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导数的运算法则 一 背景知识与引入方法 而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则 这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为 例如 商的求导法则就有繁简不同的表述 方法一 根据导数定义可以求一些简单函数的导数 基础 法则的推导应力求简短 方法 以上表述可简化为 令 对于可导函数 当时 从而有 详细内容见该知识点讲解方法 参考居余马 葛严麟主编 高等数学 第 卷 先解决的导数 然后按乘积求导法则 方法二 二 该知识点的讲解方法 1 依据导数定义和重要极限先解决基本 初等函数中常值函数 正整次幂函数 指 数函数 自然对数函数 正余弦函数 的求导公式 2 依据极限理论 推导出和 差 积 商的求导法则 再以这些法则是和已有的导数 结果 给出对数函数 正余切函数 和正余割函数 的求导公式 3 建立反函数的求导法则 并由此给出 4 由导数定义及极限理论推导复合函数 反正弦 反余弦 反正切 反余切函数的求导 公式 的求导法则 并借此给出基本初等函数中幂函数 为任意实数 的求导公式 微分法则表明 初等函数的导数的具体计算 都切实可行 特别是复合函数的求导法则 使复 杂函数的求导计算系统化 简单化 三 基本初等函数的求导公式 1 c为常数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 12 证明 1 2 为自然数 3 特别时 6 7 类似地可以证明 四 导数的四则运算法则 定理1设函数和都在点处可导 1 2 特别地 为常值 则它们的和 差 积 商 分母为零的点除外 3 特别地 证明 1 设 2 设 由于在点处可导 故在点处连 续 所以有 特别当 常数 时 由上式立刻有 成立 再由在点处可导 必连续 且 即得 再由 2 成立 注 定理1中法则 1 2 可推广到有限 个可导函数情形 例如 设 均可导 则有 五 证明基本初等函数的部分求导公式 5 9 类似地可证 11 类似地可证 六 例题 例1设 求 解 故 例2设 求 解 七 反函数的求导法则 定理2设在区间内单调 可导且 则它的反函数在区间 内也可导 由于在内单调 可导 必 所以 反函数在相应的区间 于是 反函数 证明 内也单调连续 因此当时 并有时 对的导数为 连续 利用此定理证明如下公式 13 设 是的反函数 并且 在内单调增加可导 所以 证明 且 类似地可证 15 设 其反函数在 内单调 可导 且 所以在相应区间内 证明 类似地可证 八 复合函数的求导法则 若函数是由 复合而成 且满足 I 在点可导 在点可导 其导数为 定理3 或 即 此时 且有当时 从而推知 其中 当时 时规定 证明 再由I有 于是 其中为任意实数 于是 且容易算出 证明 由于 例3曲线上哪点的切线与直线 平行 直线的斜率 令 解 则 此时 故所求点为 例4 求 视为复合而成 因此 解 例5 求 解 视为复合而成 又因 所以 例6 求 不必写出中间变量 然后逐层求导 解 例7 求 解
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