几何的五大模型

几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1：S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，SABC= SBAD反之，如果SABC= SBCD，则可知直线AB平行于CD （ABCD）二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图.(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则SABC：SADE=(ABAC):(ADAE)推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可。证明：图（1）中设：过顶点D做底边AE的高为H1；过顶点B做底边AC的高为H2 ABE中SADE：SABE=AD：AB 同理SADE：SABE=H1：H2 AD：AB= H1：H2又因SADE=AE*H1*1/2 SABC=AC*H2*1/2 得出SADE：SABC=AE*H1：AC*H2 所以SADE：SABC=(ABAC):(ADAE)图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2 DBE中，SADE：SABE=AD：AB SADE：SABE= H1：H2 AD：AB= H1：H2又因SADE=AE*H1*1/2 SABC=AC*H2*1/2 得出SADE：SABC=AE*H1：AC*H2所以SADE：SABC=(ABAC):(ADAE) 三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) S1:S2=S4:S3 或者 S1S3=S2S4 AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明（1）：在ABD中，S1：S2=DO:OB在DCB中，S4：S3=DO：OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1S3=S2S4(十字相乘法)证明（2）：设过D点作底边AC的高为H1，过B点作底边AC的高为H2 (S1+S2):(S4+S3)=（AO*H1*1/2+AO*H2*1/2）：（OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2）约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO：OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系 （“梯形蝴蝶定理”） S1：S3=：证明：由AO：OC=DO：OC=a:b而S1：S2=DO：OC S1：S2= a:b ，得到S1= a/b*S2 而S2：S3=AO：OC S2：S3= a:b，得到S3=S2*b/a S1：S3=： S1：S3：S2：S4=：ab:ab证明：由上面公式转换推得梯形S的对应份数为(a+b)证明：由上面公式转换推得四、相似模型相似三角形性质：(1)(2)SADE：SABC=AF: AG证明：SADE：SABC=DE*AF*1/2：BC*AG*1/2 SADE：SABC=AF: AG所谓相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变，它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：A. 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；B. 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；五、燕尾定理模型(1)SABG：SACG = SBGE：S