第三节__泰勒公式

2020 4 21 1 第三节 泰勒 Taylor 公式 第三章 2020 4 21 2 泰勒 1685 1731 2020 4 21 3 引例 目录上页下页返回 2020 4 21 4 证明 因为 目录上页下页返回 由柯西积分中值定理 2020 4 21 5 目录上页下页返回 于是 即 2020 4 21 6 三 泰勒公式的应用举例 一 泰勒公式的建立 二 几个初等函数的麦克劳林公式 2020 4 21 7 当 x 很小时 计算e0 1时 通常借助ex 1 x 都是用一次函数表示函数f x 的例子 一 泰勒公式的建立 目录上页下页返回 计算时 通常借助 2020 4 21 8 y ex 1 y 1 x 看图 目录上页下页返回 2020 4 21 9 多项式逼近 目录上页下页返回 2020 4 21 10 目录上页下页返回 对于复杂函数f x 需要解决的问题是 1 f x 能否用关于x x0的n次多项式替代 使Pn x 能在x0的附近近似表示f x 2 如果f x 能用关于x x0的n次多项式替代 多项式Pn x 系数是多少 3 误差f x Pn x 是否能估计大小 如何估计 2020 4 21 11 1 若 是n次多项式 则 目录上页下页返回 2020 4 21 12 2 若不是多项式函数 令 则 目录上页下页返回 2020 4 21 13 由引例结论于是得 目录上页下页返回 2020 4 21 14 公式 称为的n阶泰勒公式 公式 称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 泰勒中值定理 阶的导数 时 有 其中 则当 目录上页下页返回 2020 4 21 15 目录上页下页返回 余项估计 2020 4 21 16 公式 称为n阶泰勒公式的佩亚诺 Peano 余项 在不需要余项的精确表达式时 泰勒公式可写为 注意到 目录上页下页返回 2020 4 21 17 特例 1 当n 0时 泰勒公式变为 2 当n 1时 泰勒公式变为 拉格朗日中值定理 可见 目录上页下页返回 微分定义 2020 4 21 18 2020 4 21 19 称为麦克劳林 Maclaurin 公式 则有 在泰勒公式中若取 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 由此得近似公式 目录上页下页返回 2020 4 21 20 二 几个初等函数的麦克劳林公式 其中 目录上页下页返回 2020 4 21 21 其中 目录上页下页返回 2020 4 21 22 类似可得 其中 目录上页下页返回 2020 4 21 23 其中 目录上页下页返回 2020 4 21 24 已知 其中 类似可得 目录上页下页返回 2020 4 21 25 三 泰勒公式的应用 1 在近似计算中的应用 误差 M为 在包含0 x的某区间上的上界 需解问题的类型 1 已知x和误差限 要求确定项数n 2 已知项数n和x 计算近似值并估计误差 3 已知项数n和误差限 确定公式中x的适用范围 目录上页下页返回 2020 4 21 26 已知 例1 计算无理数e的近似值 使误差不超过 解 令x 1 得 由于 欲使 由计算可知当n 9时上式成立 因此 的麦克劳林公式为 目录上页下页返回 2020 4 21 27 2 利用泰勒公式求极限 例2 求 解 由于 用洛必塔法则不方便 目录上页下页返回 2020 4 21 28 3 利用泰勒公式证明不等式 例4 证明 证 目录上页下页返回 2020 4 21 29 两边同乘n 整数 假设e为有理数 p q为正整数 则当时 等式左边为整数 矛盾 例4 证明e为无理数 证 故e为无理数 等式右边不可能为整数 目录上页下页返回 4 利用泰勒公式理论分析 2020 4 21 30 30 解 因为分母是4阶无穷小 常用函数的泰勒展开求 例 型未定式 练习求未定式极限 故只要将函数展开到 4阶无穷小的项即可 2020 4 21 31 内容小结 1 泰勒公式 余项 当 时为麦克劳林公式 目录上页下页返回 2020 4