勾股定理及其逆定理.doc

勾股定理【课前热身】1、在RtABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）A2 B4 C2 D2、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）A6，7，8 B5，6，7 C4，5，6 D3，4，53、下面四组数中是勾股数的有（ ）（1）1.5，2.5，2 （2），2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3A1组 B2组 C3组 D4组【知识梳理】1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。互逆命题的概念：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。4、直角三角形的判定：如果A+B=90，那么ABC是直角三角形如果，那么ABC是直角三角形5、勾股数组：满足的三个正整数，叫做勾股数组。常见的勾股数组：3，4，5；6，8，10； 3k,4k,5k. 5,12,13; 10,24,26; 5k,12k,13k.7,24,25;14,48,50; 7k, 24k, 25k. 8,15,17; 16,30,34; 8k,15k,17k .柏拉图： 毕达哥拉斯： 丟番图： 6、勾股定理的推广：如果把勾股定理理解为：平面上矩形的两边的平方和等于对角线的平方。那么空间中相应的结论是：长方体的长、宽、高的平方和等于该长方体的对角线的平方。 如图：在长方体中AB=a, BC=b, AA1=c,对角线AC1=d,易知是直角三角形，所以另一方面也是直角三角形，所以7、与勾股定理有关的几个常用的结论：（1）在RtABC中，A=30C=90，则a：b：c=1：2（2）在RtABC中，A=B=45，则a：b：c=1：1：（3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的积。设斜边上的高为h,则（4）在蚂蚁怎样走最近中，如果长方体中长、宽、高分别为a,b,c,且abc，则自长方体外侧绕行对角的最短距离为【例题精讲】1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。总结升华：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是 【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。【方法总结】1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解【中考演练】一、填空题1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为_2.（江西省）如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：,则结论：AF=2；BF=5；OA=5；OB=3中，正确结论的序号是 3.（永州）一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，ABC约45，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为_米（答案可保留根号）4.（湖州市）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_，该定理的结论其数学表达式是_ 5.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610(单位：)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13， 小孔到图中边AB距离为1，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h，则h的最小值大约为_.（精确到个位，参考数据： ，） 二、选择题6.园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（）A24米 B36米 C48米 D72米7.如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（）A B C D无法确定三、解答题8、一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论【过关检测】 一、选择题1 已知ABC中，A=B=C，则它的三条边之比为（ ）A1：1： B1：2 C1： D1：4：12已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）A B3 C D3下列各命题的逆命题成立的是（ ）A全等三角形的对应角相等B如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C两直线平行，同位角相等D如果两个角都是45，那么这两个角相等4若等边ABC的边长为2cm，那么ABC的面积为（ ）Acm2 B2cm2 C3cm2 D4cm25如图所示，ABC中，CDAB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（ ）A B C1 D6直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）A182 B183 C184 D1857如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）A B C D 二、填空题8已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_9如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得EAC=30，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为_米(第13题)三、解答题10、（1）已知直角三角形的两边长分别为3和4.求该三角形的周长； （2）ABC中，AD为高，AB=15,AC=13