的概念与计算.ppt

3三重积分的概念与计算 三重积分的概念三重积分的计算三重积分的变量替换含参变量积分 一 三重积分的概念 分割 求和 取极限 近似 可得 大化小 常代变 近似和 求极限 三重积分的性质与可积函数类同二重积分 二 三重积分的计算 特殊分割 用分别平行于3个坐标面的平面将空间区域分割 1 直角坐标下的计算 直角坐标系中将三重积分化为累次积分 a b c d z g z e N M P a b c d e g I 积分区域是长方体 D 同理 也有其它积分顺序 1 计算三重积分 z2 x y 为图示曲顶柱体 I P N M 积分区域是曲顶柱体 D z1 x y 2 计算三重积分 这就化为一个定积分和一个二重积分的运算 解 的上底与下底分别为 投影区域为D 如图所示 6 2 4 1找出上顶 下底及投影区域2画出投影区域图 Dxy y 0 3x y 6 3x 2y 12围成 z 0 不画立体图做三重积分 Dxy 6 6 6 x y z 6 3x y 6 2 6 6 6 x y z 6 3x y 6 2 3x y 6 3x 2y 12 x y z 6 6 6 6 4 2 3x y 6 3x 2y 12 x y z 6 6 6 6 4 2 4 2 x y z 6 6 6 6 4 2 6 6 6 D 6 2 4 D 1 x y 1 1 z xy 例3 1 x y 1 1 z xy 例3 1 1 x y 1 z xy 例3 c1 c2 z Dz 3 计算三重积分的另一思路 对有的问题适用 先做二重积分 后做定积分 c1 c2 先做二重积分 后做定积分 3 计算三重积分的另一思路 对有的问题适用 c1 c2 I 先做二重积分 后做定积分 3 计算三重积分的另一思路 对有的问题适用 c1 c2 先做二重积分 后做定积分 I 3 计算三重积分的另一思路 对有的问题适用 解 截痕 园 抛物线 的面积 Mon Apr 26Review 三重积分的概念 三重积分的直角坐标计算 解 分析 解 4 三次积分法 设区域 投影法 利用投影法结果 把二重积分化成二次积分即得 得 注意 例7 计算三重积分 解 用 先二后一 解 hw p1811 1 3 2 6 1 3 三 三重积分的变量替换 类似二重积分的变量替换 M r z z r N x y z x y z r z z z 1 柱坐标下计算三重积分 规定 柱面坐标与直角坐标的关系为 z 动点M r z 柱面S r 常数 平面 z 常数 M r S z 柱面坐标的坐标面 动点M r z 半平面P 柱面S 常数 r 常数 平面 z 常数 z M r S P 柱面坐标的坐标面 dr r rd d z 元素区域由六个坐标面围成 半平面 及 d 半径为r及r dr的园柱面 平面z及z dz 柱面坐标下的体积元素 dr r rd d z 底面积 rdrd 元素区域由六个坐标面围成 半平面 及 d 半径为r及r dr的园柱面 平面z及z dz dz 柱面坐标下的体积元素 dr r rd d z 底面积 rdrd 元素区域由六个坐标面围成 半平面 及 d 半径为r及r dr的园柱面 平面z及z dz dz dV 柱面坐标下的体积元素 dV 如图 三坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 解 知交线为 解 可用柱坐标 Wed Apr 10Review 三重积分的概念 三重积分的直角坐标计算 1 三重积分的柱坐标计算 解 解 在柱面坐标系下 原式 或 解 Hw p1823 M r r P y x z 2 球坐标下计算三重积分 球面坐标与直角坐标的关系为 S r M r 常数 常数 球面S 动点M r 球面坐标的坐标面 球面坐标的坐标面 C r 常数 常数 S 球面S 半平面P 动点M r M P 常数 锥面C r dr d rsin 圆锥面 rd 球面r 圆锥面 d 球面r dr 元素区域由六个坐标面围成 d rsin d 球面坐标下的体积元素 半平面 及 d 半径为r及r dr的球面 圆锥面 及 d r dr d x z y 0 d rd 元素区域由六个坐标面围成 rsin d 球面坐标下的体积元素 半平面 及 d 半径为r及r dr的球面 圆锥面 及 d r2 sin drd d sin drd d r2 rcos dV dV 球面坐标系中的体积元素为 解 解 作广义球坐标变换 利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意 积分区域关于坐标面的对称性 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 奇偶性 解 积分域关于三个坐标面都对称 三重积分的变量替换 Wed Apr 18Review 柱坐标下三重积分的计算 体积元 球坐标下三重积分的计算 体积元 解 a b 例6 b a 问题 2要不要分块 3怎么分块 把图形放大一些 把图形放大一些 1用哪种坐标 球系 例6 b a 联立 r 2acos r b 交