高三数学试卷19.doc

高三数学试卷（19）1. 某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取_8_人2. 已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为_3. 设（），若的内角满足，则_4. 设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是5. 设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为_6. 在中，角、所对的边分别为、，已知（），且（1）当，时，求，的值；（2）若为锐角，求实数的取值范围（1）由正弦定理得，所以， （2分）又，所以或 （5分）（少一组解扣1分）（2）由余弦定理，（1分）即， （2分）所以 （4分）由是锐角，得，所以 （6分）由题意知，所以 （7分）7. 在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，平面，ABCDPQ（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小（1）由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 （1分）设，则，故， （3分）因为，故，即， （5分）所以，平面 （6分）（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量为， （1分）点的坐标为，则，（2分）设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故 （5分）设与的夹角为，则 （7分）所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为 （8分）解法二：（1）因为平面，所以， （1分）作，为垂足，则四边形是正方形，设，则，又，所以是的中点，所以， 所以，所以 （5分）所以，平面 （6分）（2）连结，由（1）知，又，所以平面，（2分）所以，所以为所求二面角的平面角 （4分）因为是等腰直角三角形，所以 （7分）所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为 （8分）8. 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、，以线段为底边作等腰三角形，其中顶点的坐标为，求的面积（1）由已知得，因为椭圆过点，所以 （2分）解得（5分） 所以，椭圆的方程为（6分）（2）设直线的方程为， （1分）由得 （2分）因为直线与椭圆交于不同两点、，所以，所以 （3分）设，则，是方程的两根，所以， 设的中点为，则， （4分）因为是等腰三角形的底边，所以，向量是直线的一个法向量，所以向量，即向量，所以，解得 （5分）此时方程变为，解得，所以又到直线：的距离， （7分）所以的面积 （8分）9. 设数列，已知，（）（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围（1）因为，所以（）， （分）所以，（2分）即数列是首项为，公比为的等比数列， （3分）所以 （4分）（2）解法一：， （1分）因为，所以，猜测：（） （2分）用数学归纳法证明：当时，结论成立； （3分）假设当（）时结论成立，即，那么当时，即时结论也成立 （5分）由，得，当时，恒成立，即恒为定值（6分）解法二：， （1分）所以，（4分）而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值（6分）（3）由（1）、（2）知，所以，（1分）所以，所以， （2分）由得，因为，所以， （3分）当为奇数时，随的增大而递增，且，当为偶数时，随的增大而递减，且，所以，的最大值为，的最小值为 （4分）由，得，解得 （6分）所以，所求实数的取值范围是10. 设是实数，函数（）（1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，求满足的的取值范围；（3）求函数的值域（用表示）（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，从而，即，但是，矛盾所以不是奇函数（也可用等证明） （4分）（2）因为，所以当时，由，得，即，（2分）因为，所以，即 （3分）当，即时，恒成立，故的取值范围是；（4分）当，即时，由，得，故的取值范围是 （6分）（3）令，则，原函数变成若，则在上是增函数，值域为（2分）若，则 （3分）对于，有，当时，是关于的减函数，的取值范围是；当时，当时，的取值范围