专题15 数形结合思想.doc

赣马高级中学2011届高三考点突破专题十五 转化与划归思想（1）034化归与转化思想：通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。【自我提醒】转化常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。【自我测试】1三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为_2求函数的值域 3. 已知实数a、b、x、y满足a2+b2=m，x2+y2=n，则ax+by的最大值是 4. 如果实数x、y满足等式，那么的最大值为 5. 关于x的方程在0，内有解，求a的取值范围 6. （2004四川）已知在ABC中，ACB=90，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 （ 建立坐标转化为不等式问题）7. 已知等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 8. ，且，则等于 9. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 已知为常数，且，问是不是周期函数，若是，求出周期 11有一根长为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，使铁丝两端落在同一条母线两头上，则铁丝的长度最少为 12. 已知圆C的方程为，若,两点一个在圆C的内部,一个在圆C的外部,则实数a的取值范围是 ABCC1A1B113. “，使得”是真命题，则实数的取值范围是 14. 如图，已知三棱锥ABCD底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且，M，N分别在棱AC和AD上，求BM+MN+NB的最小值 考点突破专题十五 转化与划归思想（1）035化归与转化思想：通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。【自我提醒】有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。”【自我测试】1方程 在（0，2）内根的个数有 2解不等式：的解集 3 已知PA，PB，PC两两互相垂直，且PAB、PAC、PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为 cm2（注 ，其中r为球半径）4.在一个直径是5cm高度为2的圆柱形玻璃杯子的上沿A处有一只苍蝇，而恰好在相对的底沿A处有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇，蜘蛛所走的最短的路程是 5. 四面体ABCD中，AC=BD=,BC=AD=,AB=CD=4，则四面体ABCD外接球的面积为 提醒：补长方体 6函数f(x)=的值域为 7 等比数列的前项和S2c，则_8若函数在（0，1）内有极小值，则实数的取值范围是 9若对任意R,不等式ax恒成立，则实数a的取值范围是 10已知圆，是否存在斜率为1的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 考点突破专题十五 转化与划归思想（1）【自我测试】1（构造成长方体；答：5）2换元法（代数换元法）：设，则，可化为，原函数值域为3.提示：向量数量积；圆的参数方程；m 与n积。4. 提示： 恰为点（x，y）与原点连线的斜率，问题转化为几何问题：动点P（x，y）在圆C上运动，求OP斜率最大值。当P在第一象限，并且OP与圆C相切时，OP斜率最大，这时，即OP斜率最大值为。5.转化为求在，a范围是。6. 3 （ 建立坐标转化为不等式问题）7. 210 特殊化8. 特殊化法。取 9. 构造函数：。由于当时，不等式恒成立。则，即。解得：。10. 解：由联想到，找到一个具体函数， =，而函数猜想是一个周期为的函数。 11 10（展开图，展四次）12. ABCC1A1B113. 解：“，使得”的非P命题是“，使得恒成立”。，解得，它的补集是。实数的取值范围是14. 考点突破专题十五 转化与划归思想（2）【自我测试】1 1 f（x）=，极小值-1，极大值是7，在（0，2）内函数单调递减，值域是（-1，7）。根的个数1；2解：原不等式可化为：即 解之 或x2或不等式的解集为x|x2或3答案：26；4. ；5. 提醒：补长方体 6正解：令，,从而7 等比数列的前项和S2c，则_8。91 平方法10解法1.假设存在适合题意的直线，其方程为：即由消去得 设被圆截得的弦的两端点坐标分别为，则是方程的两个实，根，故， . 以为直径的圆过原点, 即, , , 整理得 , 即，,或(此时方程的判别式都大于零).由此可知，存在斜率为1的直线：或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法2. 同解法1设直线方程为 ，圆的方程化为,其圆心为,半径.设弦的中点为,则有,易得直线的方程为, 即,与联立得点坐标为,依题意有,即,化得,或,故存在斜率为1的直线：或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法3.同解法1设直线方程为 ，则以弦为直径的圆的方程可表示为.该圆过原点， 即 , 故该圆方程可变为 其圆心应该在直线上,即,由得 ,或.故存在斜率为1的直线：或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法4. 假设存在适合题意的直线,由于以弦为直径的圆过原点,故可设其方程为 由相减得公共弦AB所在直线方程： 弦AB所在直线的斜率为1,即. 又该圆圆心在直线上, 从而有, 即解得或，直线的方程为或.故存在斜率为1的直线使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法5. 假设存在适合题意的直线,设,以弦为直径的圆的圆心为, 由相减得依题意知且,代入上式得. 以为直径的圆过原点, 即, , 从而得 =,即由得,或, 点的坐标为或,由点斜式得直线的方程为或.故存在斜率为1的直线使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法6. 圆的方程化为,可设两点坐标分别是、,其中.直线的斜率为1, , , 易得, 即.点坐标改写为.以为直径的圆过原点, 即,展开化