《概率统计王松桂》PPT课件.ppt

概率论与数理统计第十六讲 主讲教师 程维虎教授 北京工业大学应用数理学院 6 4正态总体 6 4 1 2分布 它是由正态分布派生出来的一种分布 定义1 设X1 X2 Xn相互独立 且均服从正态分布N 0 1 则称随机变量 服从自由度为n的卡方分布 记成 分布的密度函数为 由分布的定义 不难得到其如下性质 进一步 由中心极限定理可以推出 n充分大时 近似于标准正态分布N 0 1 分布密度函数图形 n2分布上 分位点有表可查 见附表4 对于给定的 0 1 称满足条件 的点 n2 为 n2分布的上 右 分位点 分布分位点 t分布的概率密度为 为服从自由度n的t分布 记为T tn 6 4 2t分布 定义2 设X N 0 1 Y n2 且X与Y相互独立 则称随机变量 t分布的概率密度图形 当n充分大时 f x n 趋近于标准正态分布的概率密度 数学期望与方差 若T tn 对给定的 0 1 称满足条件 t分布的分位点 的点tn 为tn分布上 分位点 t分布的上 分位点有表可查 见附表3 tn分布上 分位点示意图 6 4 3F分布 则称F X m Y n 服从第一自由度为m 第二自由度为n的F分布 记成F Fm n 定义3 F分布的概率密度为 若F Fm n 对给定的 0 1 称满足条件 F分布的分位点 的点Fm n 为F分布的上 分位点 F分布上 分位点有表可查 见附表5 F分布上 分位点示意图 一个需要注意的问题 这个关系式的证明如下 证明 若X Fm n 则Y X 1 Fn m 依分位点定义 上式等价于 再根据Y Fn m 的上 分位点定义 有 这就证明了 1 式 在通常F分布表中 只对 比较小的值 如 0 01 0 05 0 025及0 1等列出了分位点 但有时我们也需要知道 比较大的分位点 它们在F分布表中查不到 这时我们就可利用分位点的关系式 1 把它们计算出来 例如 对m 12 n 9 0 95 我们在F分布表中查不到F12 9 0 95 但由 1 式 知 可从F分布表中查到 还有一个重要结果 若X tn 则X2 F1 n 请同学们自己证明 定理1 6 4 4正态总体样本均值与样本方差的分布 定理的证明超出了教学范围 我们把它放在了教材 6 4末尾的附录 p143 145 中 定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到 希望大家牢记 例1 设某物体的实际重量为 未知 现在用一台天平称量它 共称n次 得到X1 X2 Xn 假设每次称量过程彼此独立 且无系统误差 则可认为这些测量值独立同分布 均服从正态分布N 2 方差 2反映了天平及测量过程的总精度 我们通常用样本均值 根据定理1 基本定理 有 再根据正态分布的性质 见p110 例4 2 6 知 例如 当 0 1时 也就是说 我们的估计值与真值的偏差不超过的概率约为99 74 并且随称量次数n的增加 偏差界限将越来越小 若取n 10 则 若取n 100 则 例2 在设计导弹发射装置时 重要内容之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差 对于某类导弹发射装置 弹着点偏离目标中心的距离服从N 2 这里 2 100米2 现在进行了25次发射试验 用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差 求 S2超过50米2的概率 解 根据基本定理 知 查附表4 得到 所以 小结 本讲首