大学物理第二章质点动力学

第二章 质点动力学 牛顿IssacNewton 1643 1727 杰出的英国物理学家 经典物理学的奠基人 他的不朽巨著 自然哲学的数学原理 总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果 其中含有三条牛顿运动定律和万有引力定律 以及质量 动量 力和加速度等概念 在光学方面 他说明了色散的起因 发现了色差及牛顿环 他还提出了光的微粒说 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态 直到外力迫使它改变运动状态为止 一牛顿第一定律 如物体在一参考系中不受其它物体作用 而保持静止或匀速直线运动 这个参考系就称为惯性参考系 2 1牛顿运动定律 物体受到外力作用时 它所获得加速度的大小与合外力的大小成正比 与物体的质量成反比 加速度的方向与合外力的方向相同 数学形式为 选取SI制 二牛顿第二定律 即 注 为A处曲线的曲率半径 自然坐标系中 A 1 瞬时关系 2 牛顿定律只适用于质点 注意 3 力的叠加原理 两个物体之间作用力和反作用力 沿同一直线 大小相等 方向相反 分别作用在两个物体上 物体间相互作用规律 三牛顿第三定律 例分析物体间的相互作用力 作用力与反作用力特点 1 大小相等 方向相反 分别作用在不同物体上 同时存在 同时消失 它们不能相互抵消 2 是同一性质的力 注意 1 第一定律成立的参考系称为惯性参考系 四 惯性系和非惯性系 2 相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系 3 一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系 五力学相对性原理 为常量 对于不同惯性系 牛顿力学的规律都具有相同的形式 与惯性系的运动无关 一万有引力 引力常量 三摩擦力 二弹性力 一般情况 压力 张力 弹簧弹性力等 弹簧弹性力 滑动摩擦力 静摩擦力 2 2力学中常见的几种力 一解题步骤 已知力求运动方程已知运动方程求力 二两类常见问题 确定研究对象隔离物体受力分析建立坐标系列方程解方程结果讨论 2 3牛顿运动定律的应用 例1如图所示滑轮和绳子的质量均不计 滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均不计 且 求重物释放后 物体的加速度和绳的张力 解以地面为参考系 画受力图 选取坐标系 例2若将此装置置于电梯顶部 当电梯以加速度相对地面向上运动时 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力 解以地面为参考系 设两物体相对于地面的加速度分别为 且相对电梯的加速度为 例3升降机内有一光滑斜面 固定在底板上 斜面倾角为 当升降机以匀加速度竖直上升时 质量为的物体从斜面顶端沿斜面开始下滑 如图所示 已知斜面长为 求物体相对于斜面加速度和相对于地面加速度 解 以物体为研究对象 受力分析 正压力 重力 物体相对斜面加速度 物体相对地面加速度 设轴正向沿斜面向下 轴正向垂直斜面向上 则对应用牛顿定律列方程如下 解方程 得 由相对于斜面的加速度 相对于斜面的加速度 例4如图所示 圆锥摆 长为的细绳一端固定在天花板上 另一端悬挂质量为的小球 小球经推动后 在水平面内绕通过圆心的铅直轴作角速度为的匀速率圆周运动 问绳和铅直方向所成的角度为多少 空气阻力不计 解 越大 也越大 利用此原理 可制成蒸汽机的调速器 如图所示 作业 51页2 4 动量 2 4动量定理 一动量牛顿第二定律的另一种形式 单位 冲量力对时间的积分 矢量 二冲量质点的动量定理 单位 质点的动量定理在给定的时间内 外力作用在质点上的冲量 等于质点在此时间内动量的增量 分量形式 1 f为恒力 2 f为变力 讨论 动量定理常应用于碰撞问题 越小 则越大 在一定时 例1体重60kg的运动员跳过2 0m高的横杆后 垂直落在海绵垫子上 假设人与垫子相互作用时间为2 0s 试求运动员受到的平均冲力 若运动员落在地上 作用时间为0 20s 试问运动员受到的平均冲力又是多少 解 以运动员为研究对象 选取竖直向下的方向为轴正向 受力分析 重力 垫子给运动员的平均冲力 由动量定理 且 代入数据 当相互作用时间极短时 重力的作用可忽略不计 例2一质量为0 05kg 速率为10m s 1的刚球 以与钢板法线呈45 角的方向撞击在钢板上 并以相同的速率和角度弹回来 设碰撞时间为0 05s 求在此时间内钢板所受到的平均冲力 O 解由动量定理得 方向与轴正向相同 O 2 5动量守恒定律 一质点系的动量定理 1 两个物体的碰撞 且 两个物体碰撞前后总动量矢量守恒 质点系动量定理作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量 2 质点系的动量定理 推开前后系统动量不变 质点系动量定理 1 系统的动量守恒是指系统的总动量不变 系统内任一物体的动量是可变的 各物体的动量必相对于同一惯性参考系 二动量守恒定律 3 若某一方向合外力为零 则此方向动量守恒 4 动量守恒定律只在惯性参考系中成立 是自然界最普遍 最基本的定律之一 2 守恒条件合外力为零当时 可略去外力的作用 近似地认为系统动量守恒 例如在碰撞 打击 爆炸等问题中 例1设有一静止的原子核 衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核 已知电子和中微子的运动方向互相垂直 且电子动量为1 2 10 22kg m s 1 中微子的动量为6 4 10 23kg m s 1 问新的原子核的动量的值和方向如何 解 即 又因为 代入数据计算得 作业 2 11 一功和功率 2 6功动能动能定理 1 恒力作功 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积 功是标量 过程量 元功 2变力的功 变力 质点由A运动到B 1 功的正 负 讨论 2 功是一个过程量 与路径有关 功的大小与参照系有关 3 合力的功 等于各分力的功的代数和 功的单位 焦耳 J 平均功率 瞬时功率 3 功率 解 1 在A B C的运动全过程中 圆轨道及水平地面对物体的支持力均为法向力 而法向力与物体的位移处处垂直 所以在运动的全过程 法向力的功为零 例2 6如图所示 一质量为20kg的物体由A点沿圆形轨道下滑 到达B点时的速度值为4 0m s 1 从B点开始 物体在水平向右的拉力的作用下沿地面水平向右运动到8 0m处的C点而停止 求 1 在运动全过程中法向力对物体做的功 2 在水平运动时拉力和摩擦力对物体做的功 3 在水平运动时合外力对物体做的功 2 在BC段上拉力与位移方向一致 拉力的功为 在BC段上物体作匀减速运动 其加速度为 由牛顿第二定律 其方向与运动方向相反 所以摩擦力对物体做负功 其值为 3 在BC段 由于重力G与支持力N均与位移方向垂直 其对物体做的功均为零 所以在BC段所有外力对物体做的总功为 负号表示物体对外做功 例2 7倔强系数为k的轻弹簧的一端系在A点 另一端与质量为m的物体相连 物体靠在半径为R的光滑圆柱体表面上 弹簧原长为AB 在变力f作用下 物体极缓慢地沿圆柱表面从位置B移动到C 如果力f的方向处处与图中圆面相切 试求变力f对物体所做的功 解选物体为研究对象 受力分析如图 物体受四个力 重力 支持力 弹簧拉力和外力 因物体极缓慢运动 所以物体处于平衡状态 四个力的合力为零 在从B到C的全过程中 变力f对物体做的总功为 设物体有一微小位移 此时所做元功 缓慢拉质量为m的小球 解 例1 0时 求 已知用力 方向不变 作的功 已知m 2kg 在f 12t作用下由静止做直线运动 解 例2 求 t 0 2s内f作的功及t 2s时的功率 而 二动能质点的动能定理 功是过程量 动能是状态量 合外力对质点所作的功 等于质点动能的增量 质点的动能定理 功和动能依赖于惯性系的选取 但对不同惯性系动能定理形式相同 三质点系的动能定理 质点系动能定理 对质点系来说 对第个质点来说 有 例3一质量为1 0kg的小球系在长为1 0m细绳下端 绳的上端固定在天花板上 起初把绳子放在与竖直线成角处 然后放手使小球沿圆弧下落 试求绳与竖直线成角时小球的速率 解 由动能定理 得 END 作业 2 15 一重力的功保守力 2 7保守力的功势能 重力作功只与质点的起始和终止位置有关 而与所经过的路径无关 做功与路径无关而仅决定于始 末位置的力称为保守力 二弹性力的功 弹性力作功只与质点的起始和终止位置有关 而与所经过的路径无关 重力 弹性力 万有引力都是保守力 非保守力 力所作的功与路径有关 例如摩擦力 三势能 势能与物体间相互作用及相对位置有关的能量 重力势能 重力功 重力作功等于重力势能的减少 弹性力作功等于弹性势能的减少 弹性势能 弹力功 势能的单位 焦耳 J 令 势能具有相对性 势能大小与势能零点的选取有关 势能是状态的函数 势能是属于系统的 势能差与势能零点选取无关 令 一质点组的功能原理 2 8功能原理机械能守恒定律 质点系动能定理 只有保守内力作功的情况下 质点系的机械能保持不变 机械能 质点组的功能原理 二机械能守恒定律 例2 9长为l 质量均匀分布的软绳放在高l的光滑桌面上 其质量为m 开始时软绳静止 垂下的长度为l0 释放后软绳下落 求软绳完全脱离桌面时的速率 解 以软绳和地球为物体组作为研究对象 外力不做功 无非保守内力 物体组机械能守恒 选取桌面处重力势能为零 向下为正 单位长度质量为 开始时软绳机械能为 软绳刚离开桌面时动能为 软绳刚离开桌面时势能为 终态的机械能为 由机械能守恒定律得 解 以软绳和地球为物体组作为研究对象 选取地面处重力势能为零 单位长度质量为 方法二 初态轻绳总机械能为 轻绳刚刚离开桌面时为终态 其动能为 势能为 由机械能守恒定律 解之得 例2 10有一轻弹簧 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P 另一端系一质