《机械工程控制基础》(杨叔子主编)第三章+系统时间响应分析ppt课件

1 第三章系统的时间响应分析 2 引言 在建立系统的数学模型 微分方程与传递函数 之后 就可以采用不同的方法 通过系统的数学模型来分析系统的特性 时间响应分析 也称之为 时域分析 是重要的方法之一 时域分析 给系统施加一输入信号 通过研究系统的输出 响应 来评价系统的性能 如何评价一个系统性能的好坏 有一些动态和稳态的性能指标可以参考 3 3 1时间响应及其组成 例1 4 3 1时间响应及其组成 化简得 5 3 1时间响应及其组成 由输入引起的强迫响应 系统的初态为0 仅有输入引起的响应 6 此方程的解为通解 即自由响应 与特解 即强迫响应 所组成 即 3 1时间响应及其组成 7 3 1时间响应及其组成 这是因为 在定义系统的传递函数时 由于已指明了系统的初态为零 故取决于系统的初态的零输入响应为零 8 3 1时间响应及其组成 瞬态响应与稳态响应 9 3 1时间响应及其组成 瞬态响应与稳态响应 3 1时间响应及其组成 瞬态响应与稳态响应 10 3 1时间响应及其组成 瞬态响应与稳态响应 11 3 1时间响应及其组成 瞬态响应与稳态响应 12 3 1时间响应及其组成 瞬态响应与稳态响应 13 3 1时间响应及其组成 瞬态响应与稳态响应 14 3 2典型输入信号 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两大类 为了求解系统的时间响应必须了解系统输入信号 即外作用 的解析表达式 也就是确定性信号 然而 在一般情况下 控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定 因此需要选择若干确定性信号作为典型输入信号 何谓确定性信号呢 就是其变量和自变量之间的关系能够用某一确定性函数描述的信号 15 典型输入信号 1 阶跃函数 式中 R为常数 当R 1时 xi t 1 t 为单位阶跃函数 其拉氏变换的表达式为 3 2典型输入信号 阶跃函数的时域表达式为 16 3 2典型输入信号 2 斜坡函数 等速度函数 斜坡函数 也称等速度函数 见图 其时域表达式为 式中 R为常数 当R 1 xi t t为单位斜坡函数 其拉氏变换的表达式为 通过观察 我们可以发现因为dx t dt R 所以阶跃函数为斜坡函数对时间的导数 17 3 2典型输入信号 3 抛物线函数 等加速度函数 抛物线函数 见图 的时域表达式为 式中 R为常数 当R 1时 xi t t2 2为单位加速度函数 其拉氏变换的表达式为 通过观察 我们可以发现因为dxi t dt Rt 所以斜坡函数为抛物线函数对时间的导数 18 3 2典型输入信号 4 脉冲函数 脉冲函数 见图 的时域表达式为 式中 h称为脉冲宽度 脉冲的面积为1 若对脉冲的宽度取趋于零的极限 则有 称此函数为单位脉冲函数 见图 其拉氏变换的表达式为 19 3 2典型输入信号 5 正弦函数 正弦函数 如图所示 的时域表达式为 式中 A为振幅 为角频率 当A 1时 其拉氏变换的表达式为 6 随机信号 20 3 3一阶系统 一阶系统 能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统 也称为一阶系统的特征参数 表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性 21 如果将该指数曲线衰减到初值的2 或5 之前的过程定义为过渡过程 则可算得相应的时间为4T 或3T 称此时间 4T 3T 为过渡过程时间或调整时间 记为ts 由此可见 系统得时间常数T愈小 则过渡过程的持续时间愈短 这表明系统的惯性愈小 系统对输入信号反应的快速性能愈好 注意 在实际应用时 理想的脉冲信号是不可能得到的 3 3一阶系统 22 3 3一阶系统 几点重要说明 1 在这里有两个重要的点 A点与0点 都与时间常数T有密切的关系 2 系统的过渡过程时间ts 23 3 3一阶系统 一阶系统G s 的实验求法 通过以上分析可知 若要求用实验方法求一阶系统的传递函数 1 我们就可以先对系统输入一单位阶跃信号 并测出它的响应曲线 2 然后从响应曲线上找出0 632xou 处所对应点的时间t 这个t就是系统的时间常数T 或通过找到t 0时xou t 的切线斜率 这个斜率的倒数也是系统的时间常数T 3 再参考 一阶系统单位脉冲响应函数 求出w t 4 最后再结合G s L w t 求得G s 即得到一阶系统的传递函数 24 3 3一阶系统 稳态分量t T也是一个斜坡函数 与输入信号斜率相同 但在时间上滞后一个时间常数T 对于一阶系统的单位斜坡响应 说明一阶系统单位斜坡响应在过渡过程结束后存在常值误差 其值等于时间常数T 跟踪单位斜坡输入信号时 稳态误差为T 25 对比一阶系统的单位响应 单位阶跃响应和单位斜坡响应 可知道他们之间的关系为 通过观察其输入信号也有同样的关系 因此 在此一并指出 一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号时域响应的导数 一个输入信号积分的时域响应等于该输入信号时域响应的积分 基于上述性质 对于线性定常系统 只需讨论一种典型信号的响应 就可以推知另一种信号 3 3一阶系统 26 3 3一阶系统 例1 已知某线性定常系统的单位斜坡响应为 试求其单位阶跃响应和单位脉冲响应函数 解 因为单位阶跃函数 单位脉冲函数分别为单位斜坡函数的一阶和二阶导数 故系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应函数分别为单位斜坡响应的一阶和二阶导数 即 单位阶跃响应为 单位脉冲响应为 27 3 3一阶系统 例2 一阶系统如图所示 试求系统单位阶跃响应的调节时间ts 如果要求ts 0 1秒 试问系统的反馈系数应如何调整 解 系统的闭环传递函数为 这是一个典型一阶系统 调节时间ts 3T 0 3秒 若要求调节时间ts 0 1秒 可设反馈系数为 则系统的闭环传递函数为 28 例3 已知某元部件的传递函数为 KH Xo s Xi s K0 解 原系统的调节时间为 引入负反馈后 系统的传递函数为 若将调节时间减至原来的0 1倍 但总放大系数保持不变 则 采用图示方法引入负反馈 将调节时间减至原来的0 1倍 但总放大系数保持不变 试选择KH K0的值 3 3一阶系统 29 3 4二阶系统 的时域分析 凡是以二阶微分方程作为运动方程的控制系统 称之为二阶系统 一般控制系统均为高阶系统 但在一定准确度条件下 可以忽略某些次要因素近似的用一个二阶系统来表示 也就是说 在一定条件下 高阶系统一般也可以近似用二阶系统的性能指标来表征 30 3 4二阶系统 的时域分析 一 二阶系统的各种状态典型的二阶系统结构图如图所示 它是一个由惯性环节和积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统 系统闭环传递函数为 令 则系统闭环传递函数化为如下标准形式 式中 称为阻尼比 n称为无阻尼自然振荡角频率 二阶系统结构图 31 因此 系统结构图可化简为如下图所示 所以 系统的两个特征根 极点 为 二阶系统的特征方程为 二阶系统结构简图 随着阻尼比取值不同 二阶系统特征根 极点 也不相同 3 4二阶系统 的时域分析 32 是一对共轭复数根 如图所示 1 欠阻尼状态 0 1 当0 1时 两特征根为 3 4二阶系统 的时域分析 二阶系统闭环极点分布 33 3 4二阶系统 的时域分析 2 临界阻尼状态 1 当 1时 特征方程有两个相同的负实根 即 s1 2 n 如图所示 二阶系统闭环极点分布 34 3 4二阶系统 的时域分析 为两个不同的负实根 如图所示 3 过阻尼状态 1 当 1时 两特征根为 二阶系统闭环极点分布 35 二阶系统闭环极点分布 3 4二阶系统 的时域分析 如图所示 4 无阻尼状态 0 当 0时 特征方程有一对共轭纯虚数根 即 36 3 4二阶系统 的时域分析 记 称为二阶系统的有阻尼固有频率 37 3 4二阶系统 的时域分析 38 3 4二阶系统 的时域分析 当取不同值 二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图所示 欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正玹振荡曲线 且愈小 衰减愈慢 振荡频率愈大 故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统 其幅值衰减的快慢取决于 因为其倒数称为时间衰减常数 记为 39 3 4二阶系统 的时域分析 40 3 4二阶系统 的时域分析 41 3 4二阶系统 的时域分析 42 3 4二阶系统 的时域分析 由图可知 当1时 二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性 从过渡过程的持续时间来看 在无振荡单调上升的曲线中 在 1时的过渡时间ts最短 在欠阻尼系统中 当 0 4 0 8时 不仅其过渡过程时间比 1时的更短 而且振荡不太严重 43 因此 一般希望二阶系统工作在 0 4 0 8的欠阻尼状态 因为这个工作状态有一个振荡特性适度而且过渡过程持续时间又较短 3 4二阶系统 的时域分析 在根据给定的性能指标设计系统时 将一阶系统与二阶系统相比 通常选择二阶系统 这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间 ts 并且也能同时满足对振荡性能的要求 44 3 4二阶系统 性能指标 三 二阶系统响应的性能指标 稳定是控制系统能够运行的首要条件 因此只有当动态过程收敛时 研究系统的动态性能才有意义 在许多情况下 系统所需要的性能指标一般以时域量值的形式给出 通常 系统的性能指标 根据系统对单位阶跃输入的响应给出 1 产生阶跃输入比较容易 而且从系统对单位阶跃输入的响应也比较容易求得对任何输入的响应 2 一般认为 阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态 如果系统在阶跃函数的作用下的动态性能满足要求 那么系统在其他形式的函数作用下 其动态性能也令人满足 45 3 4二阶系统 性能指标 注意 因为完全无振荡的单调过程的过渡过程时间太长 所以除了那些不允许产生振荡的系统外 通常都允许系统有适度的振荡 其目的是为了获得较短的过渡过程时间 这就是在设计二阶系统时 常使系统在欠阻尼 0 4 0 8状态下工作的原因 下面我们就以欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的过渡过程为例来讨论二阶系统的性能指标 46 3 4二阶系统 性能指标 为了说明欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程的特性 通常是采用下列性能指标来表示 47 3 4二阶系统 性能指标 阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间为上升时间 注 称为二阶系统的有阻尼固有频率 48 3 4二阶系统 性能指标 响应曲线达到第一峰值所需的时间定义为峰值时间 注 称为二阶系统的有阻尼固有频率 用求导数极值法求解 49 3 4二阶系统 性能指标 阻尼比 越大 系统的超调量越小 响应平稳 阻尼比 越小 系统的超调量越大 响应的平稳性越差 证明 50 3 4二阶系统 性能指标 就是系统曲线在振荡衰减过程中 系统的振荡范围达到规定的振荡范围时 2 5 第一个点对应的时刻 过渡过程时间 51 3 4二阶系统 性能指标 所以在具体设计时 通常都是根据对最大超调量Mp的要求来确定阻尼 故 二阶系统的特征参数Wn和决定了系统的调整时间ts 和最大超调量Mp 反过来 根据对ts和Mp的要求 也能确定二阶系统的特征参数wn 所以调整时间ts主要是根据系统的Wn来确定的 52 3 4二阶系统 性能指标 在过渡过程时间0 t ts内 阶跃响应曲线穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数 53 3 4二阶系统 性能指标 在上述动态性能指标中 tr和tp放映了系统的响应速度 Mp和N放映了系统的运行平稳性和阻尼程度 一般认为ts能同时放映响应速度和阻尼程度 54 具体来说 1 阻尼比 越大 系统的超调量越小 响应平稳 阻尼比 越小 系统的超调量越大 响应的平稳性越差 当 0时 系统的响应为 为频率为 n的等幅振荡 系统无法进入平衡工作状态 不能正常工作 另外 在 一定时 n越大 系统的振荡频率 d越大 响应的平稳性较差 故 大 n小 系统响应的平稳性好 3 4二阶系统 性能指标 2 调节时间ts的计算公式为近似表达式 事实上 小 系统响应时收敛速度慢 调节时间长 若 过大 系统响应迟钝 调节时间也较长 因此 应取适当的数值 0 707时的典型二阶系统称为最佳二阶系统 此时超调量为4 3 调节时间为3 n 55 例1 设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示 试确定系统的传递函数 解 根据题意 3 4二阶系统 性能指标 56 3 4二阶系统 性能指标 解二阶系统闭环传递函数 因0 1 所以系统处于欠阻尼状态 根据给定的参数可以得出 所以 上升时间 峰值时间 57 最大超调量 调节时间 振荡次数 3 4二阶系统 性能指标 58 例3 设系统的结构图如图所示 要求系统的性能指标为Mp 20 tp 1s 试确定系统的K和KA值 并计算性能指标tr ts和N 控制系统框图 3 4二阶系统 性能指标 59 解首先 根据要求的Mp求取相应的阻尼比 解得 0 456 其次 由已知条件tp 1s和已求出的 0 456 求无阻尼自然振荡频率 n 即 3 4二阶系统 性能指标 解得 n 3 53rad s 60 由图可得二阶系统的闭环传递函数 得K 12 5 KA 0 178 与标准形式比较 求K和KA值 比较上两式得 3 4二阶系统 性能指标 由图可得二阶系统的闭环传递函数 61 3 4二阶系统 性能指标 最后计算tr ts和N 62 3 4二阶系统 性能指标 63 3 4二阶系统 性能指标 64 准确 是对控制系统提出的一个重要性能要求 对于实际的系统来说 输出量常常不能绝对精确地达到所期望的数值 期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差 3 6系统误差分析与计算 准确性 65 3 6系统误差分析与计算 准确性 系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差 因此不讨论过渡过程的情况 只有稳态的系统存在稳态误差 66 3 6系统误差分析与计算 准确性 因为 所以 67 求xi t 1 t xi t t 时系统的稳态偏差 例1 设单位负反馈系统的开环传递函数为 T 0 解 偏差传递函数为 闭环系统是稳定的 1 2 3 3 6系统误差分析与计算 准确性 68 3 6系统误差分析与计算 与输入有关的稳态偏差 设控制系统的开环传递函数为 其中 K称为系统的开环增益 为系统串联积分环节的个数 0 系统称为0型系统 1 系统称为1型系统 2 系统称为2型系统 69 有 系统的稳态偏差为 1 单位阶跃信号作用下系统的稳态偏差 对于稳定的系统 可用终值定理来求 3 6系统误差分析与计算 与输入有关的稳态偏差 令 70 则系统的稳态偏差为 2 单位斜坡信号作用下系统的稳态偏差 对于稳定的系统 可用终值定理来求 系统静态速度偏差系数 有 令 3 6系统误差分析与计算 与输入有关的稳态偏差 71 系统静态加速度偏差系数 有 则系统的稳态偏差为 3 单位加速度信号作用下系统的稳态偏差 对于稳定的系统 可用终值定理来求 令 3 6系统误差分析与计算 与输入有关的稳态偏差 72 3 6系统误差分析与计算 与输入有关的稳态偏差 2 从表中可看出 0型系统对于单位阶跃输入是有差系统 并且无法跟踪斜坡信号 加速度信号 1 系统型次越高 稳态偏差越小 开环增益越大 稳态偏差越小 型系统由于含有一个积分环节 所以对于单位阶跃输入是无差的 但对单位斜坡输入是有差的 并且无法跟踪加速度信号 型系统由于含有两个积分环节 所以对于单位阶跃输入和单位斜坡输入都是无差的 但对单位加速度信号是有差的 73 3 根据线性系统的叠加原理 可知当输入控制信号师上述典型信号的线性组合时 当系统输入信号为 输出量的稳态误差应是他们分别作用时稳态误差之和 即 系统的稳态偏差为 3 6系统误差分析与计算 与输入有关的稳态偏差 74 例2 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 试求系统输入分别为1 t 10t 3t2时 系统的稳态误差 得开环放大倍数K 2 5 由于此系统为 型系统 3 6系统误差分析与计算 归一化处理 解由劳斯稳定判据分析可知 该系统是稳定的 这里从略 首先将系统开环传递函数化为 75 根据表3 1得 当r t 1 t 时 稳态误差ess 0 3 6系统误差分析与计算 当r t 10t时 稳态误差 当r t 3t2时 稳态误差ess 76 例3 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 求当系统作用斜坡函数输入时 系统的稳态误差ess 0 01时的K值 得开环放大倍数为 K 5 由于此系统为 型系统 3 6系统误差分析与计算 解由劳斯稳定判据分析可知 该系统是稳定的 这里从略 由于系统是单位反馈系统 所以 首先将系统开环传递函数化为 在斜坡函数输入时 77 例4已知两个系统分别如图 a b 所示 输入均为r t 4 6t 3t2 试分别计算两个系统的稳态误差 3 6系统误差分析与计算 解要计算系统在输入下系统的稳态误差 可分别计算系统在输入r1 t 4 输入r2 t 6t 输入r3 t 下的稳态误差ess1 ess2 ess3 然后让其相加 78 需要指出的是 标准的加速度信号为t2 2 所以本题中的3t2是标准输入的6倍 因此 用标准输入下的公式计算稳态误差时要乘上这个倍数 3 6系统误差分析与计算 79 例5已知单位反馈系统的闭环传递函数为 求斜坡函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差 解 将系统化为单位反馈系统的标准形式 3 6系统误差分析与计算 80 所以 该系为II型系统 其静态偏差系数分别为 单位斜坡信号输入的稳态偏差为 单位抛物线信号输入时的稳态偏差为 3 6系统误差分析与计算 81 3 6系统误差分析与计算 有干扰的系统误差 82 3 6系统误差分析与计算 有干扰的系统偏差 83 E1 s E s 3 6系统误差分析与计算 84 系统稳态误差为 例6 系统的负载变换往往主要是系统的干扰 对于图示系统 若扰动为单位阶跃函数时 试求该扰动N s 对系统输出和稳态误差的影响 3 6系统误差分析与计算 系统误差为 85 若扰动为单位阶跃函数时 则 对于积分环节的个数大于和等于1的系统 G 0 H 0 扰动不影响稳态响应 稳态误差为0 3 6系统误差分析与计算 可见 开环传递函数G 0 H 0 越大 由阶跃扰动引起的稳态误差就越小 86 n t 1 t 时 稳态偏差为 系统总的稳态偏差为 例7 对于图示系统 试求r t t n t 1 t 时系统的稳态偏差 解 系统的开环传递函数为 在r t t 稳态偏差 在扰动信号作用下的误差表达式为 3 6系统误差分析与计算 系统为1型二阶系统 是稳定的 87 一 用MATLAB求系统时间响应 例1已知系统框图如图所示 3 8利用MATLAB分析时间响应 系统方框图 其中 试用MATLAB程序 求得系统的单位阶跃响应曲线 通过MATLAB提供的函数step 和impulse 可以方便地求出各阶系统在单位阶跃函数和单位脉冲函数作用下的输出响应 lsim 用于对生成对任意输入的时间响应 88 clearallnum 77 den conv conv 10 13 145 g tf num den gg feedback g 1 1 y t x step gg plot t y 系统的单位阶跃响应曲线 3 8利用MATLAB分析时间响应 MATLAB程序 P69 conv 可以用来实现多项式之间的乘法运算 89 例2系统传递函数求系统在时间常数不同取值时的单位脉冲响应 单位阶跃响应和任意输入响应 接下来的主要工作 3 8利用MATLAB分析时间响应 90 clearall t 0 0 01 0 8 仿真时间区域的划分 三种tao值下的系统模型nG 50 tao 0 dG 0 051 50 tao50 G1 tf nG dG tao 0 0125 dG 0 051 50 tao50 G2 tf nG dG tao 0 025 dG 0 051 50 tao50 G3 tf nG dG 系统脉冲 阶跃时间响