9讲：ch4-1消元法

第四章线性方程组的直接解法 线性方程组的直接解法 消元法的一般理论 主元素消去法的理论与程序 三角分解法的理论 平方根与改进的平方根法 误差估计与余项分析 向量和矩阵的定义 矩阵的基本运算 矩阵加法 矩阵与标量的乘法 矩阵与矩阵的乘法 转置矩阵 单位矩阵 奇异和非奇异矩阵 矩阵的行列式 按照行或列展开 行列式的基本性质 预备知识 特殊矩阵 对角矩阵 三对角矩阵 上三角矩阵 对称矩阵 A的转置 A Hermite矩阵 A的共轭转置 A 对称正定矩阵 A的转置 A 且对任何非零X 有X的转置 A X 0 正交矩阵 A的逆等于A的转置 初等置换阵 预备知识 设有线性方程组 如何求解方程组 一 问题的提出 本章假设 方程组的解存在唯一 即系数行列式 优点 收敛 稳定 结论可靠 缺点 计算量过大 二 方程组的解法1 Cramer法则 Math程序 A 1 1 1 0 4 1 2 2 1 MatrixForm x x1 x2 x3 b 6 5 1 LinearSolve A b Solve A x b 答案 1 2 3 x1 1 x2 2 x3 3 解线性方程组 给出的解为向量形式 三 线性方程组的Maths解法 三 线性方程组的Maths解法 第1节高斯 Gauss 消元法 高斯 Gauss 消元法 高斯消元法是一个古老的直接法 由它改进得到的选主元的消元法 是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法 其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题 高斯 Gauss 消元法 举例 举例 上三角方程组的一般形式是 目标 高斯 Gauss 消元法 高斯 Gauss 消元法 对n阶线性方程组 转化为等价的 同解 的三角方程组 称消元过程 逐次计算出称回代过程 高斯 Gauss 消元法 相当于第i个方程减第一个方程 数 新的第i方程 同解 第一方程不动 Gauss消去法计算过程分析 Gauss消去法计算过程分析 上述消元过程除第一个方程不变以外 第2 第n个方程全消去了变量 而系数和常数项全得到新值 高斯 Gauss 消元法 高斯 Gauss 消元法 高斯 Gauss 消元法 高斯 Gauss 消元法 高斯 Gauss 消元法 第n 1步消区过程后 得到等价三角方程组 高斯 Gauss 消元法 高斯 Gauss 消元法 消去过程算法 高斯 Gauss 消元法 回代过程算法 请同学们自己推导 高斯 Gauss 消元法 例2 1 举例 举例 举例 消去第一列的n 1个系数要计算n n 1 次乘法 远小于用克莱姆法则求解的乘除运算量 Gauss消去法乘除法计算量 Clear P1 P2 P3 P4 P5 A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A0 1 1 1 0 4 1 2 2 1 MatrixForm b 6 5 1 X x1 x2 x3 A 1 1 1 6 0 4 1 5 2 2 1 1 MatrixForm P1 1 0 0 0 1 0 2 0 1 A1 P1 A MatrixForm P2 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 A2 P2 A1 MatrixForm 演示 消元法举例说明 演示 P3 1 0 0 0 1 0 0 4 1 A3 P3 A2 MatrixForm P4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 A4 P4 A3 MatrixForm P5 1 0 1 0 1 1 4 0 0 1 A5 P5 A4 MatrixForm P6 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A6 P6 A5 MatrixForm LinearSolve A0 b Solve A0 X b 演示 利用MATH验证下列矩阵作用于同阶矩阵后的变换效果 验证效果 第2节主元素法 主元素法 解 因为a11 0 故此题不能用Gauss消元法求解 但交换方程组的顺序后 就可用Gauss消元法求解了 假设求解是用四位小数计算机上进行 问题 0 1000 10 3x1 0 1000 101x2 0 1000 1010 1000 101x1 0 1000 101x2 0 2000 101 解 本题的计算机机内形式为 因为a11 0 0001 0 故可用Gauss消元法求解 进行第一次消元时有 a22 1 0 1000 101 104 0 1000 101 0 00001 105 0 1000 105 对阶计算 0 0000 0 1000 105 0 1000 105 m21 a21 a11 1 0 0001 104 得三角方程组 问题 0 1000 10 3x1 0 1000 101x2 0 1000 101 0 1000 105x2 0 1000 105 回代解得x2 1 x1 0严重失真 因为本题的准确解为x1 10000 9999 x2 9998 9999 失真的原因 除数的绝对值远远小于被除数的绝对值 问题 用高斯消去法求解线性方程组时 应避免小的主元 在实际计算中 进行第k步消去前 应该在第k列元素中找出绝大值最大者 例如 再把第p个方程与第k个方程组进行交换 使成为主元 我们称这个过程为选主元 由于只在第k列元素中选主元 通常也称为按列选主元 或称列主元素法 一 列主元的基本思想 如果在第k步消去前 在第k个方程到第n个方程所有的xk到xn的系数中 找出绝对值最大者 例如 再交换第k p两个方程和第k q两个未知量的次序 使成为主元 称这个过程为完全选主元或全主元素法 不论是哪种方式选出主元 而后再按上面介绍的计算步骤进行消去的计算 一般都称为选主元的高斯消去法 在实际计算中 常用按列选主元的高斯消去法 完全选主元或全主元素法 用列主元消去法解方程组 解第一次消元对 例2 2 举例 由此回代 得x 1 9272 0 69841 0 90038 T与精确解x 1 9273 0 69850 0 90042 T相比较是比较准确的 第二次消元对 A 2 b 2 因列主元素为a32 2 故先作行变换r2 r3 然后进行消元计算可得 举例 用全主元素法求解线性方程组 计算过程保留三位小数 解 例2 3 二 全主元素法举例 由回代过程得解 注意解的次序 二 全主元素法举例 例2 3的计算结果表明 全主元素法的精度略优于列主元素法 这是由于全主元素法是在全体系数中选主元 故它对控制舍入误差比较有效 但全主元素法在计算过程中 需同时作行与列的互换 因而程序比较复杂 计算时间较长 列主元素法的精度虽稍低于全主元素法 但其计算简单 工作量大为减少 且计算经验与理论分析均表明 它与全主元素法同样具有良好的数值稳定性 故列