2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：10.2排列、组合应用题(第1课时)

第十章排列 组合 二项式定理和概率 排列 组合应用题 第讲 2 第一课时 1 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照 排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 从n个不同元素中取出m m n 个元素的 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 记作 3 n个不同元素全部取出的一个排列 叫做n个不同元素的一个 一定的顺序 所有排列的个数 全排列 4 从n个不同元素中取出m m n 个元素 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 5 从n个不同元素中取出m m n 个元素的 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 记作 6 7 并成一组 所有组合的个数 1 排列问题大致分为两类 1 不含限制条件的简单排列问题 可直接根据题意利用公式来求得最后结果 2 带有限制条件的排列问题 常常有两种计算方法 把符合条件的排列直接计算出来 直接法 或者先算出不含限制条件的所有排列的总数 然后再从中减去所有不符合要求的排列数 间接法 2 元素相邻用 捆绑法 即将必须相邻的元素 捆 在一起当作一个元素进行排列 3 元素相离用 插空法 即把可相邻元素每两个元素留出一个空位 将不能相邻即相离的元素插入空位中进行排列 4 定序元素用 除法 即n个元素的全排列中若有m个元素必须按一定顺序排列 这m个元素相邻或不相邻都可以 其排列数为 即n个元素的全排列之中包含了m个元素的无顺序排列m 个 但这m个元素的有序排列只有一个 故总排列数为 5 元素分析法 位置分析法 是解决排列问题的最基本方法 它们的共同点是先考虑特殊元素的要求 有两个约束条件时 往往以一个约束条件为轴心展开讨论 但要兼顾其他条件的约束 直接法 间接法 插空法 捆绑法 对称法 都是分析问题的常用方法 1 把4名男生和4名女生排成一排 女生要排在一起 不同排法的种数为 A B C D 解 按分步计数原理 第一步 将女生看成一个整体 则有种方法 第二步 将女生排列 有种排法 故总共有种排法 B 2 若2n个学生排成一排的排法数为x 这2n个学生排成前后两排 每排各n个学生的排法数为y 则x y的关系为 A x yB x yC x yD x 2y解 第一种排法数为 第二种排法数为 从而x y C 3 某校准备参加2011年全国高中数学联赛 把10个名额分配给高三年级8个班 每班至少1人 不同的分配方案有 种 解 把10个名额分成8份 每份至少一个名额即可 用隔板法 36 种 36 将n个相同的元素分成m份 n m为正整数 每份至少一个元素 可以用m 1块隔板 插入n个元素排成一排的n 1个空隙中 所有分法数为 12 十 元素相同问题隔板策略例10 有10个运动员名额 分给7个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为10个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中选 个位置插个隔板 可把名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应一种分法共有 种分法 1 1 书架上原有5本不同的书排放在一排 再放上3本不同的书 且不改变原书的相对顺序 求共有多少种不同的放法 2 某人射击8枪 命中4枪 其中恰有3枪连续命中 求共有多少种不同的射击记录 题型1用 定义法 求排列问题的方法数 解 1 设想书架上有8个位置 每本书占一个位置 先在这8个位置中任选3个放上3本 新书 有种放法 再将原来的5本 旧书 按原来的顺序放在余下的空位上 只有1种放法 由分步计数原理 共有 336种放法 2 3枪连续命中捆绑成一个元素 记为a 另一枪命中记为b 据题意 a b排序不相邻 问题等价于将a b插入没命中目标的4枪所产生的前后5个空当 共有 20种 点评 排列数计数是分步计数原理的一种特殊情况 在应用排列数公式进行计数时 一是分清 元素 与 位置 二是计数时因元素在不同的位置而表示不同的方法数即为排列问题 1 8个座位摆成一排 3人就坐在其中三个座位上 若每个人的左右两边都要有空位 求共有多少种不同的坐法 2 某6名短跑运动员在100m跑比赛后 其成绩互不相同 其中甲的成绩比乙好 乙的成绩比丙好 求这6名运动员的成绩排名共有多少种可能结果 解 1 据题意 8个座位中有5个空位 两端不能坐人 3人就坐不相邻 因此 只要将3人插入5个空位之间的4个空当即可 共有 24种坐法 2 问题等价于6人站成一排 其中甲站乙的前面 乙站丙的前面 求共有多少种站法 先从6个位置中选三个站其余3人 有种站法 再将甲 乙 丙三人按前述顺序站在其余三个空位上 只有1种站法 所以共有 120种可能结果 2 从数字0 1 3 5 7中取出不同的三个作系数 可组成多少个不同的一元二次方程ax2 bx c 0 其中有实数根的有几个 解 1 a只能在1 3 5 7中选一个 有种 b c可在余下的4个中任取2个 有种 故可组成不同的一元二次方程 48个 题型2结合两个计数原理求排列问题的方法数 2 方程要有实根 需 b2 4ac 0 当c 0时 a b可在1 3 5 7中任取2个 有个 当c 0时 b只能取5 7 b取5时 a c只能取1 3 有个 b取7时 a c可取1 3或1 5 有2个 故有实数根的一元二次方程共有个 点评 两个计数原理是我们处理计数问题的基础 在分类或分步过程中 若出现每类或每步是一个排列问题 则可直接用排列数公式求解 然后根据情况相加或相乘 五个人站成一排 求在下列条件下的不同排法种数 1 甲必须在排头 2 甲必须在排头 并且乙在排尾 3 甲 乙必须在两端 4 甲不在排头 并且乙不在排尾 5 甲 乙不在两端 6 甲在乙前 7 甲在乙前 并且乙在丙前 8 甲 乙相邻 9 甲 乙相邻 但是与丙不相邻 解 1 特殊元素是甲 特殊位置是排头 首先排 排头 有种 再排其他4个位置有种 所以共有 24种 2 甲必须在排头 并且乙在排尾的排法种数为 6种 3 首先排两端有种 再排中间有种 所以甲 乙必须在两端的排法种数为 12种 4 解法1 乙站排头时 有种 乙不站排头时有种 所以共有 78种 解法2 甲不在排头 并且乙不在排尾的排法种数为 78种 5 因为两端位置符合条件的排法有种 中间位置符合条件的排法有种 所以甲 乙不在两端的排法种数为 36种 6 因为甲 乙共有种顺序 所以甲在乙前的排法种数为 60种 7 因为甲 乙 丙共有种顺序 所以甲在乙前 并且乙在丙前的排法种数为 20种 8 把甲 乙看成一个人来排有种 而甲 乙也存在顺序变化 所以甲 乙相邻的排法种数为 48种 9 首先排甲 乙 丙外的两个有种 从而产生3个空 把甲 乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有种 而甲 乙也存在顺序变化 所以甲 乙相邻 但是与丙不相邻的排法种数为 24种 3 4名男生和3名女生站成一排 求在下列条件下各有多少种不同的站法 1 甲 乙 丙三个女生不全相邻 2 男生连排在一起 女生连排在一起 且男生甲和女生乙不相邻 解 1 甲 乙 丙三个女生相邻的站法有种 所以三个女生不全相邻的站法共有 4320 种 题型3用间接法求排列问题的方法数 2 男生连排在一起 女生连排在一起的站法有种 其中男生甲和女生乙相邻的站法有种 所以符合要求的站法共有 264 种 点评 对有限制条件的排列问题 可根据情况来解 如利用一些基本的模型 相邻问题捆绑法 相间问题插空法 等来解决或先算出不含限