量子电子学讲义.doc

量子电子学第一章 量子力学的基本原理1.1经典拉氏（lagrangian）运动方程1.2薛定谔方程与路径积分方法1.3泊松括号与海森堡方程1.4量子化条件1.5力学量算符与力学量谱1.6测不准原理1.7表象理论1.8希尔伯特空间和算符及其矩阵表示1.9微扰理论第二章 量子化2.1一维谐振子的量子化2.2晶格的振动及其量子化2.3电磁场的量子化2.4 光子数态及其性质2.5位相态及其性质2.6相干态第三章 密度矩阵理论3.1纯态、混合态、平均值及其密度算符3.2密度矩阵的性质3.3密度矩阵的运动方程3.4自旋粒子的密度矩阵3.5光子的密度矩阵和stokes参数3.6耦合系统的约化密度矩阵 第四章 辐射场与原子系统的相互作用4.1原子极化率的密度矩阵4.2自发辐射跃迁4.3受激辐射与吸收4.4增益系、吸收系数与色散4.5均匀加宽与非均匀加宽4.6激光冷却与捕获原子4.7量子拍第五章 辐射场与原子系统的相干相互作用5.1二能级原子密度矩阵的矢量模型5.2超辐射5.3光子回波5.4自感应透明5.5光学章动第六章 非线性光学导论6.1非线性光学极化率张量6.2非线性耦合波方程6.3光学倍频、混频与参量过程6.4光学自聚焦与自偏6.5光学相位复共辐6.6受激喇曼散射与受激布里渊散射第七章 量子光学导论7.1平衡辐射的统计热力学7.2光的相干性与相干态7.3压缩态光场7.4纠缠态绪论一、量子电子学的研究对象量子电子学主要研究辐射与物质的相互作用过程，主要涉及激光的产生、放大、传输和调制以及激光产生的一系列新现象。二、量子电子学的发展历史1量子力学的建立自1924年 De Broglie的物质波假说给量子理论带来转机，1926年Schrodinger从物质波的思想建立起波动方程，创立于量子力学，以后他证明了他的波动力学方法与1925年Heisenberg发现的矩阵力学量等价的，1927年Heisenberg提出了著名的“测不准原理”及1928年Bohr作了“互补原理”的基本讨论，量子力学理论要求放弃经典时空和因果的描述。1927年，Von Neumann引入密度矩阵描述统计性质，密度矩阵方程是描述量子干涉现象的重要工具。1927年，Jorelan Klein Wigner和Dirac引入和发展了场的二次量子化理论，它是处理辐射场与物质相互作用极有用的方法。1948年，Fegman首先发展了量子力学的路径积分方法和图形方法，它比基于互关系的典型方法更为有力，更适合于计算微扰的展开。以上几种方法在量子电子学种的研究散射理论、量自拍、光泵、激光物理、激光光谱都是很重要的，本课程将涉及这些内容。2.量子力学的基本问题1）如何描述微观粒子的运动状态？2）如何测量力学量？3）如何描述粒子运动状态的变化？3.量子力学的基本假设 1）波函数 粒子所处的状态用波函数来描述，波函数及其导数要满足原值、有限和连续，粒子所有性质由波函数完备描述 2）力学量 力学量用线性、厄未算符表示，力学量的测量值是由力学量算符的全部未征值所组成。 3）态叠加原理 如果是系统的可能状态，那么其线性叠加也是系统的一个可能状态 4）Schrodinger方程 给定粒子的初态以后，任意时刻的波函数可以由Schrodinger方程导出： 5）全同性原理 全同粒子不可区分，全同粒子有两类：费米子和玻色子，前者用反对称波函数表示，后者用对称波函数表示4量子力学的几个重要推论 1）测不准原理 （Heisenberg . 1927） 2）量子力学的“隧道效应”：当的粒子运动到势垒左方边缘（x0）处时，有可能贯穿势垒二运动到右方，xa的区域0a 3）束缚系统的能级是分立的 一维无限深势阱 0aV(x)x 4）对应原理：（Bohr,1932） 量子力学在下面条件下趋于经典极限， 即当普兰朗克常数 或者束缚系统的量子数 5.A-B效应：在经典物理中，是可观察物理量，而是不可观察物理量，没有真实的物理意义，但在量子力学中，是可观察物理量，能产生可观察的物理效应。 先考察电子的波函数，设在无外场时电子的Schrodinger方程的解为，它满足： （1） 当存在静磁场时，Schrodinger方程为： （2） 方程（2）的解为： 其中： （3） 事实上： 代入（2）式即可证明。 由（3）式可见：静磁场存在时唯一结果是使波函数增加了一个相位因子：，咋看起来，似乎不会产生任何可观察的物理效应（因为波函数的位相是不可观察的），其实不然，如果存在一个无场而有势的复连通域，尽管，但，因此，仍然与路径有关，只要在这样的复连通域将一电子束分裂成相干的两电子束，让它们通过不同的路径而使它们的波函数带上不同的相位因子和，然后再复合，就可观察到波函数的干涉现象。参考：y.Aharonov-Bohm Phys.Rev 115 485(1958) 123 1511(1961) 125 2192(1962)第一章 量子力学的基本原理1.1 薛定谔方程一：定态薛定谔方程的建立 回顾一下当初建立薛定谔方程的思想对我们是有益的。1 几何光学是波动光学的一种近似，它只适用于光在宏观范围内进行的情况，而波动光学是几何光学更加精确的理论，对光在小范围中的进行也适用。2 牛顿力学只适用于粒子在宏观范围中的运动。在微观粒子中已经失效，应该还有一种更精确的理论波动力学，它能解决粒子在微观范围内的运动问题。3 这种描述微观粒子运动的波动力学形式式什么，如何建立？我们可以从几何光学和牛顿力学的相似性中得到启发。事实上，只要把德布罗意假设：引入几何光学，就能得到与牛顿力学的相似性：一个质量为的经典粒子在位场中运动,可用类似于几何光学的办法得到其运动的轨道。 OBbROaOv设粒子在a点以速度运动,质点在纸面内受力,把质点的运动轨道看作光线,做”波阵面”AB垂直于, A,B两点在质点在质点两旁并很接近,粒子的动量P可由机械能守恒求出。因： (1.1)所以： (1.2)根据德布罗意假设，有 (1.3)设A点的波长为，B点的波长为，由此可画出了新的波阵面 ，延长 BA和相交于O点，O点可看作是轨道ab部分的曲率中心,OA的长度是曲率半径R,由相似三角形得： (1.4)或 (1.5)是指在R方向上的微分,因此,(1.3)式对R求导得： （1.6）式中，是力在R方向上的分量。将（1.6）代入（1.5）式得： （1.7） 负号表示力指向曲率中心，此式就是牛顿力学中向心力与向心加速度的关系式。由它可以求出轨道的曲率半径R。这样，粒子在各点的速度和曲率半径都已求出，也就决定了粒子的轨道。注意：我们这里并没有用到牛顿力学，而只用到几何光学和能量守恒定律。由此可见，几何光学与牛顿力学具有类似的地方。事实上，经典力学的最小作用原理与几何光学中的费马原理在数学上完全是相同的。既然几何光学与牛顿力学具有相似性，那么，我们的出发点应该从描述几何光学的亥姆霍兹方程出发：引入德布罗意假设，导出波动力学方程：设粒子在位场中运动时具有固定能量E，根据德布罗意假设：设，具有固定能量E，就是有确定的波长，根据波动光学中的波动方程： （1.8） 对于具有固定圆频率的光波，具有解： （1.9）把（9）式代入（8）式得： （1.10）这就是几何光学中的亥姆霍兹方程，为光波的波长，如果把实物粒子的德布罗意波长： （1.11） 把（11）式代入（10） （1.12） 这方程称为定态薛定谔方程二、含时间的薛定谔方程对于定态情况，粒子具有固定的能量E，根据德布罗意假定，粒子从而具有固定的圆半球：，这相当于光学中的单色光，而一般的复色光，可以看成是个中单色光合成的，据此类推，一般波函数可以看成由各种能量的定态波函数合成的 （1.13）其中是满足光态薛定谔方程： （1.14）（14）式两边乘以， 这就是含时薛定谔方程三、波函数的诠释1几率解释：波函数究竟代表什么物理意义 波思（Born.M）认为：是代表粒子在空间出现的几率密度 即 几率密度： 显然： 或者： 而Schrodinger方程显然，应该满足这个方程。（四）几率流密度 其中 （1.16）讨论： 1）当时， 说明空间粒子数守恒 2）当：代表体积V内几率密度的变化率，而代表流入体积V内的几率密度，因此，称为几率流密度（五）平均值 1测量值：量子力学的测量值与经典力学的测量值有本质的区别，首先，在经典物理中，对任何状态下对某一物理量进行测量，都有确定值，但在量子力学中，对某一个物理量F进行测量，有两种可能的情况：一种情况是：每次测量F都有唯一确定的值。我们称系统处于F的本征态；另一种情况是：每次测量F都具有不同值，比如测量N次，测量到F的值为：等，它们出现的相应次数为 我们称：在态中，测量值为的几率为： 要注意：这种测量的不确定性不是由于误差因素引起的，而是由系统的状态确定的。 2平均值： 其中：3位置与势能的平均值 设粒子处于状态，现对粒子的位置进行测量，测量次数为N，发现粒子位置出现在的次数为dN, 则： （1.17） （1.18） 4动量及一般力学量的平均值 （1.19） 对于一般力学量： （1.20） 5平均值随时间的变化率 即 （1.21） 6厄氏定理（Ehrenfest） 单个粒子的经典运动方程为： （1.21） 量子力学的对应原理：上式中所有矢量都应该对应的量子力学算符的平均值来代替 即 （1.22） 1.2 与时间无关的schrodinger 方程的某些解一、宇称 在一个具有空间反演对称性的势场中，粒子的状态波函数具有确定的宇称，从定态schrodinger的方程出发： （1.23） 当空间反演用代替，得： （1.24） 如果，即势场具有反演对称性 则 （1.25） 比较（1.23）与（1.25）式可知：与都是具有相同未征值E的波动方程的解。 现在来构造两个新的波函数： 偶函数 （1.26） 奇函数 （1.27） 当本征值E是非简并时，则和应该是同一个函数的倍数，（因为和都是具有相同本征值E的波动方程的解）这样，都具有相同的本征值，它们应该是同一函数的倍数，这样就有两种可能： 是的倍数，而为零，即， 具有偶宇称 是的倍数，而为零，即，具有奇宇称。 因此，当场具有反演对称时，本征函数具有确定的宇称。 二、谐振子 一维谐振子的Hamiltonian为： Schrodinger方程为： （1.28） 这是一个变系数的二阶级分方程，下面求解这个方程， 令： （1.28）变成： （1.29） 当时，（1.29）具有形式解：，因此，我们很自然地假设（1.29）具有下列形式解： （1.30） 问题是如何确定? 将（1.30）代入（1.29）得 （1.31） 求解（1.31）式可得： （1.32） （1.33） 讨论：（i）谐振子最低能量为，而不是0，这与经典谐振子有质的区别 （ii）谐振子最低能量为，是测不准原理的必然结果。 根据测不准原理 ，取最小测不准间隔 ，则 （当时） 下面讨论方程（1.31）的解，因为，代入（1.31）得 （1.34） 利用生成函数，可以求出（1.34）方程的解 注意到： 则生成函数：（1.35） 对（1.35）两边求导得（对）： （1.36） 比较S的同次幂得 ： 即 （1.37）另外：由生成函数可得： （1.38）（1.38）式的左边又可写成： 比较S的同次幂得： （1.39） （1.37），（1.39）称为的递推公式： 将递推公式代入（1.34）式，即可证明： 下面的工作就是具体求出的表达式：注意到： （1.40）（1.40）式称为厄米多项式，它是谐振子Schrodinger方程（1.34）的本征函数。至此，谐振子的本征值与本征函数已完全求出。其本征函数为： 为归一化常数： （1.41）1.3 柏松括号与量子化条件及海森伯方程一、柏松括号设任一力学量F是广义坐标和广义动量以及时间t的函数力学量F的时间演化率为： （1.42）根据Hamiltonian方程： （1.43） （1.44）把（1.44）（1.43）代入（1.452）式得： （1.45）其中， 称柏松括号。事实上，对任何一对力学量A，B，都有： （1.46）二、量子化条件我们先研究柏松括号，当FH时，有所以如果H不显含时间t，对不受外力作用的任意孤立系统，有： ，则 H常数显然，它是顺从能量守恒原理的。另外，我们来观察柏松括号的对易关系，令：，则 （1.47） （1.48） （1.49）如果为算符，而不是经典力学量，它们的对易关系为： （1.50） （1.51） （1.52）显然，算符的对易关系与经典力学量的柏松括号非常相似，根据量子力学中力学量与经典力学量的对应关系，即将经典力学量中的广义坐标和广义动量用相应的算符（）表示，即为相应量子力学中的力学量。因此，只要将经典柏松括号改为对易括号，及，经典力学方程就可以自然过渡到量子力学方程，即对于不显含时间的力学量算符，有： (1.53) 或者： （1.54）这正是海森伯方程。我们再来分析一下经典柏松括号与量子对易关系的区别，从而总结出量子化的条件。由此比较（1.49）和（1.52）可见，柏松括号与对易关系的区别主要来源于算符的不对易性！如果算符是对易的，则对易关系与柏松括号并没有区别。只要承认“力学量由算符表示”这一量子力学的基本假设是正确的。则，对易关系与柏松括号的这种区别则是必然的。因此，我们可以将（1.52）式作为量子化条件。 三、经典力学与量子力学的联系 显然，Hamiltonian方程与Heisenberg方程是非常相似的，事实上，当时， 即，对易！Hersenber方程自然过渡到Hamiltonian方程，即量子力学自然过渡到经典力学。因此，Plank常熟h时一个分水岭，当测量精度达到需要考虑到h的影响时，则量子效应就会表现出来，而当测量精度无需考虑到Plank常数的影响，测量结果可以由经典力学准确预言，量子力学是经典力学更加精确的描述! 1.4路径积分方法与薛定谔方程量子力学的路径积分方法是费曼（Feynman）于1948提出来的不同于基于对易关系的量子力学的典型方法，它已广泛用于近代量子场理论中，特别是对于规范场理论。格子模型以及非线性量子场理论是一个标准的方法。它非常适合于微扰展开以及有逻辑上和自洽的优点，提供处理量子场论中棘手的发散问题一种有希望的方法。路径积分是基于由拉式量L的时间积分构成作用量S的指数变换函数，以这样的指数函数作为一积分核，可以将某一时刻的量子力学波函数变换成另一时刻的波函数。首先，定义作用量S： （1.55）并引入时间演化算符（又称格林函数，或变换函数或核），波函数是下列方程（仅讨论一维情况）： （1.56）它给出波函数之间的演化关系，路径积分为： （1.57）积分遍及从到的所有路径，而为： （1.58）（参考：Fegnman Physics Lettvuhe III）令：路径对于相位的贡献是相应的作用量S（再作用的量子单位），积分量将时间（）分割相等的N份下进行，对于很短的区间，作用量是这区间中拉式量L的倍，可以写成： （1.59）现将这代到一维势场中运动粒子的特殊情况，有：， 则（1.59）式变为（令）： （1.60）作替代：，且假设是小量，则有： （1.61）将展开成幂级数，只得保留的一阶项。这隐含着保留的二阶项。由代替，展开左方到的一阶项，而右边展开到的一阶及的二阶，我们得到：（1.62）如果取右边第一项的积分： 则第二项的积分： 第三项的积分：则（1.62）式变为： （1.63）整理得： （1.64）这就是一维势场中运动粒子的薛定谔方程，它是由量子力学路径积分推导出的波动力学微分方式代将（1.64）式推广到普遍形式： 就是Hamiltonian算符，对带电粒子再电磁场中的Hamiltonian为： 式中，e为电荷，c是光速，是电磁场矢势，是电磁场标势。第二章 量子化Jordan，klein，wigner及Dirae等人引入的产生和湮灭算符，首先应用于量子电动力学，以后在量子场理论中得到发展并成为近代理论场物理的基础，近年来，量子场理论已应用于激光物理学、非线性光学、量子化学、核物理及固体理论中量子力学变体问题上，这一章重点讨论“二次量子化”所涉及的产生的和湮灭算符问题。2.1 产生和湮灭算符经典力学中的Hamiltonian为： （2.1）将（2.1）式改写为： （2.2）量子力学中的Hamiltonian为： （2.3）由于算符的不对易性，（2.3）式可以改写成： （2.4）令： （2.5）将（2.5）式代入（2.4）式得： （2.6） 称为产生、湮灭算符1的对易关系 （2.7）同理： （2.8）2的本征函数与本征值 令的本征值为n，相应的本征态为， 则 两边同乘以得： 可见：是的属于本征值为（n1）的本征态又 （假设的本征值为n的本征态为，而本征态为的本征值当然为（n1） 是同一个态，它们之间只相差一个常数c。 （2.10）取（2.10）的厄米共轭有： 得： （2.11）（2.10）乘以（2.11）得： 而因： （2.12）可以证明： （2.13）同理可证：可见，都是的本征值，但因为n必须大于零， 同理： （2.14） 而 （2.15）3的本征值与本征态 ， 显然与对易 可见，与有共同的本征态，因为是的本征态，即也是的本征态，而， （2.16）由此可见，无零直接求解微分方程，用量子力学算符的基本就可以求出的本征值。下面求的本征矢从基态本征矢出发： （2.17）4在能量表象中的表示 在粒子数表象中，以为基矢张成一个Hilhert空间，矩阵为： （2.18） （2.19） 的矩阵元为： 坐标与动量的矩阵元 5坐标表象中的表示 在坐标表象中，的形式为： （2.20） 其中：同理： （2.21）先求： 即 归一化： （2.22） 而 （2.23）2.2谐振子集合的系统现在考虑总哈顿H可以由简单谐振子哈密顿的总和来表示的系统： （2.24）本征函数可由量子数的机会标记： 同时有： 可以证明： 2.3电磁场的量子化我们知道，电磁场由力学量以及Maxwell方程来描述。 （2.25）物质方程为： （2.26）电磁场的总能量为 (2.27)在经典物理中，是连续的。因此，是连续的。在量子力学中，如何描述量子化电磁场的性质：首先，我们对电磁场进行量子化处理，先考虑在密封的理想导体腔内的电磁场的量子化。选择电磁场一但正交归一的基矢，然后以这旧基矢展开电场和磁场，这两个正交归一集为： （2.28）首先要证明：和分别是两个正交集合，即： （2.29） 即 两边积分得： 导体表面， 而 而 同理可证： 可以任意选取的数值大小，使它们按照下列式子归一化： 由于构成了封闭腔中任意电磁场的正交归一集，因此，可以将任意电磁场展开为的叠加： 式中： 把代入Maxwell方程，并用 得： 有： 即： 即 同理可得： （2.30） （2.30）式表明：中第个模的角频率为： （2.31） 即：由许多角频率为的基模组成： 电磁场的总能量为： 由此，我们可以判断，就是描述电磁场的广义坐标和广义动量， Maxwell方程与Hamiltonian方程导出的结果是一致的至此，广义坐标，广义动量以及电磁场的哈密顿量，都还是经典力学量由描述的电磁场与由描述的电磁场没有什么本质的区别。下面我们引入量子化条件，对电磁场进行量子化。在经典力学中，因为电磁场的Hamiltonian量可以写成： 在量子力学中，必须将广义坐标和广义算符用相应的算符表示，因此，Hamiltonian可以写成 令： 则 （2.32） 可以证明： 是粒子数算符，分别是光子的产生和湮灭算符。由（2.32）式可见，电磁场的能量是量子化，每个能量子称为光子，每个光子的能量为：，每个光子的动量为：。总辐射场的定态用的本征函数来表征，而的本征函数是由各单项Hamiltonian：的本征函数的乘积构成：记为：其中： 对第个模的平均光子数为： 平面波的量子化：前面讨论的是没有确定形状的一般形式的谐振腔，我们将会发现：平面波谐振腔中的场算符的形式是非常有用的，虽然这种谐振腔所要求的无限大截面积在实际当中并不存在。但实际当中是一种很好的近似。具体来说，可研究沿z轴长度为L的谐振腔的第个模式，模式体积为V，令电场和磁场矢量非别沿y方向和x方向指向。为了满足正交归一条件，可选择平面波谐振腔中的场基矢为： （2.33）其中： 那些，谐振腔中电磁场相应的第个模的场强为： （2.34） （2.35）将（2.35）式代入（2.34）式得： （2.36）前面我们讨论了一般谐振腔以及包含平面波的谐振腔中电磁场的量子化问题，下面我们讨论自由电磁场的量子化问题，我们关心的式无源有旋场，及横波场。因此，只考虑的量子化就行了，因为横波场有： 由于 （2.37）方程（2.37）的解为：可以证明：是正交归一的 而 因此，一般的矢势可以展开为的叠加： 由可以求出 将代入电磁场的总能量密度公式： 得： 令： 则： 把代入得： 与谐振子的哈密顿相比，得： 因此，只要将看成是量子力学算符，再加上量子化条件： 则就是电磁场的产生与湮灭算符。将的对易关系代入得， 2.4光子数态及其性质一、光子数态（Fock态） 1定义：光子数算符的本征态称为光子数态 即 由于哈密顿算符与光子数算符对易，它们具有共同的本征矢 也就是说：光子数态（Fock）态是电磁场具有确定能量的状态，或者说，电磁场具有确定光子数的状态。 2光子数态的性质 光子数态中，电场和磁场的期待期为零。 光子数态中光强的期待值 可见，在光子数态中，光场的强度的期待值并不为零 另外，在光子数态中，电场，磁场并不具有确定值。因为,不是、的本征态，可以：在光子数态F，电磁场的能量具有确定的值，但、都不具有确定的值，这是量子化电磁场与经典电磁场不相同的地方。2.5 位相态1位相态的定义 经典物理中，相位一般表示为，为了用量子力学算符表示位相，我们用产生和湮灭算符来表示位相算符。 定义： 则：位相算符可定义为： 2位相算符的性质与意义由于是算符，并不对易 这是位相算符的对易关系。下面讨论位相算符的意义 而 同理：可见：光子位相算符作用于光子数态后，使光子数增加或减少1个光子，位相算符的矩阵表示： 因此，在光子数表象中，位相算符的矩阵元是非对角化的。因此，位相不具有确定的值。3、位相态与光子数态的关系。 同理：可见：并不对易。因此，电磁场的状态不可能同时是的本征态。因此，量子化电磁场的粒子数与位相不能同时准确测量。事实上，电场强度算符可表为： 可见：指数位相算符的引入，使场算符包含了光子算符与位相算符两部分。4厄米位相算符由于都不是厄米算符，不可能代表可观察物理量，要重新构造一个厄米位相算符。定义： 对易关系： 5位相算符的本征态虽然是不对易的，即电磁场中不存在它们的共同本征态，但下面的讨论可以看到：只有在基态，才不具有共同的本征态，在其他态，它们是对易的。即 设共同本征态为，将定义为全部光子数态的线性叠加，而每个的权重是位相因子：即其中是归一化因子。是满足正交归一条件的： 上式表明：并不是的严格本征态。因此，上式包含有二项，但当时，则： 同理可证：因此： 当条件下，位相的不确定量为： 由此可见：当时，即时，位相算符的本征态是一种位相完全确定的态。 6单模场的位相态 假定考虑的单模状态是精确定义的位相角状态，这样的态当时，位相算符的不确定值为零：。因此，单模场位相态的位相是完全确定的，但腔模的光子数却是不确定的。： 而 可见：在单模位相态中，光子数的期望期为无穷大，光子数的不确定量（起伏值）也是无穷大。 在单模位相态中，电场算符的期待值： 总结：单模位相态所对应的电磁场具有完全确定的位相，但振幅则完全不确定，即单模位相态是能量趋于无穷大的一个态。7单模光子数态的性质 对于光子数态，。在光子数态中，的期待值为零。 根据量子力学的平均值定义：另一方面： 在态中，在之间是无规则分布，却完全不确定。6相干态 1相干态的定义：湮灭算符的本征态，称为相干态 2用光子数态表示相干态。 而 由归一化条件：，得： 因此，相干态可以定义为： 3相干态的物理意义 相干态是平衡点位移了的谐振子基态 将相干态投影到坐标表象： 式中，就是谐振子能量算符的本征函数 引入：，则 与谐振子的基态波函数。相比，可见，相干态是平衡点位移了的谐振子基态。 相干态是位移算符作用在真空态上的一个态。 即根据Beker Hansdorff定理：上式成立的条件是：与都是对易的相干态是最小测不准态 电磁场Hamiltonian的简正坐标与共轭动量分别为： 因此，简正坐标与其共轭动量的不确定度为： 这是最小测不准态，即相干态是最小测不准态，是最接近经典态的一个量子态。相干态中光子数的起伏 而或者：光子数起伏为：相对起伏：可见：随着光子数增加，光子数的测不准量也增加，但相对测不准量则减少。相干态的光子分布是柏松分布 根据相干态的定义： 展开系数的模的平方就是在相干态中发现n个光子的几率。 相干态的相干度为1 非正交性 由于湮灭算符是非厄米算符，其本征值为复数，不同本征值对应的本征矢不正交（6）非正交性 相干态是不正交的，因为： 只有当的间距增大，才近乎正交，相干态虽然不正交，但却是完备的。完备性主要体现在如下的按单位算子展开关系上： 4相干态的叠加 在经典光学中，我们常讨论双光束干涉：在量子光学中，两个波色或两个相干态的干涉与叠加却成了研究热点。当两个相干态相距甚远时，由此而产生的叠加态称为宏观叠加态或Schrodinger猫态。二、相干态的性质 1相干态中的光子数及其起伏 湮灭算符的本征值的物理意义就是，他的模平方给出相干态的光子平均数。 光子数的起伏： 即， 相对起伏：，可见，当，光子的相对起伏为零。 2相干态中的光子分布是不波松分布。 在相干态中，发现n个光子的概率为 激光器在远高于阈值时，其光子分布趋于柏松分布，对于相干态的光子。 3相干态是最小测不准态 在相干态中，广义坐标和广义动量的测不准度最小。 ， 得： 在测不准关系中：，因此，相干态是最小测不准态，因为经典物理量的测不准度为零。因此，相干态是最接近经典态的一种量子态。4相干态中，各个物理量的期待值 （1）能量期待值： 相对测不准度：，当很大时，能量的测量精度相当高。 （2）相干态中，电场的期待期： 相对测不准为：由此可见,随着相干态中平均光子数的增加，电场振幅的相对不确定量随之减小。 （3）相干态中，位相期待值： 其中： 测不准度： 可见：当时，都趋于零，即，振幅和位相起伏都趋于零，但在光子数态中： 其实，在腔中的电磁场的状态既不是光子数态，也不是位相态，而更接近相干态，光子数态和位相态都是一种极端状态。第四章 密度矩阵理论1.引言当一个量子力学系统不能用一个态矢量来描述，或者没有足够的信息来确定一个状态波函数时，如何来描述这个量子立足额系统的性质？即使一个量子力学系统处于某个状态,但由于Schrodinger方程描述的不包含驰豫时间的守恒系统，故基于求解Schrodinger方程波函数不能处理由于碰撞引起的谱线加宽等问题，也正是没有考虑谱线加宽问题，所以当光场频率与电子跃迁频率为共振时，分母趋向于0时，微扰波函数系数趋于发散，为了克服这类困难，量子力学密度矩阵方