初二数学培优第4讲--角平分线、垂直平分线

第4讲 角平分线、垂直平分线本讲知识归纳1(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上2三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等基础回顾例1 已知，如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，DFAC于F，P是AD上任一点求证：PE=PF 例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MNAF交y轴于N点 (1)求AME； (2)求证：AM=MN； (3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明， 练习1如图，AD为ABC,的高，B=2C求证：CD=AB+BD.2如图，A（-1，0），B（0，），AB0=30，OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点 (1)求P点的坐标； (2)作ABO的平分线交AP于M，判断PBM的形状方法运用例3 如图，AOB= 30，点P是AOB内一点，P0=8，在AOB的两边上分别有点R、Q(均不同于O).(1)求PQR周长的最小值；(2)当PQR周长取最小值时，求QPR的值分析：由对称变换作出符合要求的点Q与R，根据对称的性质，结合已知条件求出PQR的周长与QPR的值例4 如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，并说明理由. 练习3已知，如图，ABC是等腰直角三角形，ACB= 90D是BC上一点，CD=2，BD=BE，DBE=90，连接CE，交AB于M，且CE=6在AB上找一点P，使PCD周长最小，并求出这个最小值4如图，长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点出发，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等(如图中=).已知AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度.问题探究例5 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且BAC=2BDO，过D作DMAC于M(1)求证：ABD=ACD；(2)若点E在BA延长线上，求证：AD平分CAE；(3)当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由例6 已知等腰ABC和等腰ADE的顶点公共，B、A、E在同一条直线上，BAC=DAE，PB=PD,PC=PE (1)如图1，若BAC=90，则BPC+DPE= ； (2)如图2，若BAC=，则BPC+DPE= ； (3)在图1的基础上将等腰RtABC绕点A旋转一个角度，得到图3，则BPC+DPE= _ ；并证明你的结论. 图1 图2 图3练习5如图，P为ABC的BC边垂直平分线上的一点，且PBC=A,BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E求证：BE=CD.6已知：ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF. (1)如图，当点P在BC上时，求EBP； (2)如图，当点P在BC的延长线上时，求EBP.图 图7如图，A（-4，O），B(O，4)，AEBE，OAE=22.5 (1)求证：BD=2AE； (2)若AP0=45，问PA与PB有何位置关系图 图8如图，ACO为等腰直角三角形 (1)如图，C(-1，3)，求A点坐标； (2)如图，过A点作AEA