2[1]11合情推理

推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 数学归纳法 本章主要内容 已知的判断 新的判断 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理 前提 结论 什么是推理 高二数学选修2 2第二章推理与证明 2 1合情推理与演绎推理 2 1 1合情推理 铜能导电铝能导电金能导电银能导电 三角形内角和为凸四边形内角和为凸五边形内角和为 第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的 第一个数为2第二个数为4第三个数为6第四个数为8 铜能导电铝能导电金能导电银能导电 三角形内角和为凸四边形内角和为凸五边形内角和为 第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的 第一个数为2第二个数为4第三个数为6第四个数为8 部分个别 整体一般 这种由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是由特殊到一般的推理 一 归纳推理 3 7 10 3 17 20 13 17 30 改写为 10 3 7 20 3 17 30 13 17 6 3 3 1000 29 971 8 3 5 1002 139 863 10 5 5 12 5 7 14 7 7 16 5 11 根据上述过程 歌德巴赫大胆地猜想 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和 歌德巴赫猜想的提出过程 歌德巴赫提出猜想的推理过程 通过对一些偶数的验证 发现它们总可以表现成两个奇质数之和 而且没有反例 于是猜想 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和 费马猜想 费马 我们知道方程有无数多个正整数解 如 费马作了进一步探索 等有没有整数解 他没有找到满足条件的正整数解 于是作出了一个重要猜想 方程没有正整数解 费马大定理 任何形如的数都是质数 观察到都是质数 进而猜想 费马猜想 任何形如的数都是质数 半个世纪之后 欧拉发现 新的猜想 形如的数都是合数 宣布了费马的这个猜想不成立 以后 人们又陆续发现都是合数不是质数 也就是说目前只有n 0 1 2 3 4这5个情况下 才是质数 每幅地图可以用四种颜色着色 使得有共同边界的相邻区域着上不同色 四色猜想 1852年 英国人弗南西斯 格思里为地图着色时 发现了四色猜想 1976年 美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上 用了1200个小时 完成了四色猜想的证明 用数学语言表示 即 将平面任意地细分为不相重迭的区域 每一个区域总可以用1 2 3 4这四个数字之一来标记 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字 归纳推理的基础 归纳推理的作用 归纳推理 观察 分析 发现新事实 获得新结论 由部分到整体 个别到一般的推理 注意 归纳推理的结论不一定成立 归纳推理的一般步骤 检验猜想 提出带有规律性的结论 即猜想 猜想不一定正确 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 例1 已知数列 an 的第1项a1 1 且 n 1 2 试归纳出这个数列的通项公式 分别把n 2 3 4代入得 观察可得 数列的前4项都等于相应项数的倒数 由此猜想 归纳 这个数列的通项公式为 除了归纳 在人们的创造发明活动中 还常常应用类比 例如 2 人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理 发明了潜水艇 3 火星上是否存在生命 可能有生命存在 有生命存在 温度适合生物的生存 一年中有四季的变更 有大气层 地球围绕太阳运行 绕轴自转 火星 地球 3 火星上是否存在生命 火星与地球类比的思维过程 火星 地球 存在类似特征 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 二 类比推理 探究试将平面上的圆与空间的球进行类比 圆的定义 平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义 空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 圆弦直径周长面积 球 截面圆 大圆 表面积 体积 圆的概念和性质 球的概念和性质 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等 距圆心较近的弦较长 以点 x0 y0 为圆心 r为半径的圆的方程为 x x0 2 y y0 2 r2 圆心与弦 非直径 中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面 圆面 的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不相等 距球心较近的面积较大 以点 x0 y0 z0 为球心 r为半径的球的方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 r2 利用圆的性质类比得出球的性质 球的体积 球的表面积 圆的周长 圆的面积 类比推理基础 类比推理 以已知的 旧的知识为基础 由特殊到特殊的推理 类比推理的结论不一定成立 注意 类比推理的作用 推测新的结果 具有发现的功能 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律 试猜测第n个图形中有个点 1 2 3 4 5 练习 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 类比推理的几个特点 1 类比是从人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究的事物的属性 是以旧有的认识为基础 类比出新的结果 2 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 3 类比的结果是猜测性的不一定可靠 但它却有发现的功能 例2类比实数的加法和乘法 列出它们相似的运算性质 若a b R 则ab R ab ba ab c a bc 乘法的逆运算是除法 使得ax 1有唯一解x 1 a a 1 a 3个面两两垂直的四面体 PDF PDE EDF 90 三个两两垂直的面S1 S2 S3和1个 斜面 S 例3 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 c2 a2 b2 分析 变式练习 在三角形ABC中有结论 AB BC AC 类似地在四面体P ABC中有 P S1 S2 S3 PAB的面积为S 类比推理 由特殊到特殊的推理 以旧的知识为基础 推测新的结果 结论不一定成立 归纳推理 由部分到整体 特殊到一般的推理 以观察分析为基础 推测新的结论 具有发现的功能 结论不一定成立 具有发现的功能 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 通俗地说 合情推理是指 合乎情理 的推理 合情推理的应用 数学研究中 得到一个新结论之前 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论 证明一个数学结论之前 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 两个推理的过程 例4 如图有三根针和套在一根针上的若干金属片 按下列规则 把金属片从一根针上全部移到另一根针上 1 每次只能移动1个金属片 2 较大的金属片不能放在较小的金属片上面 试推测 把n个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动多少次 解 设an表示移动n块金属片时的移动次数 当n 1时 a1 1 当n 2时 a2 3 1 2 3 当n 1时 a1 1 当n 2时 a2 3 解 设an表示移动n块金属片时的移动次数 当n 3时 a3 7 当n 4时 a4 15 猜想an 2n 1 1 2 3 归纳推理和类比推理的过程 通俗地说 合情推理是指 合乎情理 的推理 1 所有的金属都能导电 2 一切奇数都不能被2整除 所以铜能够导电 因为铜是金属 所以2007不能被2整除 因为2007是奇数 一般性的原理 特殊情况 结论 一般性的原理 特殊情况 结论 演绎推理的定义 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 1 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情况 3 结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 二 演绎推理 1 所有的金属都能导电 2 一切奇数都不能被2整除 所以铜能够导电 因为铜是金属 所以2007不能被2整除 因为2007是奇数 大前提 小前提 结论 一般性的原理 特殊情况 结论 一般性的原理 特殊情况 结论 案例分析 例5在锐角三角形ABC中 AD BC BE AC D E是垂足 求证AB的中点M到D E的距离相等 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 例6证明函数f x x2 2x在 1 是增函数 函数f x x2 2x在 1 是增函数 证明 满足对于任意x1 x2 D 若x1 x2 有f x1 f x2 成立的函数f x 是区间D上的增函数 大前提 小前提 结论 合情推理与演绎推理的区别 合情推理 归纳推