19.1多边形内角和 (2)

多边形内角和 桐城二中徐胜喜 美国国防部大楼 五角大楼 知识回顾 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 边数若多于三条 那么将是什么图形 怎样定义 类比推理 得出概念 在平面内 由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做四边形 四边形的定义 若干条 多边形的边 组成多边形的线段 多边形的顶点 相邻两边的公共端点 多边形的角 多边形中相邻两边组成的角 简称多边形的内角 多边形的外角 在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角 多边形 多边形 顶点 内角 边 外角 n边形有n个顶点 n条边 n个内角 2n个外角 A B C D E 一个多边形 如果把它任何一边双向延长 其他各边都在延长所得直线的同旁 这样的多边形叫做凸多边形 图2 比一比 我们所研究的多边形都指凸多边形 探究1 1 三角形的内角和是多少度 2 长方形和正方形的内角和为多少度 4 900 3600 三角形的内角和为1800 猜想 证明 猜想 四边形的内角和为3600 证明思路 O O 请仿照求四边形内角和的方法 求五边形和六边形内角和吗 内角和为180 3 540 内角和为180 4 720 定理 n边形的内角和等于 n 2 1800 n为不小于3的整数 探究2 1 多边形的对角线多边形中连接不相邻两个顶点的线段 2 对角线的条数 四边形 五边形 六边形 八边形 2条 5条 9条 20条 三角形 六边形 四边形 八边形 五边形 探究 请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数 0 1 2 3 5 n 3 1 2 3 4 6 n 2 例题 1 四边形ABCD中 四个内角度数之比是1 2 3 4 求出四个内角的度数2 一个多边形的内角和是14400 求这个多边形的边数3 课本74页习题19 1第5题 小刚每跑完一圈 身体转过的角度之和是多少 探究3 多边形的外角和 多边形所有外角的和叫做多边形的外角和 1 2 3 4 4 1800 3600 3600 1 2 3 4 5 5 1800 5 2 1800 3600 在n边形的每个顶点处各取一个外角 这些外角的和叫做n边形的外角和 n边形外角和 n边形的外角和等于360 n 2 180 360 n个平角 n边形内角和 n 180 思考 n边形的外角和又是多少呢 与边数无关 正多边形 各条边相等 各个内角相等 例 正六边形每个内角的度数 解 正六边形的内角和为 6 2 1800 7200每个内角的度数为7200 6 1200 四边形的不稳定性 各边的长确定 图形形状不能确定 例已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7 2 求这个多边形的边数 解法一 设这个多边形的内角为7x 外角为2x 根据题意得 7x 2x 180 解得x 20 即每个内角是140 每个外角是40 360 40 9 答 这个多边形是九边形 还有其他解法吗 解法二 设这个多边形的边数为n 根据题意得 解得n 9 答 这个多边形是九边形 变式题 一个正多边形的一个外角比一个内角大60 求这个多边形的每个内角的度数及边数 解 设该正多边形的内角是x 外角是y 则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360 则该正多边形的边数为360 120 3 故这个多边形的每个内角的度数是60 边数是三条 课堂小结 多边形的概念 定义 前提条件是在一个平面内 对角线 它是多边形的一条重要线段 在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题 正多边形 定义既是判定也是性质 多边