《知识结构》PPT课件

高三数学第一轮复习 第九章 立体几何 知识结构 一 平面的基本性质 二 空间两直线的位置关系 三 直线和平面平行的判定和性质 四 直线和平面垂直的判定和性质 五 两个平面平行的判定和性质 六 两个平面垂直的判定和性质 七 空间向量 练习1正方体ABCD A1B1C1D1 E是BB1上的点 画出平面AEC1和平面ABCD的交线 一 平面的基本性质 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理1 用来判定一条直线是否在平面内 或直线上的点是否在平面内 F 作用 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 公理2 1 用来判定两平面是否相交 2 画两个相交平面的交线 即 3 证明多点共线 练习2 已知 ABC在平面 外 AB AC BC的延长线分别与平面 交于点M N P三点 求证 M N P三点共线 作用 1 确定平面2 证明点 线共面 公理3 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 作用 推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面 例2 已知三条直线l1 l2 l3两两相交 且不过同一点 求证 直线l1 l2 l3在同一平面内 例3 直线L与过点P的三条直线a1 a2 a3分别交于A B C三点 A B C异于点P 求证 这四条直线共面 二 空间两直线的位置关系 平行 相交 异面 共面 两直线没有公共点 两直线只有一个公共点 两直线没有公共点 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 也就是既不相交又不平行的两条直线 1 异面直线 O E F E F AE和BF是异面直线吗 AE和CF是异面直线吗 2 异面直线的画法 通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面的特点 如图所示 a b是两条异面直线 在空间中任选一点O 过O点分别作a b的平行线a 和b 则a 和b 所成的锐角 或直角 称为异面直线a b所成的角 也叫异面直线a b的夹角 a b a b 若两条异面直线所成角为90 则称它们互相垂直 异面直线a与b垂直也记作a b 异面直线所成角 的取值范围 平移 3 异面直线成的角 O 4 求异面直线所成的角 求两条异面直线所成角的步骤 1 选点 引平行线找到所求的角 2 把该角放入三角形 3 根据边角关系计算 求角 例1 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CC1的中点 求AE BF所成的角 在解答过程中要突出 做 证 指 求 这几步 例2 已知正方体的棱长为a M为AB的中点 N为BB1的中点 求A1M与C1N所成角的余弦值 解 如图 取A1B1的中点E 连BE 有BE A1M 取CC1的中点G 连BG 有BG C1N 则 EBG即为所求角 BG BE a FC1 a 由余弦定理 cos EBG 2 5 取EB1的中点F 连NF 有BE NF 则 FNC为所求角 想一想 还有其它定角的方法吗 在 EBG中 E G 例3 在空间四边形ABCD中 AB BC CD DA AC BD a M N分别是BC AD的中点 求异面直线AM CN所成角 E G 例5 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 1 AA1 1 求异面直线D1B与AC所成角的余弦值 G AB CD EF GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对 相交直线有几对 平行直线有几对 若a b b c 公理4平行于同一直线的两直线互相平行 则a c 5 平行关系的传递性 例1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线AB与C1D1 AD1与BC1是什么位置关系 为什么 例2已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 连结EF FG GH HE 求证EFGH是一个平行四边形 解题思想 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题是解立体几何时最主要 最常用的一种方法 6 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 右图平行六面体中与 BAD相等的角是哪些角 为什么 与 BAD互补的角是哪些 为什么 填空 1 空间两条不重合的直线的位置关系有 三种 2 没有公共点的两条直线可能是 直线 也有可能是 直线 3 和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有 4 过已知直线上一点可以作 条直线与已知直线垂直 5 过已知直线外一点可以作 条直线与已知直线垂直 平行 相交 异面 平行 异面 无数 无数 相交 异面 1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 2 空间两条不相交的直线一定是异面直线 3 垂直于同一条直线的两条直线必平行 4 若一条直线垂直于两条平行直线中的一条 则它一定与另一条直线垂直 判断对错 思考题 1 a与b是异面直线 且c a 则c与b一定 A 异面 B 相交 C 平行 D 不平行2 正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数是 对 A 6 B 3 C 8 D 123 一条直线和两条异面直线都相交 则它们可以确定 平面 A 一个 B 两个 C 三个 D 四个 三 直线和平面平行的判定和性质定理 1 直线和平面的位置关系有哪些 1 直线在平面内 2 直线与平面相交 3 直线与平面平行 2 直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 线线平行 线面平行 证明直线与平面平行的方法是什么 思考 1 在平面内寻找一条直线 2 证明这条直线与已知直线平行 3 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面与已知平面相交 那么这条直线与交线平行 线面平行 线线平行 练习 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线与这个平面垂直 2 直线和平面垂直的判定定理 线不在多 重在相交 如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直 我们就说这条直线与这个平面相互垂直 1 直线和平面垂直的定义 四 直线和平面垂直的判定和性质 判断对错 3 直线和平面垂直的性质定理 性质1 如果一条直线垂直于一个平面 那么这条直线垂直于平面的任意一条直线 性质2 如果两条平行线中的一条与平面垂直 那么另一条也与这个平面垂直 线线垂直 线面垂直 线线垂直 常用方法 例2 在正方体AC1中 取DD1的中点E AC和BD交于O点 求证 OB1 面EAC 4 三垂线定理 正射影 自一点P向平面引垂线 垂足Q叫做点P在平面上的正射影 简称射影 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F1 则F1叫做图形F在这个平面内的射影 F1 O 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 O 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 练习 1 如图为矩形 由三垂线定理可得到哪些线是垂直的 O E F G 2 四面体ABCD中 ABDCADBC 求证 ACBD D 3 直角三角形ABC中 角C为直角 AC 2 BC PC平面BCD PC 3 求点P到直线AB的距离 五 两个平面平行的判定和性质 1 空间两个平面的位置关系 两个平面平行 两个平面相交 2 两个平面平行的判定定理 如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行 那么这两个平面平行 3 两个平面平行的性质定理 1 如果两个平行平面和第三个平面都相交 那么交线互相平行 2 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 六 两个平面垂直的判定和性质 1 两个平面垂直的定义 1 二面角 平面内的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分叫做半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 如图 二面角及表示方法 二面角C AB D 二面角 AB 二面角 2 二面角的平面角 二面角的大小用它的平面角来度量 注意 二面角的平面角必须满足 3 角的边都要垂直于二面角的棱 1 角的顶点在棱上 2 角的两边分别在两个面内 4 二面角的范围是 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 3 两个平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角 那么就称这两个平面互相垂直 10 1 利用定义 4 二面角的平面角的作法 3 作棱的垂面 2 利用三垂线定理及其逆定理 练习 作出下列各图中的二面角的平面角 二面角B B1C A O E O 二面角A BC D 二面角C AD E 四棱锥中 取AB的中点为E 连PE OE O为AC中点 ABC 90 OE BC且OEBC 在Rt POE中 OE PO 所求的二面角P AB C的正切值为 例1 如图 三棱锥P ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt ABC斜边AC的中点O 若PB AB 1 BC 求二面角P AB C的正切值 PEO为二面角P AB C的平面角 在Rt PBE中 BE PB 1 PE 由三垂线定理知PE AB 解 OE AB 做 证 指 求 答 3 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 2 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 七 空间向量 1 空间向量及运算 1 在空间 我们把具有大小和方向的量叫做向量 2 空间向量也用有向线段表示 并且同向且等长的有向线段表示同一个向量 4 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 3 在空间 如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量叫做共线向量或平行向量 5 共线向量定理 对空间任意两个向量和 的充要条件是存在实数 使 6 共面向量定理 如果两个向量和不共线 则向量与向量 共面的充要条件是存在实数 使 8 空间向量基本定理 9 空间向量的数量积 1 2 3 4 性质 2 空间向量的坐标运算 1 设为两两垂直的单位向量 如果 则叫做向量的坐标 也叫做点的坐标 2 则 3 空间向量在解题中的作用 1 证明线线平行 线面平行 线线垂直 线面垂直 2 求线线角 线面角 面面角 八 直线与平面成的角 1 平面的斜线和平面成的角 C 平面的斜线和它在平面内的射影成的角 是这条斜线和这个平面内任一