三个公理及应用

2 1 1平面 2 公理1如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 应用 这条公理是判定直线是否在平面内的依据 也可用于验证一个面是否是平面 复习回顾 应用 判定直线在平面内 判定点在平面内 模式 3 B A a C D 公理1如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 公理1说明了平面与曲面的本质区别 通过直线的 直 来刻划平面的 平 通过直线的 无限延伸 来描述平面的 无限延展性 它既是判断直线在平面内 又是检验平面的方法 复习回顾 4 A B C 公理2经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 应用 确定平面 证明两个平面重合 有且只有一个 的含义分两部分理解 有 说明图形存在 但不唯一 只有一个 说明图形如果有顶多只有一个 但不保证符合条件的图形存在 有且只有一个 既保证了图形的存在性 又保证了图形的唯一性 复习回顾 小结 公理2及其推论 公理3 若两个不重合平面有一个公共点 则它们有且只有一条过该点的公共直线 1 是判定两个平面相交的重要依据 即如果两个平面有一个公共点 那么这两个平面相交 2 是判定点在直线上或多点共线 即点若是某两个平面的公共点 那么这点就在这两个平面的交线上 公理3的作用 公理3揭示了两个平面相交的主要特征 是判定两平面相交的依据 提供了确定两个平面交线的方法 例1 求证 两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内 点线共面问题 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证明 AB AC A 直线AB BC AC共面于a AB和AC确定一平面a 公理2的推论2 B ABa C ACa BCa 公理1 应用举例 题型一点线共面问题 在证明多线共面时 可用下面的方法来证明 纳入法 先由部分直线确定一个平面 公理2及推论 再证明其他直线在这个平面内 公理1 规律方法 例2 ABC在平面a外 AB a BC a AC a 求证 三点共线 点共线问题 A B C 又P a 证明 P AB且AB平面ABC Q P R P 平面ABC P 平面ABC a 公理3 设平面ABC a l 则P l 同理Q l且R l 故P Q R三点共线于直线l 应用举例 证明多点共线通常利用公理3 即两相交平面交线的唯一性 通过证明点分别在两个平面内 从而证明点在相交平面的交线上 规律方法 点共线的证明方法 A B P C R Q 12 E AB H AD 应用举例 线共点问题 线共点的证明方法 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线 然后再证两条直线的交点在此直线上 规律方法 14 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础 也是以后演绎推理的逻辑依据 本课主要的学习内容是平面的基本性质 小结 1 三条性质 公理1用于判定直线是否在平面内 可证共面问题 公理2是确定平面的依据 公理3用于判定两平面相交 可证共线或共点 2 三种题型 共面 共线 共点 3 三个要求 答题思路的条理化 解题步骤的合理化 答题术语的规范化 证明三线共面 可先证其中两条直线共面 再证第三条直线也在此平面内 对点训练1 一条直线和两条平行线都相交 求证 这三条直线共面 B A a b l 已知 如图 a b l a A l b B 求证 a b l三线共面 证明 a b 由公理2推论3有直线a b确定一个平面 a b l三线共面于 又 A a a A 同理B 由公理1有 l 对点训练2如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点M N E F分别是棱CD AB DD1 AA1上的点 若MN与EF交于点Q 求证 D A Q三点共线 证明 MN EF Q Q 直线MN Q 直线EF 又 M 直线CD N 直线AB CD 平面ABCD AB 平面ABCD M N 平面ABCD